일대일대응이어야한다고 써있는책도 있고 그런 말 없는 책도 있고..


치환함수가 항상 일대일대응일 필요는 없는 것같은데 맞나요?

그래서 물어봤는데 치환함수가 일대일대응이어야되는 이유에 대해 이런예를 들더군요


예를들어,.. x^2을 -1부터 1까지 x에대해 적분한다고 할때,


t=x^2으로 치환하면


x=-1일때 t=1 x=1일때 t=1이되므로 어떻게 치환을 하든 1부터1까지 정적분값은 0이되므로 모순..이라고 하면서 치환함수가 일대일대응이어야한다는데


저것의 오류는 치환함수가 일대일 대응이 아니기때문이아니라


-1부터 0까지의 x^2 정적분 치환함수와

0부터1까지의 x^2 정적분 치환함수가 서로 다른데 같게보고 계산햇기때문에 0이되버리는 오류가 난거아닌가요?


x^2=t이면 x가 0이상일때 x=√t x가 음수일때 x=-√t가 되잖아요. 범위에 따라 치환함수값이 다르기때문에


단순히 1부터1까지 하나의 함수를 정적분 하는게 아니라 0이라고 말할수없는거죠.


a부터a까지 정적분할때 함수값이 0이란것은 범위에상관없이 그 함수가 일정할때 적용되는 논리고


저기서는 1부터 0까지 함수f(t)정적분+0부터1까지 함수g(t)정적분 꼴로 나타내어져서 답이 치환을 안했을때와

동일하게 나타내어지거든요


치환함수가 일대일대응일필요는 없는거맞나요?


+정적분 범위내에서 함수를 나눠 볼 필요가 없게 바로 나타낼때에는 항상 일대일대응으로 치환해야하지만, 그런경우가 아니라면

필요가 없는것이죠?