수학문제를 푸는덴 우리는 크게 두가지 논리과정을 사용한다. 하나는 연역적 사고고 다른 하나는 귀납적 사고다. 후에 고등학교 과정에선 문제를 푸는데 사용되는 필요조건, 충분조건이란 이름으로 부른다.
초등학교 과정에선 필요조건만을 사용해서 문제를 푼다.
네모 + 3 = 7일때 네모에 알맞은 수를 구하라는 식이다. 학생이 4라고 적으면 4+3 = 7이므로 정답으로 처리한다.
중학교에서 문자 x를 도입하면서 방정식을 풀게 되는데, 이 때는 보통 충분조건만을 사용해서 푼다.
x + 3 = 7이므로, 양 변에 (-3)을더하여도 식이 같고 따라서 x = 7 + (-3) = 4와 같은 계산법이다.
이를 사용하는 이유는 중학교때 처음 배우게되는 2차방정식의 풀이가 저 네모에 적절한 값을 찍어넣는 방법으론 구할 수 없기 때문이다.
예를 들면 네모 제곱 = 9 에 알맞은 네모에 3을 적는 학생도, -3을 적는 학생도 있겠지만 정답은 모든 가능한 조건을 구하는 것이기 때문에 네모는 +3 혹은 -3이라 적은 학생이 맞기 때문이다.
아마도 중학교에 저 충격적인 사건을 통해서 학생들은 최초로 "논리적 불충분성"에 대해 배우고, 초등학교의 연역적 과정에 대한 강한 불신을 가지는거 같다. 하지만 중학생의 저런 계산법 역시도 완벽하진 않다.
저 계산법이 완벽하지 않은 이유는 중학생 어느 누구도 저렇게 해서 얻어진 답을 원 식에 대입하여 확인과정을 거치지 않기 때문이다.
물론 논리적으로 각 과정이 invertible하므로 성립한다 할 수도 있지만 연립방정식이 되면 어느 과정까지가 invertible한지 찾는것도 만만한 문제가 아니니 원론적으론 답을 다시 확인하는 과정이 필요하다.
이런 풀이가 위험하다는건 고등학교에 와서야 필요충분조건과 "무연근"의 개념을 배우면서 완성된다.
root x = x - 2 의 해를 구하기 위해 양변 제곱하고 2차방정식을 풀면 1과 4가 근으로 나온다. 이 때 1은 원 식을 만족시키지 못하므로 보기에서 제외한다. 즉 초등학교의 "직접 넣고 확인"하는 풀이와 중학교의 "식을 조작하여 얻어내는" 풀이 두가지를 통해서 우리는 올바른 답을 얻는다
고등학생들이 그런데 더 위대한 이유는, 고등학생때부터 방정식의 이론을 배운다는 데 있다.
계수에 a를 넣은 ax + b = 0 (a not=0) 이란 방정식의 해가 x = - b/a가 된다는건 고등학교에 와서야 배운다.
따라서 1차방정식의 해는 유일하다.
이 사실을 안 이후엔, x + 3 = 7을 x에다 4를 넣으면 4+3=7이니까 x= 4가 한가지 해이다. 그런데 1차방정식의 해는 유일하니까 해는 저것밖에 없다. 그러니까 x=4가 답. 이라는 풀이도 올바른 풀이가 된다. 고등학생의 특권이다. (*)
비슷하게 x^2 + 2x - 3 = 0의 근도, 흠 x=1을 넣으면 답이 되네. 나머지하난 근과 계수관계 쓰면 -3이겠군. 그리고 2차방정식 해의 개수는 두개를 넘을 수 없으므로 x=1, -3이 답이다. 라고 적는 풀이가 있다면 매우 훌륭한 풀이다. 중근을 가진다면? 그땐 다른 풀이법을 쓰면 그만이다.
대학에 와서 풀이과정을 쓰기 시작하면, 저런 guess work들에 대해 사람들의 선호가 갈리기 시작한다.
내가 매우 똑똑하기 때문에 미분방정식의 해 y'=y, y(0)=1이 y = e^x라는걸 추측했습니다. 확인해보니 맞습니다. 그런데 IVP의 해는 유일하니까 저게 답입니다.
라는 풀이를 받아들고 "오오 똑똑한 학생이군" 하고 만점을 주거나 "풀이과정을 발로 적다니. 너 어디서 베낀거지" 하고 0점을 주거나.
하지만 저것은 만점짜리 풀이로 보아야한다.
저런 풀이를 적을 수 없다면 우리는 고등학교때 1차방정식의 계수를 문자로 두는 풀이를 배울 필요도 없었고 유일성에 대한 이론들을 배울 이유가 없기 때문이다. 교과서에 저런식으로 guess work를 보여주는것은 지양해야겠지만 그것이 문제풀이라면 논리적 무결성만을 보아야할 것이다.
(*) 저런 고등학생의 특권을 쓸 때에도 가끔 순환논리의 함정을 주의할 필요가 있다. 대표적인것이
lim sin x / x = 1 (x->0) 이다. 대개의 고등학교 교과서에선 원호와 직선을 이용하여 sin x <= x <= tan x 란 부등식을 얻은 뒤, 샌드위치 정리를 이용하여 증명하게 된다.
