나도 공부한거 얼마 안되지만, 최근 아는사람에게 위상의 정의에 관해 들은게 있어서 알려줌.


위상의 정의는 다들 알겠지만


어떤 집합 X가 있고 이 X의 topology T가 있는데

T는 X의 부분집합들의 집합이면서 다음과 같은 조건을 만족해야함.

1. X랑 공집합은 T의 원소임.

2. T안에 임의 원소를 가져와서 합집합 해도 다시 T안에 들어감

3. T안에 임의의 유한개 원소에 대해 교집합 한게 다시 T안에 들어감

이럴때 Ordered pair (X,T)를 Topological Space라고 부름


처음에 난 이 정의를 보고 도저히 자연스럽게 받아들여지지 않아서 하루에 몇번이고 생각해고 떠올려서

그냥 익숙해지려고 했었고 실제로 그렇게 공부했는데, 아는분은 이것에 대해 정말 많이 고민했더라고,

위상의 목적에 대해서는 분야별로 관점별로 다 다를수 있으니 이 글이 무조건 맞다고 하진 않겠음.


결국 하고싶은것부터 말하면 기하를 하고싶은거고, 기하 중에서도 도형을 classify 하고 싶은거.

우리가 처음에 초등학교때 '합동'이라는 개념에 대해 배우지, 가령 삼각형을 예로 들면 세 변의 길이가 같은녀석들은 '합동'이라는 범주 안에서

한 카테고리로 묶여지는 거임. (수학적인 카테고리를 말하는게 아니라 그냥 정말 언어적으로써 카테고리를 말하는거임)

근데 이 '합동'이라는게 너무 강력한 조건이어서 좀더 큰 카테고리로 분류를 하고 싶어서 나온게 바로 '닮음'이라는 조건임.

즉 삼각형에서 세각의 길이만 같아도 우린 이걸 같은 카테고리로 바라보겠다고 하는건데, 이것마져도 너무 강력하다 생각해서 좀더 일반화를 시키고 싶은데,

도형을 더이상 각도나 길이로 바라보는게 아니라 '뭉텡이'로써 바라보는거임. 참고로 멍커스에도 이와 관련지어 위상에 대한 설명이 나옴.

삼각형에서 뽀죡한부분과 직선부분을 잘 다듬으면 원으로 만들 수 있는데 이런 "연속적인 변환"에 대한것들을 모두 하나의 카테고리로 묶어주고 싶은거임.


그럼 이 '뭉텡이'라는걸 어디까지 하나로 취급할것이냐.


1. 전체집합 X과 공집합은 일단 뭉텡이임.

2. 뭉텡이끼리 막 합쳐도 뭉텡이임.

3. 뭉텡이를 유한번 잘라서 남는것 까지는 뭉텡이로 쳐줌


즉 이런 범주로 보고싶다는겁니다.


ICM에서 밀너가 한 강연 들어갔을때, 정확히 기억나지는 않지만 Topology를 처음에 누군가가 정의할때.

'Topology란, 연속함수와 연속역함수에 대해 불변량을 공부하는것이다' 라고 했다고함. 이말 할때 난 정말 많은 공감이 되었는데.... ㅋㅋㅋ


약간 말이 길어졌는데...

위상 공부하는데 다들 도움이 되길 바래요.