어렵게 이해해서 나름대로 쉽게 정리해봅니다..

step 1)
G가 그룹이고 H가 G의 normal subgroup이다.
이 때 임의의 conjugacy class K에 대해서
K는 H의 부분집합이거나 H와 disticnt다.

proof) K가 G의 임의의 conjugacy class라고 하자
만약 K와 H가 intersect하다면, 그 둘의 교집합에서 x를 고를 수 있다.
K의 임의의 원소 k에 대해, gxg^-1 = k를 만족하는 g가 G에 존재한다.
k = gxg^-1 는 gHg^-1=H에 속하므로 K는 H의 부분집합이다.


증명 전략)
즉 모든 normal subgroup은 적당한 conjugacy class의 합집합.
모든 conjugacy class의 원소 개수를 구한 후
적당히 조합한 것의 원소 개수의 합이
Lagrange thm(즉 |A5|=60을 나눠야 함)를
만족하지 않는다는 것을 보이면 된다.

A5는 even permutation의 집합이고
각각의 원소들의 cycle type은
1
(1 2 3)
(1 2 3 4 5)
(1 2)(3 4)의 4종류다.

step 2)
3cycle이 속한 conjugacy class는 1개이고 그 원소 개수는 20개이다.

proof)
(알고 있는 것 1)
group action G on A에서
a가 속한 orbit의 원소 개수는 |G:Ga|이다.(Ga는 a의 stabilizer)

(알고 있는 것 2)
Sn의 두 원소가 같은 cycle type인 것과
그 두 원소가 Sn에서 conjugate 한 것은 동치이다.

2에 의해 cycle type이 다른것은 고려대상이 아니다.
S5에서도 conjugate하지 않기 때문.

우선 (1 2 3)의 A5에서의 centralizer C_A5((1 2 3))를 구해보자.
정의에 의해
<(1 2 3)> <= C_A5((1 2 3)) <= C_S5((1 2 3)) 이다.

좌변은 order가 3이고 우변은 order가 6이다.
왜냐하면 3 cycle의 개수는 5 4 3 / 3 = 20 이고
이는 |S5 : C_S5((1 2 3))| 와 같기 때문이다.

그러나 (4 5)가 C_S5((1 2 3))에는 속하지만
C_A5((1 2 3))에는 속하지 않는다. (애초에 A5의 원소가 아님)
따라서 라그랑지 정리에 의해 C_A5((1 2 3)) = <(1 2 3)>이고
|A5:C_A5((1 2 3))| = 60/3 =20이다.
따라서 모든 3cycle은 (1 2 3)의 conjugacy class in A5에 속하고
그 원소 개수는 20개다.

step 3)
5cycle이 속한 conjugacy class는 2개가 있고 각각 원소개수가 12개다.

proof)
마찬가지로
<(1 2 3 4 5)> <= C_A5((1 2 3 4 5)) <= C_S5((1 2 3 4 5))를 생각한다.
좌변의 order는 5이다.
5cycle의 개수는 5 4 3 2 1 / 5 = 4! = 24이다.
따라서 우변의 order는 5!/4! = 5이고
따라서 세 그룹은 모두 같다.
(1 2 3 4 5)가 속한 conjugacy class의 원소개수는
|A5:C_A5((1 2 3 4 5))| = 60/5=12 이다.

다른 cycle type은 고려 대상이 아니고
5cycle과 conjugate한 것은 24개이다.
따라서 (1 2 3 4 5)와 같은 conjugacy class에 없는
5cycle 원소가 있다는 걸 알 수 있다.(12개를 제외한 남은 12개)
((1 2 3 4 5)와 (1 3 5 2 4)는 S5에서는 conjugate하지만 A5에서는 그렇지 않다.)

따라서 5cycle이 속한 conjugacy class는 2개이고
(S5에서의 5cycle 원소 개수가 24개이므로 2개보다 더 많을 수 없다.)
각각의 원소 개수는 12개이다.

step 4)
2 2 type은 모두 같은 class에 속하고 그 원소 개수는 15개다.

proof)
step 2~3에서 각각 20개(3cycle), 12개, 12개(5cycle)가 나왔고
identity를 제외하면 남은건 15개이다.

C_A5((1 2)(3 4))를 직접 구한다.
(1 3)(2 4)와 (1 2)(3 4)가 commute 하므로
<(1 2)(3 4),(1 3)(2 4)>를 포함한다.(이는 V4와 isomorphic)

permutation s가 (1 2)(3 4)와 commute 하다는 것은
s(1 2)(3 4)s^-1=(1 2)(3 4)라는 것이고
좌변은 (s(1) s(2))(s(3) s(4))이다. 따라서 s는 5를 고정한다.
만일 s의 order가 홀수라면(즉 3이나 5) 같을 수 없다.
s가 5를 고정하므로 S4의 원소로 생각할 수 있고

S4에서는
identity 1개
2type 6개
3type 8개
4type 6개
2 2 type 3개가 있다.

이중 2type 4type은 A5원소가 될 수 없고
3type은 order가 홀수이기 때문에 제외된다.
따라서 C_A5((1 2)(3 4))= <(1 2)(3 4),(1 3)(2 4)>이고 order는 4다.

따라서 (1 2)(3 4)가 속하는 A5의 conjugacy class의 원소 개수는
60/4=15개

결론)
conjugacy class들의 원소 개수는 각각
1 12 12 15 20이다.
H가 A5의 normal subgroup이라면 원소개수는
1 12 12 15 20의 적당한 조합의 합이고
(identity를 포함해야하므로 1은 반드시 포함)
라그랑지 정리에 의해 60을 나눠야 한다.
이 경우에 가능한 조합은 1과 60뿐이다.
따라서 A5는 simple group이다.