[일반] 극한질문

[익명(175.223)]

실수전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)에 대해

f(x)가 일대일함수고

lim x - > inf f(x) 가 수렴하면

lim x -> inf f'(x)는 항상 0인가요?

왜그런지 고교과정에서 증명가능할까요?

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[BWV808(wbwv808)]

반례를 생각해보세요

[익명(175.223)]

일대일 함수면 성립하나요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

반례들 :
http://www.mathcounterexamples.net/differentiable-functions-converging-to-zero-whose-derivatives-diverge-part1/

[익명(175.223)]

일대일 함수면 항상성립하나요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

https://www.mathcounterexamples.net/differentiable-function-converging-to-zero-whose-derivatives-diverge-part2/

[익명(39.7)]

실수전체의집합에서 미분가능하고 일대일함수여도 저식이성립안하는경우도있군요 ㄷ;그럼 강사가 잘못설명한건가보네요 수능에선 저런게안나와서서걍저렇게말한건가

[익명(39.7)]

저 함수는 근데 미분이불가능한점이 이산적으로 있는거깉은데 실수전체에서미분가능하고일대일함수이지만 미분계수가0이안되는 반례도 찾아볼수잇을까요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

부드럽게 하는 것도 얼마든지 할 수 있음... 내가 쓰기 귀찮을뿐

[익명(175.223)]

ㄷㄷ그런 함수가 있는지 몰랐네요 궁금해서..

[익명(118.235)]

limf'이 존재한다면 참

[익명(118.235)]

증명은 limf'이 존재한다면 lim(f+f')이 존재함 그리고 로파탈 정리 이용하면 limf=limfe^x/e^x=lim(fe^x+f'e^x)/e^x=lim(f+f') 그러면 limf'=0

[익명(118.235)]

limf'이 존재하지 않는다면 위 댓글처럼 반례가 있음

[익명(39.7)]

그럼 실수전체의집합에서 미분가능하고 일대일함수이며 lim f(x)가 수렴하는데 lim f'x가 존재안하는 반례를 찾아볼수일을까요?

[익명(118.235)]

위댓글에 있잖아

[익명(39.7)]

모든 구간에서미분가능함에도 0으로 수렴안하는 반례요

[익명(118.235)]

그니깐 링크에 있는 함수가 limf'이 존재하지 않는다고 만약 존재한다면 limf'=0이잖아 하지만 위댓글에 있는 함수는 limf'이 0에 수렴하지 않으니 모순 그러니까 limf'이 존재하지 않음

[익명(39.7)]

링크의 함수는 부분적으로 꺾인부분이있어서 그지점에서는 미분불가능한 함수아닌가요? 미분불가능한 점들이 이산적으로존재하는거같은데..

[익명(118.235)]

ㅅㄲㅁㅇ가 말한것처럼 그냥 부드럽게 만들면 됨

[익명(39.7)]

부드럽게 만드는 방법은 어떻게하는건가요?

[익명(118.235)]

링크에 있는 함수도 다 미분가능한 것 같은데??

[익명(118.235)]

부드럽게 만드는 방법은 링크처럼 g를 3차함수라고 하고 g'(a)=f'(a) g'(b)=f'(b) g(a)=f(a) g(b)=f(b)이 되도록 계수를 미지수로 두고 연립방정식 풀면 됨

[익명(58.140)]

부드럽게 만드는법) 음수일 때 0 양수일 때 1인 함수를 부드럽게 만드려면 e^(-1/x^2) 같은걸 적당히 이용해서 0 근방을 이어버리면 됨. 무한번 미분 가능