(1) 책은 Sadri Hassani가 쓴 mathematical physics의 3.2장 ideal 파트임
(2) algebra의 ideal은 ring의 ideal과 정의는 같은데 subspace임 (3.2.1) 그밖에 증명에 필요할 minimal ideal 정의와 (3.2.5) algebra direct sum 정의도 (3.2.8) 첨부함 minimal ideal 정의에 조금 오류가 있는데 if 다음 every가 아니라 every nonzero임
(3) 모르겠는건 올린 세 정리의 증명임 (3.2.6 / 3.2.9 / 3.2.11)
(3.2.6) 일단 내생각에 A가 nontrivial associative algebra여야 함 그걸 가정해도 증명못하겠음 같은 문제 스택익스채인지 :
https://math.stackexchange.com/questions/2234098/for-a-minimal-left-ideal-l-of-a-vector-space-algebra-what-can-be-said-about-equ
(3.2.9) rafle 덕에 정리 자체는 (central까지 안가도 unital이기만 해도 성립함을) 알겠는데 증명 해석이 안됨 무슨 논리로 증명했냐는 중요한게 아니지만 unital algebra는 reducible하지 않단건 맞는지 궁금함 (내 증명논리 : A=B+C란 건 B와 C의 교집합이 0이고 BC도 0임 1이 어느한쪽에 속하면 반대쪽 원소랑 곱해 0이 안됨 따라서 양쪽모두에 속해야 하고 따라서 교집합이 0이 아님)
(3.2.11) futhermore부터 모르겠음 그 위가 증명인데 보면 direct sum을 이루는 subalgebras는 교집합이 0이라 그 components외 다른 ideal은 direct sum을 이루는 한 subalgebra에 properly 속한다는데 왜그런지 모르겠음
3.2.6은 애초에 A가 trivial이면 의미없는 소리니 nontrivial을 가정하고 가는 게 사실상 맞고, x에도 nonzero를 붙여야겠지. 그러면 a, b 동치인건 자명하고, a, c 동치인건 Lx가 A의 left ideal임을 보이면 충분한데, 이건 L이 A의 left ideal이랬으니 A(Lx)가 Lx 안에 들어가서 바로 나옴
3.2.9는 central algebra 정의에 자신이 약간 없는데, center에 base field×1꼴 밖에 없다는 걸 말하는 거면 이것도 거의 자명함. 1=b+c로 쓸 때 b, c가 center에 들어감을 쉽게 확인할 수 있고, b, c가 모두 nonzero인 걸 보이면 충분함
답변고마워 x가 nonzero인거도 가정해봤었는데 모르겠더라 좀만 풀어써줄 수 있음? a to b에서 Ax가 L 아니면 0인거까진 알겠는데 0인 가능성을 어케 날림여?
A에 1이 있다면 1x=x니까 Ax는 x라는 nonzero ele.가 있겠지. 그게 아니라면 statement를 네 말대로 좀 바꿔야겠는데
ㅇㅋ unital로 바꿀게 어차피 associative 조건도 내가 덧붙인건데 뭐 (algebra 정의에 1 포함같은거 없고 따로 정의함)
그럼 3.2.6은 해결됐고 ㄱㅅㄱㅅㄱㅅ central은 그거맞음 별개로 1을 포함하는 algebra는 나눠질수없단 본문글의 내증명은 맞음여?ㅜ
그리고 c는 네 말대로 statement를 좀 바꿔야 할 거 같은데. L에 1이 있으리라 기대하기 힘드니까. 그리고 별 말 없으면 algebra는 당연히 associative multiplication을 갖는 거지.. 책의 algebra 정의에 associativity가 없음?
아니지.. 예를 들어 Z×Z는 멀쩡히 identity (1, 1)이 있잖아.
