위의 사진과 같은 내용을 여기서 봤는데...
곡선의 길이를 선분의 무한합으로 표현할 수는 있지만
선분을 "어떤 방식으로" 곡선과 비슷하게 하느냐에 따라
실제 곡선의 길이와는 달라질 수 있고,
곡선의 길이와 선분의 무한합을 일치시키기 위한
선분의 배열방법이 따로 있는거죠?
이런식으로 하면 맞나요? 흠 근데 저렇게 해도
무한히 잘게 나눈 선분 1개의 길이와 그 곡선1개의 길이가 오차가 0에 수렴하더라도
무한히 더한다고 곡선의 합전체와 선분의합전체의 오차가 0이라는 보장은 못하네요..고교과정에서는 저 방식으로는 증명불가능한건가요?
고교과정에서는 속도벡터의 적분값으로 곡선의 길이를 이동거리로 해석해야 오류가 없나요?
애초에 곡선의 길이 자체를 제대로 정의하지 않았으니 저렇게 꺾인 선분으로 근사시킬 때 길이가 제대로 근사되는지 말하지 못하는 거지. 구분구적으로 넓이를 구할 때는 샌드위치 정리같은 걸로 보장할 수 있는데, 길이는 그런게 없잖아.
속도벡터의 정적분값으로 먼저 곡선의 길이를 정의한다고하면, 꺾인 선분으로 근사시킬때 길이가 제대로 근사되는 방법은 저 방법1개뿐인가요?
꼭 그런건 아니고, 예를 들어 C^1 곡선같은 걸 다룬다면 접선들을 촘촘하게 그어서 만들어진 꺾인 선들로 근사시켜도 되겠지
하지만 가장 핵심에 가까운 방법은 본문에 있는 꺾인 선들의 길이 합이 맞아. 왜냐면 꺾인 선들의 길이 합의 sup(최댓값 비슷한 값)이 곡선 길의의 정의거든. 특히 C^1 곡선의 경우에는 네가 말한 속도벡터 크기의 적분이랑 값이 일치하게 됨을 엄밀히 보일 수 있고.
그렇군요..친절하게 답해주셔서 감사합니다
미분가능함수이면 실제로 적분값이 곡선의 길이에 수렴함을 보일 수 있어 나도 고등학교때 샌드위치로 못쪼여서 이상하다 싶었는데 나중에 배우더라고
곡선의 길이를 아주 짧은 여러개의 직선의 합으로 보는건 맞음. 무척 자연스러움. 그림판에서는 뭔가 이상한게 lim n->inf (1/n)*n*2=2 가 맞음. 루트2가 아니고. 그리고 거리를 어떻게 주느냐에 따라 다른데, 택시거리에서는 최단거리가 2가 맞음. 유클리드거리(피타고라스정리의 그 거리) 에서는 최단거리가 루트2라고 볼 수도 있고, 무한히 더할때 보장 못하는게 아니라, 잘 못 계산한거임. 그리고 고등학교 과정에서도 속도 적분이 아니라. 속력적분인걸로 알고있음.