고등학교때 물리샘은 dy / dx = 델타y / 델타x 이렇게 적으시던데.. 맞는설명인지..
그리고 . M(x, y) dx + N(x, y)dy =0 에서 dx, dy가 따로 떨어져있어도 되는거에요? dx 자체가 작은 숫자같은 건가요? 그래서 맘대로 상수 c곱하듯이 양변에 곱하고 나누고 하는건가요? 생각해보니 <수학문법>을 잘 모르겠네요.
편미분에서는 dx대신 파셜x 이렇게 나오잖아요. ㅠㅠ 이건 또 어떻게 받아들이고 이해해야 할지...
그런데 이게 다 vector calculus (미적분학 2) 에서 나오는 내용이고 제가 그부분을 대충 외워서 시험봐서 학점은 평균정도 얻었지만 공부할 때 정확한 기하학적 의미같은걸 잘 모르고 그냥 수식 형태를 외워서 시험을 봤어요. 그러다보니 잊어버리고.. 공업수학 책에 나오는걸로 공부하곤 있는데 정말 '완벽하게' 이해하고 제껄로 받아들이고 싶은 욕심이 나요.
김홍종 미적분학2
vector calculus marsden
vector calculus colley
vector calculus linear algebra differential forms (연세대학교 벡터미적분 교재)
중에 하나를 구입해서 집에서 조금씩 공부해보고싶은데... 어떤 교재가 좋을까요?
p.s. 저는 고등학교때 미적분을 잘 했는데, 미분은 접선의 기울기 이런식으로 기하학적인 의미를 잘 알고 있는게 중요하다고 생각해요..
분수가 아닌데 분수처럼 쓸 수 있다는 말은 함수끼리의 chain rule이 분수의 규칙대로 움직인다는 말이에요. \"y가 x에 대한 함수일때\" dy/dx 는 함수 y의 순간변화율이고, 거기다 \"x도 y의 함수일때\" dx/dy는 함수 x의 순간변화율이죠. 이때 dy/dx * dx/dy =1이란 말은 기호상으로는 말이 되지만 수학적으로는 그럴 이유가 전혀 없죠. chain rule을 통해서(혹은 극한의 성질을 통해서) 증명되어야하는 부분이에요. 그런데 기호상으로 맞는 것들은 실제로도 거의 맞으니까 그런 이유로 분수처럼 쓸 수 있다고 하는거에요.
위에서 따옴표는 일부러 친건데, x와 y가 독립변수이거나 y가 x에 대한 함수가 아니라 더 많은 변수들에 대한 함수라면 저게 꼭 맞는말이 아닐수가 있어요. 독립변수라면 dy/dx라는 기호자체가 nonsense겠고, 다른 예시로는 대표적으로 극좌표계 (r, theta)에 대해 dr /dx * dx/dr not= 1이 있죠. r은 x와 y에 관한 함수인데 dr/dx는 x의 순간변화율로 나누지만 y라는 변수를 \"고정시킬 때\"의 순간변화율이거든요. 즉 dr/dx라는 기호안에 y에 대한 dependency가 숨어있기 때문에 저런 법칙이 깨지는거에요. 그래서 저런걸 조심하고자 partial이란 기호를 쓰죠.
혹시 편미분에 대해서 저게 잘 와닿지 않으면 f(x,y)= x+2y라고 하고 u=x, v=x+y라고 하죠. 이때 df/dx와 df/du는 다릅니다(저 d는 partial로 읽으세요) df/dx = 1이지만 f를 u,v로 적으면 f(u,v)=-x + 2(x+y) = -u + 2v이기 때문에 f를 u,v에 대한 함수로서 u로 편미분한 df/du = -1이죠. 따라서 df/du라고 적을땐 \"v가 뭔지\"도 알고 있어야 미분을 할수 있는거에요. 사실 같은 미분이지만 보통 1변수에선 d로, 2변수 이상의 편미분에선 partial 기호를 씁니다.
마지막으로 M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0이란 기호는 사실 두가지로 해석이 되기 때문에 조심해야합니다. 만약 미방에서 저런 표현식이 등장했다면 y를 x에 대한 함수로 보았을때 M + N dy/dx = 0이라는 미분방정식을 풀라는 이야기겠지만, 미적분학 2에 등장하는 Mdx + Ndy라면 이건 y가 x에 관한 함수가 아니라, y랑 x가 모두 독립변수입니다. (2차원 공간상에서 정의되어 있는 변수 x, y지요) 저건 Differential form이라고 부르는 수학적 대상으로, 수학적인 정의는 vector field를 상수로 보내주는 \"함수\"입니다.
저 정의가 직관적으로 어떤 의미를 크게 가진다기보단 \"dx\"라는 허께비같은 녀석을 어떻게 수학적으로 말이 되게 기술했는지. 라고 이해해두면 무난할거 같아요. 간단히 정의만 소개시켜드리면 2차원 공간에 있는 2차원 영역에서 differential 0-form은 f(x,y)꼴, 1-form은 M dx + Ndy꼴, 2-form은 f dx^dy 꼴로 정의된 벡터공간입니다. 그리고 exterior derivative라고 부르는 함수 d가 0form -> 1form, 1-form -> 2form으로 보내는 함수로 정의되어 있어요. 예를들면 df = partial f / partial x dx + partial f / partial y dy인 선형함수로 정의합니다
이 정의와 몇가지 규칙을 쓰면 미적1에서 배운 네가지 정리(green, 선적분 기본, 발산, 스토크스)가 사실은 integral_boundary D w = integral_D d(w) 라는 하나의 식으로 묶어서 적을 수 있고, 이후 다변수에서 기하학을 하는데 기본적인 도구가 됩니다.
위에 제시한 책중에선 김홍종 선생님 책을 보면 대상들에 대한 직관적인 설명들은 잘 얻을 수 있을거에요. differential form에 대해서만 더 궁금하면 미분기하학 수업을 들으세요.
ns/ 감사합니다..
와ㄷㄷ