Popcorn 함수(Function), 빗방울(Raindrop) 함수, 셀 수 있는(Countable) 구름(Cloud) 함수, 자(Ruler) 함수, Babylon 위의 별(Stars over Babylon), Riemann(Georg Friedrich Bernhard Riemann) 함수, 수정된(Modified) Dirichlet(Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 함수라 불리기도 하는 Thomae(Carl Johannes Thomae)의 함수는 다음과 같습니다.


 x 가 무리수(Irrational Number)일 때, f(x) = 0 이며,
 x 가 기약분수(Lowest Terms, Irreducible Fraction)인 p/q 이고 q > 0 일 때, f(x) = 1/q 인 함수

 (Ⅰ) a 가 무리수인 경우
  (ⅰ) x 가 무리수일 때, f(x) = 0 입니다.
   그렇다면 모든(Every) 양수(Positive Number) ε 에 대하여 |f(x) - 0| = |0 - 0| = 0 < ε 입니다.
   ∴ 모든 양수 ε 에 대하여 0 < |x - a| < δ 이면 |f(x) - 0| < ε 인 모든 양수 δ 가 존재합니다.
  (ⅱ) x 가 유리수(Rational Number)일 때, f(x) = 1/k 입니다. 단, k 는 자연수(Natural Number)입니다.
   그렇다면 n 이 자연수일 때 ε = 1/n 이라고 합시다.
   이 때, 1/k ≥ 1/n 인 x 의 개수(The Number)는 유한(Finiteness)합니다.
   그렇다면 모든 1/n 에 대하여 0 < |x - a| < δ 이면 1/k < 1/n 인 어떤(Some) 양수 δ 가 존재합니다.
   이 때 가능한 δ 는 0 < δ ≤ 1/(n - 1) - 1/n 또는 0 < δ ≤ (n - 1)/n - (n - 2)/(n - 1) 입니다.
   즉(i.e.), 0 < δ ≤ 1/{n(n - 1)} 일 때, 1/k < 1/n 입니다.
   결국 모든 1/n 에 대하여 0 < |x - a| < δ 이면 |1/k - 0| < 1/n 인 모든 0 < δ ≤ 1/{n(n - 1)} 가 존재하므로
   ∴ 모든 양수 ε 에 대하여 0 < |x - a| < δ 이면 |f(x) - 0| < ε 인 어떤 양수 δ 가 존재합니다.
  ∴ 모든 양수 ε 에 대하여 0 < |x - a| < δ 이면 |f(x) - 0| < ε 인 어떤 양수 δ 가 존재합니다.
  즉, x → a 일 때, 함수 f 는 극한(Limit)이 존재하며 이 때의 극한값(Limit Value)은 0 입니다.
  게다가 f(a) = 0 이므로 함수 f 는 a 에서 연속입니다.

 (Ⅱ) a 가 유리수인 경우
  x 가 무리수일 때, f(x) = 0 입니다.
  이 때, 모든 ε > 1/q 에 대하여 |f(x) - 1/q| = |0 - 1/q| = 1/q < ε 이지만, 모든 ε ≤ 1/q 에 대하여 |f(x) - 1/q| = |0 - 1/q| = 1/q ≥ ε 입니다.
  결국 모든 양수 ε > 1/q 에 대하여 0 < |x - a| < δ 이면 |0 - 1/q| < ε 인 어떤 양수 δ 가 항상 존재하지 않으므로
  ∴ 모든 양수 ε 에 대하여 0 < |x - a| < δ 이면 |f(x) - 1/q| < ε 인 어떤 양수 δ 가 존재하지 않습니다.
  즉, x → a 일 때, 함수 f 는 극한이 존재하지 않습니다.

 주의사항
 (Ⅰ) 의 (ⅱ) 에서 1/n 이 아닌 양수 ε 에 대해서도 0 < δ ≤ 1/{n(n - 1)} 가 성립(Hold)합니다.
 (Ⅱ) 에서 x 가 유리수일 때를 따져볼 필요가 없는 이유는 어떤 δ 를 정하더라도 항상 0 < |x - a| < δ 에는 무리수 x 가 존재하므로 극한이 정의(Definition)될 수 없기 때문입니다.