[일반] 수렴하는 함수에 대한 성질은 유한한 항에대해서만 성립하죠?

[익명(110.70)]

예를들어 1+2+3+...+n/n^2의 극한은 n이 무한히커질때  2분의1이지만

각각의 항들은 0으로 수렴하므로 수렴하는 함수의 성질을 쓸수없잖아요?근데 왜 성질 조건에서

유한한 항에 대해서만 성립한다는 따로 명시되어있지 않나요?

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[겨울_(silhouet72)]

왜 명시가 안 돼있냐. 애초에 수열 두 개의 가감승제의 극한이 극한의 가감승제랑 같다고 돼있잖아. 이걸 갖고 귀납법을 쓰든 어쩌든 해서 유한 개까지 확장한 거지

[익명(110.70)]

그렇네요..예를 들어 수열들 n개가 a1n,a2n,a3n,....ann 가 있다고하고 이 수열의 극한이 전부 0이라고 한다면 n개의 수열들을 더한값은 a1n+(a2n+a3n+....+ann)에서 항들을 a1n,a2n,a3n,...계속 0 지워나간다더라도 무한하므로 절대 마지막 ann항을 포함한 식까지도달할수없기때문에 유한한 항에대해서만 적용가능한거군요

[익명(121.173)]

수학적 귀납법을 쓰면 무한개에 대해서도 성립하는거아닌가요? 모든 자연수에 대해 성립하니깐..

[겨울_(silhouet72)]

그게 왜 그렇게 되니..

[익명(121.173)]

수학적 귀납법이 자연수 k일때 성립한다 가정했을때 k+1일때 성립한다면 모든 자연수에 대해 성립한다는 뜻아닌가요?

[익명(121.173)]

두개일땐 성립하니까 k는 2이상인 자연수로두고요.. 그러면 "k일때 성립한다 가정해도 k+1일때 성립을 보장할 수 없어야" 수렴하는 극한의 성질을 유한개에 대해서만 적용된다고 말할수잇는거아닌가요?

[익명(121.173)]

근데 실제론 유한개에서만 적용가능 하니깐.. 작성자는 왜 유한개에 대해서만 적용된다고 바로 명시안햇는지를 묻는거같네요 귀납법으로 생각하면 자칫 무한개에 대해서도 성립한다고 얼핏 생각할 수 있으니까요

[익명(183.107)]

수학적 귀납법을 쓰면 임의의 자연수 k에 대해서 k개의 항으로 이루어진 수열의 합이 각각의 항의 수렴값의 합으로 수렴한다는걸 알지. 근데 여기서 항의 개수를 무한으로 두더라도 성립한단 보장은 없음.

[익명(121.173)]

그럼 k에대해서 k개의 항으로 이루어진 수열의 합이 각각의 항의 수렴값의 합으로 수렴하지만 k+1일때도 그러지는 않는다는 뜻과 동치인거죠?

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

일반적으로 인간이 무한을 상상하기 힘들어서 유한위주로 그런것도 있고... 유한에서는 잘 되던 친구들이 무한에서 직관에 반대되는 친구들이 은근히 있음. 정의역이 같은 연속함수 2개를 더하면 연속함수이지만서도 정의역이 같은 연속함수를 무한개 더했을 때 불연속함수가 되는 경우도 있고 (삼각함수 무한히 더하면?) 예시는 각각의 항이 뭔지 잘 모르겠네요

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

S_n=a_1+...+a_n 이라고 하면 lim n-> inf S_n이 수렴하면 lim n->inf a_n =0 이지만 그 역이 성립 안하는거 말하는 건가요?

[익명(121.173)]

예시는 아마도 1+2+3+...+n/n^2의 극한은 2분의1로 존재하지만 따로따로 생각해서 극한의 기본성질을 적용하여 더하면 0이다 라고 말할 수 없는걸 말하는거같네요

[겨울_(silhouet72)]

아니 이게 당연한게, 귀납법은 각각의 (유한한) n에 대해 명제가 성립한단 거지 n을 무한으로 밀고갔을 때 명제가 성립하는지에 대한 정보를 주는 게 아니니까.. 예를 들어 귀납법을 쓰면 각 n에 대해 {1, ..., n}이 유한집합임을 보일 수 있지만 {1, 2, 3, ...}이 유한집합인 건 아니잖아.