[일반] 정적분 관련하여 질문드려요

[익명(211.246)]

실수 전체의 집합에서 이계도함수가 연속인 함수 f(x)가

f(0)=0, f(2)=0 이고

모든 실수 x에 대하여 f(x)<=1 , f''(x)<0 이 성립할때

0부터 2까지 sqrt(1+{f'(x)}²) 의 정적분값이 항상 4보다 작음을 증명하시오.

라는 문제인데 어떻게 접근해야할지 모르겠네요..도움을 받을 수 있을까싶어 올려봅니다

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[익명(118.235)]

대충 그래프 그려보면 f는 위로볼록한 함수가 됨

[익명(118.235)]

롤의 정리 이용해서 f'=0이 되는 점을 c라고 하고 구간을 [0,c] [c,2] 나눠서 생각

[익명(118.235)]

[0,c]에서는 sqrt(1+f'^2)<=1+f'이 성립 [c,2]에서는 sqrt(1+f'^2)<=1-f'이 성립하고 적분하고 더해주면 int 0to2 sqrt(1+f'^2)<= c+f(c)+(2-c)+f(c)<=4

[익명(118.235)]

대충 이런 식으로 보이면 될 듯 아님말고

[핑크베리(61.4)]

저도 똑같이 풀었어요 ㅇㅅㅇ