[일반] R 에서 R로가는 연속함수 기수가 aleph1 인거 어떻게 보일까

[익명(121.130)]

ㅇㅇ

[김이요°(karma5)]

정의가 그렇지 않음?

[김이요°(karma5)]

아 연속함수의 모임

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[김이요°(karma5)]

N1=2^N0 이잖아

[궁닙꾸거원(psets)]

멍청한 놈들아. ℵ1인 거 보이는 건 연속체 가설 증명하는 거하고 동치야. 2^ℵ0임을 보이는 거겠지.

[김이요°(karma5)]

N1=2^N0 이잖아

[궁닙꾸거원(psets)]

그게 연속체 가설이잖아. 너 가르치신 집합론 교수님께서 연구실에서 울고 계시겠다.

[김이요°(karma5)]

쟌넨 본인은 집합론을 안들은데숭

[궁닙꾸거원(psets)]

그럼 내가 설명해줄게. 크기가 ℵ0인 모든 ordinal을 모은 ordinal Ω를 생각하자. 그럼 Ω는 자기 자신을 포함할 수 없으니까 크기가 ℵ0보다 커야 하고, ℵ0과 Ω 사이에는 아무것도 없음. 여기서 Ω를 ℵ1이라고 정의하는 거야. 연속체 가설은 ℵ1이 2^ℵ0인지 아닌지를 물어보는 거고.

[궁닙꾸거원(psets)]

Weierstrass approximation theorem 써서 upper bound 구하고, 적당한 construction 만들어서 lower bound 구하면 될 거 같은데.

[01(1.240)]

Weierstrass approximation thm은 compact set에서의 정리라 힘들거 같은데..

[궁닙꾸거원(psets)]

이거도 할 수 있어. 임의의 연속함수 f는 p_{n,m}들을 모아서 approximation할 수 있음. 여기서 n, m은 자연수고 p_{n,m}은 다항함수. f는 [-n,n]에서 m을 무한대로 보냈을 때의 p_{n,m}과 같음. 근데 이런거 모아놓은 집합의 cardinal이 2^ℵ0임. 다만, 아래 풀이가 더 깔끔.

[01(1.240)]

연속함수는 유리수에서만 값을 정해주면 유일하게 결정되니까, c^(N0)=c 이하임은 분명. 임의의 상수함수가 연속이고 상수함수가 c만큼 있으니 c 이상도 바로 나옴. 그래서 연속함수는 c만큼 있음. (c=continuum)

[궁닙꾸거원(psets)]

깔끔하네.

[01(1.240)]

올해 들었던 집합론 과제 중 하나라 바로 떠오름ㅋㅋ

[기괴공학도(mecheng98)]

나도 뭔 소리들하는지 이해하고 싶다 ㅠㅠ - 훈다리 훈다리

[Rafle(probaroque)]

이거 교양서적 한 권만 읽어도 이해되는 수준의 논의임. 내가 집합론 안 듣고 교양서적 달랑 한 권 읽었는데도 이해가 되는걸 보면.