log(z)가 multi valued function이다 ㅇㅋ
그래서 branch cut 해야된다 ㅇㅋ
걔들끼리 이어붙이면 회오리감자모양 된다 ㅇㅋ
z^(1/n) 도 multi valued 이다. Root of unity가 n개니까 n-1개 이어붙여서 회오리감자 하다가 마지막 층은 첫번째 층으로 되돌아오게 만들어서 n-sheet 만든다. ㅇㅋㅇㅋ 알겠음.
근데 시발 임의의 복소수에 대해 z^α 는 exp (αlogz) 를 쓰는데, 그럼 logz의 branch cut 따라감. 여기서부터 좀 모르겠음. 좀 애매한 표현이긴 하지만 열린 표현이라고 치고 넘어감.
만약 (z-2)^(1/2) + z^(1/3) 같은거나
z^(3+2i) - (z-3)^(1/2) 같은건 뭘 어떻게 생각해야됨?
아니면 cosz 의 역함수도 multi valued 인데 시발 이거도 branch cut잡아서 뭐 할 수 있음?
아 그냥 처음부터 맘에 안들음. 함숫값이 여러개인걸 왜 함수라고 불러 애초에 시발
머리딸리는 학부생 구제좀 해주세요
그래서 branch cut 해야된다 ㅇㅋ
걔들끼리 이어붙이면 회오리감자모양 된다 ㅇㅋ
z^(1/n) 도 multi valued 이다. Root of unity가 n개니까 n-1개 이어붙여서 회오리감자 하다가 마지막 층은 첫번째 층으로 되돌아오게 만들어서 n-sheet 만든다. ㅇㅋㅇㅋ 알겠음.
근데 시발 임의의 복소수에 대해 z^α 는 exp (αlogz) 를 쓰는데, 그럼 logz의 branch cut 따라감. 여기서부터 좀 모르겠음. 좀 애매한 표현이긴 하지만 열린 표현이라고 치고 넘어감.
만약 (z-2)^(1/2) + z^(1/3) 같은거나
z^(3+2i) - (z-3)^(1/2) 같은건 뭘 어떻게 생각해야됨?
아니면 cosz 의 역함수도 multi valued 인데 시발 이거도 branch cut잡아서 뭐 할 수 있음?
아 그냥 처음부터 맘에 안들음. 함숫값이 여러개인걸 왜 함수라고 불러 애초에 시발
머리딸리는 학부생 구제좀 해주세요
원래 함수란게 그냥 바로 정의되는 애들도 있지만 역함수로 정의되는 애들도 있잖아. x^1/2도 그렇고 log도 그렇고. 그게 branch를 어떻게 잘라서 그렇다는건 결과론이고, 사실 어떤 점 하나 찍으면 그 근방에선 1-1이니까 사실 거기선 함수가 되는거거든
그러니까 w = z^1/n이라면 이게 1^1/n을 1로 정의한 근방에서 함수가 된다는건 w^n = z라는 함수가 있을때, 예를들어 저게 (1,1)이라는 점 근방에서 역함수를 계산한다는 식의 의미. 결국 저기 적힌 이상한 다가함수들은 실제로 다룰땐 다 어떤 특정한 값 근처에서 얘기가 돌아가도록 할거야
예를들어 (z-2)^1/2은 내 머리속엔 3 집어넣을때 -1나오는 애로 잡고있다. z^1/3은 1집어넣을때 1나온 애로 잡고있다. 뭐 그런식으로 선언해놓고, 그걸 만족시키는 적당한 영역을 잡아서 잘라놓고 그게 브랜치라고 생각하는게 진실에 가까움..
z^3+2i면 예를들면 그냥 너가 log 1=0이라고 믿는 범위면 1집어넣어서 1이 나올거고.. 뭔소리냐 log 1=2pi i지. 하고 믿는 범위에선 1^3+2i = exp (- 4 pi) 나올거
복소수로 넘어가는 순간 multi-valued는 피할 수 없고, 이걸 학부 수준에선 branch cut으로 해결하고, 대학원 수준에선 정의역을 잘 이어붙여 single valued로 보고, 그 차이일 뿐이죠. 대신 single valued로 보려면 R^n이나 C^n과는 다른 새로운 (휘어진) 공간이 필요할 뿐이고요.