1. 치환적분법과 연쇄법칙


중학교 교과서에선 (x^2+x)^2 + 4(x^2+x) + 4를 인수분해 하라는 문제를 받으면 꼭 풀이에선 꼭 X = x^2+x 라는 치환으로부터 시작한다.


이건 굉장히 비직관적인 방법이라고 생각해왔다.

난 그냥 저 괄호를 네모 친 다음 네모^2 + 4네모 + 4 = (네모+2)^2 = (x^2+x+2)^2 이라 적었으니까.


저 풀이의 핵심은 x^2 + x를 한 덩어리로 본다는 것일 뿐, 문자로 치환하는 것은 보다 명료한 서술이 될 수 있지만

그 자체는 어떤 논리과정을 만들어 내지 못한다.


물론 교과서의 설명은 X라는 문자를 도입하는것이 명료할 것이지만, 풀이과정에서 저런 방식만을 고수할 필요는 없다.

왜냐면 우리가 실제로 풀때는 다 머리속으로 치환을 해서 풀기 때문이다. 


고등학교때의 치환적분법 역시도 이와 비슷한 과정이다.

예를들어 적분 integral (2x+1)^10 dx을 생각해보자.

u = 2x+1 로 놓고, du = 2dx라는 의미불명의 식을 적은 뒤, dx = 1/2 du를 치환하고 integral 1/2 u^10 du = 1/22 u^11 + C를 얻는다.

물론 원 식의 x로 다시 치환하여 1/22 (2x+1)^11 + C 를 최종 답안으로 적는다.


그렇지만 실제로 우리가 적분을 할때는 머리속으로 대충 (2x+1)^11의 미분이 저런 꼴이 되리라 생각한 뒤, 11과 2가 튀어나오니

이를 상쇄하기 위해 1/22를 붙여준다. 그래서 1/22 (2x+1)^11 +C라는 풀이를 적는게 보통의 풀이가 된다.


이 풀이는 끼워맞춘 풀이같이 보이지만, 사실 치환적분법의 증명 과정을 특수한 경우에 맞추어 재구성한 것에 불과하다.

치환적분이 성립하는 이유는 무엇일까?  u에 대한 함수 F에 대해 F(u)의 미분이 연쇄법칙에 의해 F'(u) (du/dx)가 되기 때문에

f의 부정적분이 F가 된다면 (du/dx)*f(u)의 적분도 F(u)가 된다는 사실을 이용한 것이다.


즉 치환적분이란 연쇄법칙을 (부정)적분이 미분의 역연산이라는 언어를 이용해  예쁘게 포장해놓은 것에 불과하다.

연쇄법칙이 하나의 정리라면 치환적분은 따름정리에 불과하다.


그렇다면 왜 이런 짜맞추기식의 풀이가 유효할까? 이유는 적분과정은 본질적으로 guess work이기 때문이다.

미분은 다분히 연역적인 과정이다. 이에 반해 부정적분은 미분의 역연산으로 정의되었기때문에 본질적으로 귀납적 과정이다.

경험적으로 어떤 특정한 형태의 미분이 어떤 형태가 됨을 알았고 우리가 그런 관찰들을 외워두었기 때문에, 적분이 가능한 것이다.

x^10의 미분이 10 x^9인 이유는 lim ((x+h)^10 - x^10 )/h  = 10x^9이기 때문이지만

x^10의 적분이 x^11 / 11 + C인 이유는 우리가 대충 x^11꼴을 미분하면 x^10꼴이 나오고 이를 공식화하여 x^n 의

한 부정적분이 1/(n+1) x^(n+1) 이라고 외워두었기 때문이다. 

이러한 (마음속의) 적분표를 찾는 과정을 제외하고 우리가 적분을 계산할 수 있는 방법은 없다.

실제로 sin(x^2)의 적분도 초등함수로 안적히지 않는가.

따라서 치환적분법 대신 연쇄법칙에 의해 (2x+1)^10의 적분이 1/22 (2x+1)^11 + C라고 말한다고 해서

왜 치환적분이 아니라 연쇄법칙때문이라고 적었냐고 항의할 이유는 없다. 

나는 (2x+1)^11의 미분이 연쇄법칙에 의해 11*2 (2x+1)^10이 되기 때문에 1/22를 앞에 곱해주었다고 생각하며

이 둘은 정확히 동일한 논리기 때문이다.


누군가가 이 방법이 "비수학적이다"고 한다면 그냥 모든것을 생략한 채


"F(x) = 1/22 (2x+1)^11 라 두자.

그럼 F' = 1/22 * 11 (2x+1)^10 * 2 = (2x+1)^10이다.

따라서 F는 (2x+1)^10의 한 부정적분이므로 모든 부정적분은 F + C로 나타난다."


라고 적으면 논리적으로 완전한 증명이 된다.

애초에 F가 f의 적분임을 증명하라는 문제는 F'= f를 보이는 방법 뿐이기 때문이다.
적분에 있어서는 올바른 질문은 "중간과정이 무엇이냐"가 아닌, "어떻게 저런 함수를 떠올려낼 수 있었는지"를 묻는것이 올바른 질문일 것이다.


2. product rule. 부분적분법.

비슷하게 부분적분법 역시도 곱의 미분법을 적분버전으로 바꾼 것에 불과하다.
왜냐면 integral fg = Fg - integral Fg' 이 성립하는 이유는, product rule (Fg)' = fg + Fg'에서 Fg'을 반대쪽으로 넘기고 
양 변의 함수를 적분해준 것에 불과하기 때문이다. (F' = f일때)

그렇다면 이 논리를 풀어서 ln x를 적분해보자.


ln x의 적분이 그냥 x ln x가 되었으면 좋겠다. 앞에거 미분하면 lnx가 실제로 나오니까.

그런데 x ln x를 미분해보면 product rule에 의해 ln x + 1이 나온다. 저 뒤의 1을 없애줘야한다.

따라서 x ln x - x를 미분하면 x ln x의 미분에서 나오는 1이 상쇄되어 ln x가 나온다. 따라서 x ln x - x + C가 답이다.


사실 이 경우는 이런 추리를 사용한 방법이 딱히 더 빠르거나 하진 않은데,

그 이유는 최종 답안이 대개 2개 이상의 항으로 구성되어 있고, 

부분적분법을 이용하면 부분적분의 앞의 결과를 미리 종이에 적고 잊어버릴 수 있지만

연역적 방법을 쓸 경우 처음의 함수를 미분하는 것이기 때문에 두번째 적분(위의 경우는 -1의 적분)을 할 때에도

원 함수를 계속 머리속에 넣어두어야하기 때문이다. (공대생이라면 프로그래밍에서의 tail recursion과 recursion의 차이라 생각해보면 좋을것이다.)

그렇지만 간단한 예제의 경우는 생각해두어도 나쁠 것은 없겠다.