[일반] 이 급수 수렴성 증명좀 해줄사람

[익명(14.34)]

쉬워보이는데 안풀림 울프람도 모르고 ㅋㅋㅋㅋ

[dd(39.118)]

1이상 2이하 어딘가

[dd(39.118)]

int 0 to n (x/n)^n dx +1 로 바운드 됨

[익명(14.34)]

혹시 증명이나 설명 가능하누? ..

[dd(39.118)]

걍 적분 판정법 써..

[익명(14.34)]

ㄳ

[익명(211.212)]

당연히 발산

[익명(14.34)]

윗놈은 수렴한다고 하는데 머임 ㅋㅋㅋ

[익명(211.212)]

아, 내가 착각했군 .수렴함.

[익명(211.212)]

정확히 e/(e-1)로 수렴함.

[익명(211.212)]

일단, 저 식을 1 + (k=1부터 n-1까지 (k/n)^n의 합)으로 보고.. (k=1부터 n-1까지 (k/n)^n의 합)은 (k=1부터 n-1까지 (1 - k/n)^n의 합)과 같은데, (1 - k/n)^n은 n이 증가할수록 마찬가지로 증가하고 e^{-k}로 수렴하니까, monotone convergence theorem에 의해서 (k=1부터 n-1까지 (1 - k/n)^n의 합)은 lim_n (k=1부터 n-1까지 e^{-k}의 합) = (1/e + 1/e^2 + ...) = 1/(e-1)로 수렴함. 따라서 수렴값은 1 + 1/(e-1) = e/(e-1).

[익명(14.34)]

오우 ㄳ

[익명(211.212)]

엄밀히 적자면, f_n(k)를 k가 n 이상이면 0, n-1 이하이면 (1 - k/n)^n인 함수라 할 때, 본문의 식은 1 + (k=1부터 무한까지 f_n(k))의 합이 되는데, 각 k에 대해서 f_n(k)는 n이 증가하면 마찬가지로 증가하고, e^{-k}로 수렴함. 따라서 (본문의 합) = S_n = 1 + f_n(1) + f_n(2) + .... 라 하면 각 f_n(k)가 증가하니 S_n은 증가수열이고, 이건 1 + 1/e + 1/e^2 + ...에 bounded 되어있으니 단조증가 유계수열은 수렴한다는 정리로부터 수렴성을 보일 수 있음. 실제로 monotone convergence theorem에 의해서 정확히 수렴값이 1 + 1/e + 1/e^2 + ...가 되고.

[익명(175.223)]

엥 발산아님? - dc App

[익명(118.235)]

문제 잘못봤었네