미분가능한 임의의 함수 f(x)의 도함수를 f'(x) 이라고 할때,

f'(x) 의 적분값은 항상 f(x)+적분상수 c로만 나타내어지나요?


어떤함수 f(x)의 도함수가 존재하면, 유일하다는건 수렴의 정의를 통해 알 수있는데,


f'(x)의 부정 적분꼴이 항상 f(x)+적분상수 c로만 존재한다는건 어떻게 증명하나요?


f'(x)의 부정적분 중 하나를 g(x) 라고 할때 모순이 생김을 보이면 되나요?

(단, g(x)+c=f(x) 를 만족하는 어떤 상수 c는 존재하지않는다)


g(x)를 미분한식을 g'(x)라고할때 g'(x)=f'(x)가 성립하고,


f(x)-g(x)를 미분하면 f'(x)-g'(x)가 되는데 이는 0이죠.


따라서 f(x)-g(x)가 상수함수여야만 도함수가 0이되므로


f'(x)의 부정적분꼴은 항상 f(x)+적분상수 c로만 존재한다.


라고 증명하긴했는데..


h(x)의 도함수가 0이면 h(x)가 상수함수일수밖에 없다는건 평균값 정리를 통해 증명하면 되나요?


[x1,x2]에서 연속이고 (x1,x2)에서 미분가능한 함수 h(x)를 생각해볼때


h(x2)-h(x1)/(x2-x1)=h'(c)인 c가 그구간에 존재해야하는데 항상도함수가 0이고 분모는 항상 양수므로


h(x2)=h(x1)가 성립한다.


따라서 h(x)는 상수함수다 라고 할수 있나요?


x1≠x2인 임의의 x1,x2에 대해서 h(x1)=h(x2)이면 h(x)가 상수함수다. 라는건


상수함수의 "정의"가 그렇기 때문인건가요?


h(x)가 상수함수이면 x1≠x2인 임의의 x1,x2에 대해서 h(x1)=h(x2)가 성립하지만..


그 역도 성립한다는건 어떻게 증명하나요? 


h(x)=h(a) (a는 어떤실수)가 성립하므로 h(x)가 상수함수가되는건가요?