명제 P(n)이 n=k일때 성립한다 가정했을때(k는 어떤 자연수)
명제 P(n)이 n=k+1일때도 성립한다는 걸 보이고
명제 P(n)이 n=1일때 성립한다면
명제 P(n)은 모든 자연수 n에 대하여 성립한다는건데
이 "모든 자연수 n에 대하여 성립한다' 라는게
임의의 자연수를 콕 찝어서 대입했을때 항상 성립한다는거지 n을 무한히 늘렸을때에도 성립하는건아니죠?
만약 n을 무한히 늘렸을때에도 성립한다면
0.9999...를 0.9+0.09+0.009+...의 n번째 합의 극한으로 취급할때
0.9+0.09+...의 n번째합은 항상 1보다 작고 n+1번쨰합도 1보다작지만 극한은 1과 동일한거처럼
수학적귀납법은 임의의 자연수에 대해 성립하는거지 무한한 상태에서도 성립하는걸 보장하지는 못한다. 라는거죠?
네 맞습니다 - dc App
무한은 수가 아니라서 당연히안되지
natural number에 한정하여 수학적 귀납법을 P(k)->P(k+1)로 두면 그렇지만, transfinite induction (k<n> P(k)) -> P(n)을 통해 모든 ordinal에 대해서 P(n)를 증명하면 P(N)=lim_(n->N)P(k)도 성립하겠죠. 물론 극한 문제에서는 transfinite induction이 성립하지는 않을 것이고요.