선택공리가
예를 들어서 실수의 non-empty subset들 다 모은 집합을 S라 할때
f : S -> R , f(A) is an element of A 인 함수가 적어도 하나 존재한다는 거잖아?
그럼 존재하니까 뭐 어떻게든 생겨먹었을거아냐?
그럼 이거가지고 지지고 볶아서 내가 원하는 대로
선택해서 보낼 수 있음?
예를 들어서 실수의 non-empty subset들 다 모은 집합을 S라 할때
f : S -> R , f(A) is an element of A 인 함수가 적어도 하나 존재한다는 거잖아?
그럼 존재하니까 뭐 어떻게든 생겨먹었을거아냐?
그럼 이거가지고 지지고 볶아서 내가 원하는 대로
선택해서 보낼 수 있음?
어느 정도는 될 거 같은데. 예를 들어 그런 f가 존재하면 g: S to R, g(A) = 0 if 0 is in A, g(A) = f(A) if 0 is not in A 인 함수 g도 존재함.
집합 A의 각 원소에 대응하는 집합 B의 원소를 지정하는 식을 만들 수 있으면 분리공리꼴(axiom schema of separation)에 의해 그 함수는 존재함. 근데 그런 식이 항상 있는 건 아니니까 선택공리가 필요한 거 같음. 예를 들어 위 댓글에서는 A가 0을 포함하면 A에 0을 대응시켰지만 일반적인 A에는 뭘 대응시켜야 할지 애매함.
하지만 선택공리로 잡은 함수 f에서, S의 원소 중 일부 (대응시킬 원소를 명확히 지정할 수 있는 것) 의 함숫값을 다르게 바꾼 함수를 잡을 수는 있을 듯
흠 궁금한게 그럼 이해를 잘 못해서 그런데 그냥 일반적으로 A_i라는 무한집합들이 있을 때 각 A_i에서 내가 원하는 a_i(in A_i)들이 있어. 그럼 각 A_i들을 a_i로 보내는 선택함수 존재성은 알 수 없다는 말인거야?
아니 그런 함수는 보통 존재하겠지. a_i 를 명확히 특정할 수 있으면 p(x) if and only if x = (A_i, a_i) 인 식 p(x)가 존재할 거고 따라서 분리공리꼴을 사용해 함수가 존재함을 보일 수 있으니까
저런 p(x)가 없을 때를 위해 선택공리가 필요한 거임. 예를 들어 실수의 각 공 아닌 집합 A에 a in A 를 대응시키는 규칙은 떠올리기 어려울 거임
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흠 그럼 뭐라 특정하기 어려운 집합에서는 선택공리가 필수겠고, 우리가 잘 아는 집합, 예를들면 자연수 N을 index I개 만큼 disjoint union한 집합이 있다하면 거기서는 그냥 원하는대로 잡아줄 수 있다는 거지?
ㅇㅇ 거기선 대응시킬 원소를 명확히 특정할 수 있을 테니까
아 ~ 그럼 대응시킬 원소를 잘 가져올 방법이 있으면 함수를 만드는건 그냥 하면 되는거구나 그냥 원소하나씩 대응시키고 싶은데 특별한방법이 없으면 선택공리 조지면 되는거고? ㅇㅋㅇㅋ 선택공리가 왜 필요한지 이제 알거같다 고마워!!