횽들 해석학 질문좀

[그다들(gdadl)]

적당한 구간에서 정의된 함수가 구간내의 코시수열을 코시수열로 보내면 이 함수는 균등연속일까?

갑자기 궁금해서 그런데 잘 증명이 안돼 답변좀 핡

[ㄱㅇ(175.125)]

아니지. f:(0,∞)->R f(x)=1/x 일 때 {1/n}은 Cauchy인데 f(1/n)=n 이라서 안됨.

[ㄱㅇ(175.125)]

균등연속이면 Cauchy 수열은 보존됨.

[그다들(gdadl)]

ㄱㅇ / 그니까 코시수열을 코시수열로 보내는 함수에대해서 질문한건데 함수가 코시수열을 코시수열로 안보냐는걸 잡으면 어떡함? 핡

[ㄱㅇ(211.234)]

아 미쳤네ㅋㅋㅋㅋ 미안 근데 연속함수만 해도 수렴하는 수열을 보존하잖아. 즉 연속함수만 되어도 코시 수열을 보존할 수 있지 않으려나? 굳이 균등연속까지 필요하진 않을듯

[그다들(gdadl)]

맨위에 횽이 잡은 함수가 연속이지만 코시수열은 보존되지않는데?

[ㄱㅇ(211.234)]

저건 0이 구간에서 제외돼서 그런거고 무난하게 잡으면 균등연속은 아니지만 코시수열은 보존되는 연속함수 잡을 수 있을거같아

[그다들(gdadl)]

근데 정확하게 얘기하면 함수가 정의역이 완비한 곳에서 정의되고 그 위에서 연속이면 코시수열을 코시수열로보내는데

[그다들(gdadl)]

단순히 연속이라고 코시수열을 코시수열로 보내지 않는다는 거지 그래서 나온개념이 평등연속이고 아 뭔가 댓글이 산으로 가는데 누가 내 질문에 답좀 늅늅

[ㄱㅇ(166.104)]

댓글이 산으로 가고 있는게 아니야. 난 반례를 충분히 잡을 수 있다고 얘기하잖아. 다시 말하면 증명이 안된다고. 완비순서체에서 코시수열 iff 수렴하는 수열. 근데 연속함수가 코시수열을 보존하지 못할 때가 있잖아. 이 경우는 (내가 알기론) 함수가 정의된 구간 내에 코시수열의 수렴값이 포함되지 않는 경우야. 이런 경우 말고는 연속함수가 코시수열을 보존할 수 있는 경우도 많아. 그래서 균등연속은 아닌데 연속인 함수 중에 코시수열을 보존하는 예를 충분히 찾을 수 있겠지?라고 난 꾸준히 말하고 있는거라고.

[ㄱㅇ(166.104)]

직접 해보진 않았지만 왠지 f:R->R f(x)=x^2 만 해도 반례될 것 같은데?

[그다들(gdadl)]

답변 고마워ㅎ 근데 나는 알고 싶은게 정의역이 완비하지 않은 일반적인 구간에 대해서야

[그다들(gdadl)]

엑스제곱도 정의역을 실수전체로 잡으면 실수는 완비공간이고 엑스제곱은 연속이니까 코시수열을 보존하겠지

[그다들(gdadl)]

나도 내가 질문한 명제가 틀린거같긴한데 반레가잘안떠올라서 근데 계속 답변 달아줘서 고마워ㅎㅎ 재미있네