형님들 수학 공부할 때 보면
새로운 개념들이 등장하지 않습니까?
이런 개념들에 대해 직관적인 이해를 갖는 것이 중요합니까?
가령 처음에 토폴로지의 정의를 배우면 R의 보통위상에서 일반화된 것으로 생각하려고 머리속에 그림을 그렸습니다. 인테그랄 도메인은 Z를 생각합니다. Inner product가 정의된 공간은 항상 3차원에서 먼저 생각해봅니다. 그런데 과연 이렇게 생각하는 게 옳은가에 대한 고민이 들었습니다.
어떤 친구는 이렇게 말했습니다.
왜 정의한 대상에 대한 직관적인 이해가 필요해? 보드게임할 때 그런거 생각해? 퍼즐게임 할 때 그런거 생각해? 그냥 주어진 게임목표와 룰에 따라 행동할 뿐이잖아. 수학도 그렇게 생각하면 쉬워.
라고요.
학년이 올라갈수록 점점 더 추상적인 대상을 다루어 가게 되는 것 같은데, 그럴수록 원래 알던 것과 연관지어 직관적인 이해를 가져보려 하는게 어려워집니다.
그래서 고학년 혹은 대학원 형님들은 수학적으로 정의된 대상들을 어떤 방식으로 바라보시는지 궁금합니다.
새로운 개념들이 등장하지 않습니까?
이런 개념들에 대해 직관적인 이해를 갖는 것이 중요합니까?
가령 처음에 토폴로지의 정의를 배우면 R의 보통위상에서 일반화된 것으로 생각하려고 머리속에 그림을 그렸습니다. 인테그랄 도메인은 Z를 생각합니다. Inner product가 정의된 공간은 항상 3차원에서 먼저 생각해봅니다. 그런데 과연 이렇게 생각하는 게 옳은가에 대한 고민이 들었습니다.
어떤 친구는 이렇게 말했습니다.
왜 정의한 대상에 대한 직관적인 이해가 필요해? 보드게임할 때 그런거 생각해? 퍼즐게임 할 때 그런거 생각해? 그냥 주어진 게임목표와 룰에 따라 행동할 뿐이잖아. 수학도 그렇게 생각하면 쉬워.
라고요.
학년이 올라갈수록 점점 더 추상적인 대상을 다루어 가게 되는 것 같은데, 그럴수록 원래 알던 것과 연관지어 직관적인 이해를 가져보려 하는게 어려워집니다.
그래서 고학년 혹은 대학원 형님들은 수학적으로 정의된 대상들을 어떤 방식으로 바라보시는지 궁금합니다.
그건 케바케 아님? bottom-up vs top-down 에 대한 선호도 문제인거 같은데
물질주의적이냐 관념주의적이냐의 차이도 있고
저는 대수책에서 Category를 보면서 bottom-up의 불가능을 느꼈습니다... 이건 도대체 뭔지를 모르겠습니다. 근데 또 그냥 게임이라고 생각하면 그냥저냥 읽히긴 했습니다.. 불편은 하지만
예를 들어 ideal이 뭐지 그냥 subgroup 같은건가? 라는 생각을 하다가도 Z나 R(x) 안의 ideal들을 살펴보면 아 이게 배수의 일반화구나, 라는 생각을 해 볼 수 있겠지. 수학에서 어떤 개념을 처음 봤을 때 이 개념을 왜 만들었을까 라는 생각도 해보기 마련인데 보드게임을 할 때도 마찬가지임. 설명을 들어도 어떤 법칙이나 방식이 바로 이해가 안 가면 플레이를 해보면서 아 이게 이런거구나, 라는걸 알 수 있거든. 물론 수학과스러운 마인드가 부족하면 혼자만의 방식으로 이해를 하다가 원래 뜻과 멀어지는 경우도 있긴 한데 이건 또 다른 경우라서.
아 결국 그 안에서 놀다보면 익숙해지면서 무슨 뜻인지 깨달을 수 있는 것이군요. 동시에 혼자 공부할 때의 위험성도 있는 것이구요. 항상 누군가와 함께 공부하려고 노력해야겠습니다. 좋은 깨달음을 얻었습니다. 감사합니다 형님
모든 수학적 개념은 그냥 나오는 게 아니라고 봅니다. 퍼즐처럼 그냥 아무 룰이나 제시한다고 연구대상이 되진 않아요. 나름대로 의미를 갖고 있고, 논문이나 형식적 연구 과정, 소통에서는 드러나지 않는 직관과 경험이 암묵적으로는 공유되고 있습니다.
하물며 보드게임 조차 그 말들이 왜 그렇게 행동하는지 나름대로 이유가 있는데, 널리 연구되는 수학이 그렇지 않다고 믿긴 어렵겠죠.
말씀해주신대로 그렇게 예시들을 생각해보며 접근하는 게 가장 강력합니다. 그냥 논리와 법칙만으로는 수학을 할 수 없어요
그런데 왜 교수님들은 수업 때 그러한 것을 설명해주시지 않는 겁니까? 대부분의 교수님들의 수업스타일은 다음과 같습니다. ?? : 자 여러분 A라는 건 이런거에요. 자 정리 1 봅시다.
교수님마다 케바케에요.
가끔은 그 정의보다는 그 정의를 만족하면 얻을 수 있는 성질, 정리들이 직관을 쌓는 데에 도움이 되기도 합니다.
케바케인건 저도 알지만.. 저희 학교기준으로 대부분은 그러셔서... 아무튼 조언 감사드립니다. 그럼 앞으로도 하던 방식대로 힘들더라도 예시를 많이 찾아보고 생각하겠습니다.
아.. 그렇다면 정의가 뭔지 모르겠다고 멈추는게 아니라 뒤를 훑어보는 것도 좋은 방법이 되겠군요!
그렇죠. 가장 찾기 쉬운 예시가 바로 compactness입니다.
아.. 생각해보니 그렇군요! Closed and boundedness..
상황따라 케바케인데 님이 말한 어떤친구 말처럼 계속하면 밑천 다드러나요. 님이 말한거처럼 직관적인 점점 어려워질수는 있는데 모티베이션을 이해하는게 상당히 중요합니다. 그렇게 해야 직관위에 직관을 얹어서 이어나갈수있음. 초보자가 보기엔 직관적이진 못한건 당연한거고.
아아.. 조언 감사드립니다, 형님! 모티베이션을 잘 얻을 수 있는 방법은 무엇이 있을까요
모든 형님들 답변 감사드립니다. 많은 생각의 전환이 있었습니다. 너무 감사드리고, 앞으로도 종종 찾아뵙겠습니다. Measure를 공부할 땐 형님들의 말씀을 잘 새기면서 하겠습니다.
진짜 취향과 케바케의 문제다 싶은데. 실해석 교재 얘기할때도 folland와 rudin비교할때도 이런식으로 비교되던거 같음. 근디 뭘하던 자기가 편한대로 이해하는게 낫지 않나 싶은데
책 이것저것 보면 그런거 좀 설명해주는 책들 있음