[일반] 행렬 방정식 질문좀

[로리행보관(jjlee98)]

A^2-3A+2I=0을 만족하는 2차정사각행렬 A을 다 찾는 문제에서

I, 2I는 바로 나왔는데 나머지 해를 쉽게 찾는 방법은 없음?

[겨울_(silhouet72)]

A=kI 꼴이 아니면 A의 minimal poly.가 적어도 2차식인데 t^2-3t+2가 A를 죽이니까 이 다항식이 정확히 minimal poly.가 됨. 한편 char. poly.는 2차식이고 minimal poly.의 배수니까 이 다항식이 char. poly.까지 되어서 tr(A)=3, det(A)=2를 얻음. 그러면 이런 행렬 전부가 근이 되겠지

[로리행보관(jjlee98)]

오늘 퀴즈에서 나온문젠데 그런쪽은 범위에 없으니까 괜찮겠지?

[겨울_(silhouet72)]

어디까지 배웠는진 모르겠지만 다 구하랬으면 다 구해야지. char. poly.같은 거 모르는 상태면 미지수 4개 두고 brutal force로 구할수밖에

[로리행보관(jjlee98)]

않이 선대 첫 퀴즈인데 벌써 그런 범위까지 갔을리가 교수도 의도한건 아니었을테니 괜찮아

[겨울_(silhouet72)]

첫 퀴즈면 진짜로 그냥 생노가다 하라고 낸 문제같은데ㅋㅋ

[로리행보관(jjlee98)]

하 그럼 대다수가 틀리거나 아님 맞거나 둘중 하나겠군 근데 최소다항식 특성다항식 이런건 학부 선대책 어느쯤에서 나옴?

[겨울_(silhouet72)]

선대군에선 7장에 나오니까 책의 중반쯤. 다른 책은 안 봐서 모르겠고..

[ns(qwer2357)]

같은 풀이지만 그냥 Cayley-Hamilton으로 나온 식 A^2 - sA + tI = 0이랑 원식을 빼서, s=3일땐 t=2이고 그 조건하에선 언제나 성립, s !=3이면 두 식을 빼서 A=kI꼴인걸 알기 때문에 k=1 or 2 로 정리하면 될듯

[로리행보관(jjlee98)]

[익명(39.115)]

대각성분 1, 2인 대각행렬 D. 임의의 invertible P에 대해서, PDP^(-1). 그리고 I, 2I. 그게 다임

[익명(39.115)]

어디까지 배웠는지 모르겠는데, 주어진 다항식의 모든 인수가 multiplicity 1이므로 A는 대각화 가능함. 그러니까 아이겐벨류 람다로 놓고, 람다에 대해서 이차방정식을 푸는 식으로 하면 증명할수 있음