zfc모델에서 모든 대상은 집합임
포함하는 것도 포함되는 것도 전부 집합이고
class는 편의를 위한 보조개념 정도


axiom of infinity - There exists inductive set.

inductive set은 그냥 간단하게 말해서 자연수 집합임.
이외의 공리들은 단일로 어떤 집합의 존재를 보장 하지 않음


axiom of union를 예로 들어보면

axiom of union - If A and B are set, there exists union A∪B

합집합의 존재를 보장하는데, 먼저 어떤 다른 집합이 존재한다는걸 알고 있지 않다면 합집합도 논할수 없음

axiom schema of specification도 마찬가지

axiom schema of specification -
For each formula p(x), if A is set, there exists set B={x∈A: p(x)}

axiom 'schema'인 이유는 각 formula p(x)에 대해서 공리 하나씩이라서 schema임
이 공리는 명제 p(x)를 만족하는 집합 A의 원소들로 이루어진 A의 부분집합의 존재를 보장함.
하지만 이 공리 역시 먼저 어떤 집합 A가 존재한다는걸 알고있지 않다면 써먹을수 없음


그래서 zfc에서 유일하게 어떤 집합이 존재한다는 것을 단일로 보장하는 것이 axiom of infinity임
그리고 이외의 모든 집합은 이 자연수 집합으로부터 유도됨

남은 공리들이 equivance relation, cartesian product등을 가능하게 하기 때문에
자연수 집합 하나만으로 수학에 필요한 대부분 대상들을 유도해낼수 있음
수체계, 함수 등등





class는 편의를 위한 개념임

class는 집합만을 원소로 취함

C = {x: p(x)}
C는 명제 p를 만족하는 집합들의 모임
class의 장점은 다루기 편하다는거임. 집합과 달리 상위 집합을 고려할 필요가 없으니까

C가 집합이려면 상위집합이 있어야함
C = {x∈D: p(x)}
C는 명제 p를 만족하는 집합 D의 원소들의 집합


class C가 만약 zfc 공리들을 이용해서 자연수 집합으로부터 유도해낼수 있다면 집합, 없다면 proper class가 됨