[일반] 극한으로 구할 수 있는 도형의 성질과 그렇지 않은 성질을 어떻게 구별

[익명(222.104)]

Diagonal paradox

http://mathworld.wolfram.com/DiagonalParadox.html

가 말하는 것이 어떤 도형들의 수열이 어떤 도형으로 수렴하더라도,

그 수열의 도형들이 갖는 성질이 수렴도형이 갖는 성질과 다를 수 있다는 거 아닌가요

여기에서 그 예가 길이라는 것 같고.

그런데 길이는 보존안 되고 예를 들면 넓이는 보존되잖음?

그러면 보존되는 성질이 무엇인지 characterize할 수 있나요??

[겨울_(silhouet72)]

넓이도 수열(도형열)을 저렇게 잡으니까 수렴하는 것 처럼 보이는 거지, LDCT같은 거 생각해보면 점별수렴한다고 해서 넓이까지 같이 수렴한단 보장이 전혀 없음. 일단 점별수렴 자체가 엄청 강한 조건은 아니라. 그래서 점별수렴만 따지면 보존되는 걸 찾기가 더 힘들거 같은데.

[익명(222.104)]

음 죄송한데 LDCT가 뭔가요? 검색해보니 무슨 폐암 사진이 나와서... 그리고, 도형의 점별수렴은 어떻게 정의해야 할까요?

[겨울_(silhouet72)]

ㅋㅋㅋㅋ Lebesgue Dominated Convergence Thm이란 게 있는데, '적당한 조건' 아래에서 네 말처럼 넓이의 극한=극한의 넓이를 보장해주는 정리야. 거꾸로 말하면 그 특정한 조건을 만족하지 않으면 수렴 안 할 수도 있고. 도형의 점별수렴은 엄청 진지하게 생각해서 쓴 말은 아니다만 그냥 함수열 점별수렴이랑 비슷하게 하면 될 것 같은데

[겨울_(silhouet72)]

다만, 예를 들어 도형을 점점 확대시키는 형태로 잡아가면 극한의 넓이가 넓이의 극한이 된다던가 하는 말은 할 수 있는데.. 어쨌든 아주 일반적인 경우를 생각하자면 답하기 힘든(또는 긍정적인 답이 거의 없는) 질문 아닐까

[익명(118.235)]

measure-preserving transformation처럼 메져를 보존하는 변환을 연구하는 건 봤는데