G 랑 HxK가 군동형일때 H가 G의 normal subgroup임을 보이라는데
우선 Hx{e}가 HxK의 normal subgroup인건 보였거든?
그러면 위에 동형사상에 의해서 Hx{e}랑 isomorphic한 normal subgroup이 G에 존재할거고, 얘는 당연히 H랑 isomorphic하니까 H는 G의 normal subgroup인 것처럼 볼 수 있다.
이렇게 쓰면 되는거임??
우선 Hx{e}가 HxK의 normal subgroup인건 보였거든?
그러면 위에 동형사상에 의해서 Hx{e}랑 isomorphic한 normal subgroup이 G에 존재할거고, 얘는 당연히 H랑 isomorphic하니까 H는 G의 normal subgroup인 것처럼 볼 수 있다.
이렇게 쓰면 되는거임??
H하고 K가 G의 subgroup일 때 말하는거지? G가 HxK하고 동형이라는건 G의 원소가 모두 hk꼴로 유일하게 표현되고 H의 원소와 K의 원소가 항상 commute한다는것과 동치임. 그러므로 G의 임의의 원소를 hk라고 하고 H의 원소 x에 대해 (hk)x(hk)^-1 = hxh^-1 가 H의 원소이므로 H는 normal - dc App
G랑 HxK가 함수 f에 의해 동형이면, G의 모든 원소가 f(Hxe)랑 f(exK)의 원소들의 곱으로 유일하게 표현되고 얘네둘 원소가 항상 commute하는 거 아냐?? 그럼 f(Hxe)가 normal인거지. H가 normal인건 아니잖아. 물론 둘이 동형이긴 하지만, 동형이라고 해서 normal을 보장할 순 없는 거잖아.
H, K가 G의 subgroup일 때 G가 HxK와 동형이라고 할때는 일반적으로 isomorphism이 (h,k)을 hk로 보내는 경우임. 그래서 H×{e}의 image는 G의 subgroup인 H가 됨 - dc App
니가 본문에 적은것처럼 그냥 군동형이기만 하다면 니말이 맞다만, 아마 H, K가 subgroup일 때 direct product는 위처럼 정의할거임 - dc App
오 그렇구나 ㅋㅋㅋ 그걸 몰라서 여태 뻘짓만 했네 답변 고마워!!
예를 들어서, Z2xS3 같은 경우 보면 0x{id,(12)}랑 Z2x{id}는 둘다 동형인데 하나는 normal이고 하나는 normal이 아닌 경우도 있어서. 정확히 H가 normal임을 보장할 수 있는건가?