작도 가능하다는 것의 정의를 다음과 같이 할 때 삼등분 안 되는 각이 존재한다는 건 알겠음.
삼등분 안 되는 각이 존재한다는 건 아래와 같이 쓸 수 있고 아래 정리의 증명까지는 해 봤음.
근데 문제는 정의 1이 현실을 반영하는지 모르겠다는 거임. 정의 1상 작도 가능하면 실제로 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 작도 가능한 거 같음. 근데 반대도 된다는 확신이 안 듦.
예를 들어 다음 그림에 나타난 점과 직선은 이미 작도된 것들이라 하면
정의 1은 아래와 같은 작도를 허용 안 함. 왜냐하면 원은 이미 작도된 두 점을 가지고서만 만들어야 하기 때문임. 하지만 실제 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 작도할 때 원을 아래와 같이 더 크게 잡아서 정의 1이 허용하는 것보다 더 많은 걸 작도할 수 없다는 보장이 있음?
예시 추가. 아래와 같이 세 점과 원이 이미 작도가 돼 있다 하자.
맨 오른쪽 점을 중심으로 하는 원을 아래와 같이 추가로 작도하는 것은 정의 1이 허용함.
정의 1에 의하면 맨 오른쪽 점을 중심으로 하면서 기존 원과 빨간 부분에서 만나는 원은 작도 못 함. 하지만 현실에서는 그런 원은 그릴 수 있음. 그 원을 이용해야만 작도할 수 있는 도형이 있으면 어떡함? 그 원은 (맨 오른쪽 점과 위 교점과의 거리) = (맨 오른쪽 점과 아래 교점과의 거리) 라는 정보도 있고, 정의 1이 허용하는 원과 본질적으로 같아 보이진 않는데..
공부나 해라
왜냐면, 원을 정말로 '아무렇게나' 그리면 그 원은 두 번 다시는 똑같이 못 그리니까. 다시 말해서 그 원이 다른 직선과 교점이 있든 다른 원과 교점이 있든 그 교점들은 작도 가능한 게 아님. 그냥 우연히 얻어진거지. 예를 들어 각의 3등분선도 자로 그냥 직선 그어서 우연히 얻을 수 있지만 이런건 인정 안 하는 것처럼
요거다 - dc App
근데 한 직선과 점이 주어졌을 때, 그 점을 중심으로 직선과 두 점에서 만나는 원을 '아무렇게나' 그리면 그걸 이용해 수직선을 그릴 있음. 물론 정의 1도 이 작도는 허용함 (정의 1은 직선이 작도됐다는 건 항상 그 직선 위의 두 점도 이미 작도됐음을 전제하니까 원을 그릴 수 있는 건 마찬가지이기 때문).
근데 이런 수직선 작도를 보면 정의 1이 허용 안 하는 현실 작도가 있을 거 같기도 한데
최초에 거리 1인 두 점은 주어져있습니다.
수직선을 작도할 때 아무 원이나 괜찮다면 작도가능한 원을 그려도 되는거지. 유리수 격자점들이 모두 작도 가능하니 R^2에서 dense하기도 하니 문제도 없고
ㅇ 점 (0, 0), (0, 1)이 주어져 있을 때 유리수 격자점은 항상 작도 된다는 걸 생각 못 하고 있었음
저렇게 아무렇게나 잡은 모든 원에 대하여 어떤 대상을 눈금없는 자와 컴퍼스로 그려낼 수 있는 일반적인 방법이 있다면 그 대상은 작도 가능한가? 하는 질문 같은데
아닌가 아님말구요 쩝
ㅇㅇ 그거 맞음. 내가 내 교재를 제대로 이해했다면 교재에서 증명한 건 정리 2임. 정리 2는 정의 1에 기반하고 있고. 근데 니 댓글의 '그 대상'이 정의1에선 허용 안 되지만 현실에선 허용될 수도 있어보여서..