ㅇㅇ 따로 associative, unital, division 줌 뭐 그건 그렇다치고 (읽다보니 웬만한 정리들은 다 associative 가정하길래 여기선 그냥 빠뜨렸겠지 했었음) ㅇㅇㅇ 일단 c는 크게 신경은 안쓰는중 아직 안써먹어서ㅜㅜ a랑 b의 동치관계는 여러번 써먹는데 아직까진 전부 unital algebra였고 정리에서 쓰일 땐 unital에 대해서라 생각해야겠다
ZxZ는 algebra부터 아니잖아?
ring direct sum으로 생각한듯?
Z-algebra잖아. field 위의 algebra만 생각하고 싶으면 base field k에 대해 k×k같은거 생각하든가. 그리고 다시 생각해보니까 c도 그냥 base ring에 1이 있다고 하면 1x=x라 Lx가 nonzero ele.를 가짐. subalgebra니까 상수곱엔 닫혀있을 거 아냐
그러니까, 내가 좀 많이 헷갈렸어서 미안한데.. A가 1을 가진다는 조건 없어도 그냥 됨. 아마 algebra over field만 다루나본데 field는 1을 가지고 아마 정의에서 1x=x (1은 algebra의 원소가 아니라 field의 원소)가 있을테니 Ax나 Lx 모두 x를 가지니까.
ㅋㅋ 아 지금까지 뭘잘못생각하고 있었는지 덕분에 깨달음 고맙다ㅜㅜ 1을 ㅅㅂ 숫자 1이라 생각해서 1=b+c로 나누면 b에다 스칼라 곱해서 1 만들수있다고 생각하고 있었네 하 ring 위 algebra도 생각할수있구나 이책 전개가 ring은 따로 얘기안하고 2장 벡터공간 한 다음 3장에서 벡터공간에 곱하기만 정의해서 algbeera 정의해서 몰랐음
그럼 central 문제도 해결됐고 ㄱㅅㄱㅅ
'아마 정의에서 1x=x (1은 algebra의 원소가 아니라 field의 원소)가 있을테니 Ax나 Lx 모두 x를 가지니까' 1x=x는 벡터공간 정의에서 맞는데 거기서 어떻게 Ax와 Lx가 x를 갖는단 결론이 나옴/
subalgebra가 상수곱에 닫혀있는건 맞는데 지금 따지는건 Ax={ax|a in A}인데?
잠깐만 Ax를 지금 저 책에서 어떤 의미로 쓴거야? x를 포함하는 가장 작은 subalgebra라는거야 아니면 말그대로 A의 원소에 x 곱한거 모아놓았단 거야?
그러면 맨 처음 말한대로 statement를 조금 바꿔야 하는게 맞는 거 같다
미안 rafle한테 일침맞고 상세히 필요한 정의 다 포함시켰다 생각했는데 놓쳤네 후자가맞음
ㅇㅇ 사실 애초에 어제 질문이 책내용을 어떻게 바꿔야 a가 b(c)와 동치가 되도록 할수있느냐 였음...
뭐가 이상해서 다시 봤는데 지금 저 책에서 subspace라는게 subalgebra가 아니라 곱셈구조는 버리고 vector space로서 subspace란 거임?
ㅇㅇ subspace 따로 subalgebra 따로
그러면 네 말이 맞고 statement를 조금 바꿔야겠네
이제 맨마지막 사진 맨마지막 줄만 해결하면 찜찜하긴해도 잠은 자겠는데... 혹시 부탁해도 될까요?ㅠㅠ
저건 뭔 소린지 모르겠는데.. direct sum을 그냥 +로 쓰면 A=(B+C)+(D+E)에서 B+E같은 건 A의 ideal면서 각 component B+C나 D+E에 properly contained가 안 되지 않나?
정확히그게 어제 질문하고 반례 떠올라서 댓글에 단 거였음ㅠㅠㅠ 이제좀 답답함이 해소가 되누
분명 뭔가 하고싶은말을 잘못 말한거 같은데 뭔말을 하려고 했던건지..... 정리 위에가 증명인데 뭔 교집합이 0이니까 그렇다는데 대체