만약 어느 학생이 이 풀이 대신 1. f(x) = sin x라 두자. 그럼 f(0)=0.
그럼 저 식은 lim f(x)-f(0) / x-0 = f'(0) 이 되는데, f'(x)=cos x니까 답은 1. 이라고 적었다고 하자.
이건 맞는 답이지만 만약 lim sin x / x = 1를 증명하라고 하였다면 올바른 증명법이 되지 못한다.
왜냐하면 f'(x) = cos x를 증명하는 과정에서 저 극한식을 사용하고 있기 때문이다. 따라서 모든 풀이는 어디까지를 가정할 수 있는지를 아는 것이 중요하다. 수능문제에 나왔다면 저런 풀이도 올바른 풀이다.
형만한 아우 없다고, 역시 Dyn 에 비하면 꼬꼬마스러운 수준의 글이네
ㄴ 그럼 수갤 수준 한껏 올려줄 님이 글 한 번 써 보시죠!!^^
글도 못 쓰는 주제에 이래라 저래라 주절주절ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
1학년때 기억나네. 누가 저거 순환논리 아니냐며 조교에게 지적했는데 난 무슨말인지 하는지 이해못하고 멍때렸지.
중딩식풀이에 논리적결함이 있는이유중하나가 검산이 없어서? 연역추론은 철저히 논리적동치로만 전개되기때문에 검산이 필요엄슴 단지 근호안의 변수의 정의범위를 연역가정에서 제외한것이 문제가되죠 무연근의개념을 배우면서 무리방정식의 검산을 통한 완벽한 해를 구하는것은 이 본질적 트러블을 해소시켜주지않음 문제점만제기하고 한정적상황에서 해결법을 제시할뿐임
ns형 강연오시고 계속 서울있으신거임? 이제 박사끝? 교수님!
걔중에 현명한 쌤들은 식조작전에 해의 범위를 한정시켜 연역가정을 추가시키는 나이스한 풀이를 보여주기도함 만약 고딩때 무연근을통한 학습목표가 작성자횽이 제시한게 전부라면 그 이후 문제를 학부과정에서 깔끔히 해결이 가능할지? 의문이드네
basin // 예를들어 연립방정식 풀이는 어때? x+y = 3 ... (1), 2x+y = 4 ... (2) 라면 (2)-(1) 해서 x=1 ... (3)을 얻지만 저 식 (3)은 (1), (2)의 implication이지 동치조건은 아니잖아. 예를들어 (1) & (3)은 (1) & (2)와 동치고 (2) & (3)도 (1) & (3)과 동치겠지만. 가끔 연립2차방정식 잘못푸는 애들이 근이 실제보다 많이 나오게되는 경우가 종종 발생하는것도 비슷한 이치.
다른 예로는 해가 없는 x+y=1, x+2y=1, x-y = 2같은거. 물론 이건 고교과정은 아니지만. 누가 처음 두 식을 조작해서 x=1, y=0을 얻었다고해서 그것이 해가되진 않잖아.
다른걸로는 미적2에서 학생들이 정말 많이 실수하는게 0<=x<=y, 0<=y<=1일때 부등식 영역 그리랬는데 0<=x<=y<=1이니까 0<=x<=1. 이라고 쓰고 사각형 그리는 애들. 역시 deduction으론 맞고 "원 식을 유지한 채로는" 계속 동치관계가 성립하지만 최종단계의 식만으로는 안되는 예지.
또다른 고등학생의 비극은 (x + 1/y)(y+2/x) 의 최소 문제도 있지. 산술기하 두번쓰면 틀리는.
1으등식을만족시킨다and 2의등식을만족시킨다 <=> 3의등식을만족한다 동치 맞지않습니까 problem에서는 보통 조건에 제시되어있는 수식자체를언급하는것이 아니라 수식이 참이다 라는의미가 생략되어 완벽하게 연역가정의 타당한논증의 그것을 재현하고있음
제시한 예 전부 그저 연역가정을 빼먹은거뿐이네요
오 잘읽고갑니다 이런 뻘글은 많이 써주세요
착한뻘글 인정한다.
수학쟁이들이란ㅡㅡ
글보고는 그렇구나 했는ㄷ데 댓글은 뭔소리여 시방
basin // (3):x=1이 어떻게 (1),(2): x=1 and y=2랑 동치야. (1),(2)랑 (1),(2),(3)이 동치지. 즉 원 문제의 식을 가정하고 있어야 동치지. 근데 그 문제의 식을 계속 가정하고 있다는건 나중에 해를 집어넣어서 확인해야한다는 과정이랑 같은 과정이지. 마지막 줄만 풀면 안된다는거잖아. 무연근도 그거랑 똑같은 문제고.
맞네 연역추론 결론이 단독적으로 동치가되는게아니고 초기연역가정에 싸그리 논리곱시킨거랑 동치네
교과서에 실릴 수준;;
오호