만일 주어진 저 예시에서 주어진 두 점 사이의 거리와 그린 반지름과의 비율을 작도로 알 수 있는 방법을 알려준다면 그려도 됨. 근데 그게 안되잖아? 흔히 말하는 '그냥 긋는다'는 이 비율이 상관없을때나 처음 긋는거여서 기준이 자기 자신이 될때의 얘기지.
저 원의 반지름을 모르기 때문에 얻을 수 있는 정보는 저 원의 반지름이 적절한 유리수 등 일때 얻을 수 있는 정보와 동일하겠지(다시말해 임의의 반지름을 쓸 수 있는 길이로 바꿀 수 있음. 기하적으로 특정 부등식을 만족하는 형태로) 이후의 논의는 동일.
예시 추가했는데 저건 어때?
역시 동일. 그 비율을 알 수 있냐니까? 알 수 없는 반지름을 썼다면 적당한 유리수 반지름으로도 충분할거고, 알 수 있는 반지름이라면 이미 저 증명에서 다뤄진 체에 속할거임. 저게 내가 말한 설명의 반례가 될 수 있다고 생각한 이유를 모르겠는데
아 알겠음 유리수 길이의 선분은 항상 그릴 수 있다는 걸 생각 못 했네
니가 '현실에서 적용가능한' 이라는 말을 너무 광의적으로, 그리고 지멋대로 해석해서 그런거야. 이 글을 보는 수학과들은 전부 답답해하고 있을걸. 그렇게 따지면 애초부터 주어진 길이 하나에 눈금 없는 자와 컴퍼스를 왜 쓰냐. 그게 '작도가능한' 이라는 수학적인 정의(정의1)를 현실에 비유해서 나타낸 말이고, 굳이 니 논리대로 얘기하자면 눈금 없는 자와 컴퍼스로 그릴 수 있고, 어떤 상황에서도 다시 복원가능한 수겠네.
삼등분가를 설득하려면 정의 1이 실제로 그들이 주장하는 작도의 정의와 일치한다는 걸 설명해야 하잖아. 그냥 정의 1과 정리 2를 들이밀면서 "이러니까 작도 불가능합니다" 라 하면 누군가는 정의 1이 왜 현실의 작도와 일치하냐고 물을 수 있음
현실의 작도와는 별 상관없지 않냐 현실에서는 일정오차 범위 안에 든다면 구별이 가지 않으니까 ㅇㅇ 하지만 수학적 작도에서는 엄밀하게 얘기해야지
내가 말한 현실의 작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 오차 없이 정확히 얻어내는 작도임. 그 작도를 정의 1로 정의하면 삼등분 안 되는 각이 존재함을 보일 수는 있음. 하지만 이걸 굳이 현실과 연결하려 한 이유는 삼등분가를 상대하기 위해서임. 걔네가 말하는 작도는 수학자들이 정의한 작도가 아니라 진짜 눈금 없는 자와 컴퍼스로 그려내는 작도니까
저 원얘기는 무슨 소리냐 현싱에서는 어떻게 그런 원을 그릴 수 있다는거
그냥 컴퍼스로 그리면 되지
임의의 양수 e에 대해 e만큼의 오차도 없이 저 원 다시 그려봐 물론 앞서 그렸던 원을 절대 참고하지 않는 방향으로 - dc App
추가적인 대상을 더 사용하는 방법으로 각의 삼등분 및 다른 작도 불가능한 대상을 만들 수 있음은 이미 많이 알려져 있음 삼등분가들은 그걸 정확히 몰라서 그러는거고 - dc App
같은 원을 다시 못 그리더라도 그 원을 사용해 진짜 작도라고 인정할만한 걸 해낼 수는 있으니 (예를 들어 기존 원을 이등분하는 직선을 그리는 것) 그거보다는 위 댓글들처럼 유리수가 dense하다는 걸로 설명해야 할 듯
굳이 저 원 아니어도 이등분 작도는 가능한데
이등분은 그렇지 근데 저 원으로만 할 수 있는 작도가 있으면 어쩌나 해서 물어본 거였음 아무튼 이젠 해결됐다