귀류법을 이용한다.

Q8이 Sn의 서브그룹과 동형이라면

Q8에서 Sn의 서브그룹으로 가는 isomorphism이 존재한다.

이 isomorphism을 f라고 하자.

A={1 2 3 ... n} 이라 하고

group action Q8 on A를 f를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

x in Q8, a in A에 대해 x • a = f(x)(a)

Claim: 모든 A의 원소 a에 대해 a의 stabilizer는 -1을 포함한다.
(그룹액션의 ker은 stabilizer들을 몽땅 교집합한 것이고
Claim에 의해 -1이 들어가는데 이는 injective 조건에 모순이다.)

stabilizer에 -1이 포함되지 않는다면 stabilizer = 1이다
(만일 +-i j k가 속한다면 닫혀있어야하므로 그것의 제곱도 들어가야함)

a가 속한 orbit의 원소 개수는 a의 stabilizer의 index이다.
index가 8이므로 이 액션은 transitive이고

따라서 A={q•a : q in Q8}로 쓸 수 있다.

그런데 |A|는 7 이하이므로 비둘기집 원리에 의해 q1•a=q2•a인
서로 다른 q1 q2가 Q8에 존재한다.

그러면 q1(q2)^-1이 a의 stabilizer에 들어가고 stabilizer=1이므로
q1=q2, 모순이다.

따라서 임의의 a in A의 stabilizer는 -1을 포함하고
그룹액션의 커널=ker(f)도 -1을 포함하므로 f는 injective가 아니다.