젊은 수학자를 위한 조언      (카이스트 박민재 번역)
The Princeton Companion to Mathematics VIII.6 Advice to a Young Mathematician[1]
젊은 수학자의 가장 중요한 덕목은 당연히 열심
히 수학공부를 하는 것이다. 하지만 다른 수
학자들의 경험을 들어보는 것 또한 매우 가치 있다.
우리는 이 장의 다섯 저자에게 수학자로서의 인생과
자신의 연구 경험에 비추어 보건대, 그들이 연구를 막
시작하는 시기에서 어떤 조언을 들었다면 좋았었을지
물어보았다. (이 원고의 전체 제목은 피터 메다와
경Sir Peter Medawar의 젊은 과학자를 위한 조언Advice
to a Young Scientist 에서 따왔다.) 결과물은 우리가
기대했던 것보다 훨씬 흥미로웠다. 더욱 놀라운 사
실은 각각의 결과물 사이에는 확실히 공통점이 거의
없었다는 것이다. 그럼 이제 젊은 수학자들을 독자로
염두에 두긴 했으나, 모든 연령대의 수학자들 역시
읽고 즐길 수 있는 다섯 개의 보석들을 살펴보자.
1 마이클 아티야 경1 (Sir Michael Atiyah)

 

 

 

주의
앞으로 나올 내용은 내 경험에 따른 아주 개인적인 관
점이며 나의 성격, 공부하는 수학의 종류와 연구 방식
을 반영하고 있습니다. 그러나 수학자들은 이런 모든
특성에 있어 아주 다양하며 당신은 무엇보다 자신의
본능을 따라야 합니다. 다른 사람들로부터 무언가를
(†역자: 박민재, KAIST 수리과학과, min-j@kaist.ac.kr.
1역자 주: 영국의 수학자이며, 위상 K-이론topological K-theory의
창시자로 손꼽히고, 물리학의 게이지 이론gauge theory에도 큰
기여를 했다. 20세기 후반의 가장 영향력 있는 수학자들 중 하나
이다. 1966년에 필즈 상, 2004년에 아벨 상을 받았다.)
배울 수는 있지만, 그것을 자신만의 언어로 해석해야
합니다. 독창성이란, 어떤 측면에서든 과거의 관습에
서 벗어나는 데서 오는 법입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

동기
연구하는 수학자는 창의적인 예술가처럼, 한 주제에
열정적으로 흥미를 느끼고 온전히 헌신해야 합니다.
강렬한 내적 동기가 없다면 당신은 성공할 수 없을
것이고, 반면 수학을 즐길 수 있다면 어려운 문제들을
푸는 것으로부터 오는 만족은 굉장할 것입니다.
연구의 첫 두 해는 가장 어려운 시기입니다. 우선
배워야 할 것이 너무나 많습니다. 당신은 작은 문제들
과 분투하지만 성공하지 못할 것이고, 흥미로운 무엇
인가를 증명할 수 있을 것이라는 자신의 능력에 회의
를 느낄 것입니다. 나는 내 연구의 두 번째 해에 그것
을 경험했고 장-피에르 세르Jean-Pierre Serre, 아마 우리
세대의 가장 뛰어난 수학자인 그 역시 이 첫 단계에서
포기를 고려했다고 나에게 고백한 적이 있습니다.
오직 평범한 사람만이 자신의 능력에 완전히 만
족할 수 있습니다. 당신이 나은 사람일수록 자신에게
더욱 높은 기준들을 세울 것이고, 당장 도달할 수 있는
곳 그 이상을 바라보고 있을 것입니다.
수학자가 되길 원하는 사람 중 대다수는 다방면
에서도 역시 재능과 흥미를 가지고 있으며, 수학자의
길과 다른 꿈을 추구하는 것 사이에서 어려운 결정을
내려야 합니다. 위대한 가우스Gauss는 수학자와 문헌
학자 사이에서 마음이 흔들렸고, 파스칼Pascal은 신학
을 위해 어린 나이에 수학을 등진 바 있으며, 한편 데
카르트Descartes와 라이프니츠Leibniz는 철학자로 유명
합니다. 몇몇 수학자들은 물리학으로 옮겨갔고(예를
들면 프리먼 다이슨Freeman Dyson), 다른 몇몇은(예를
들면 하리시 찬드라Harish Chandra, 라울 보트Raoul Bott)
그 반대의 길을 선택했습니다. 당신은 수학을 완전히
닫힌 세계로만 치부해서는 안 되며, 수학과 다른 분야
사이의 교류는 개인이나 사회 모두를 위해서 건전한
일입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

심리
수학은 엄청난 정신 집중을 요구하기 때문에, 심지어
모든 일이 잘되고 있어도 견뎌야 할 심리적 압박이
상당할 수 있습니다. 성격에 따라 이것은 매우 중요
하거나 혹은 그저 사소한 문제가 될 수 있지만, 이런
긴장을 해소하면 당신은 더욱 발전할 수 있습니다. 동
료들과의 교우–강연, 세미나, 컨퍼런스 등에 참석하기–
는 개인의 시야를 확대할 수 있을뿐더러, 아주 중요한
사회성을 제공해줍니다. 너무 심각한 고립과 자기반
성은 위험할 수 있으며, 명백하게 헛되이 보이는 대화
조차도 전혀 쓸모없는 것은 아닙니다.
아마 최초에는 동료들이나 지도교수와 이루어지
게 될 공동연구는 많은 장점을 가지고 있고, 누군가와
장기간 공동연구를 하는 것은 수학적으로나 개인적
차원에서 보람있는 일입니다. 언제나 결국엔 자신만
의 힘들고 조용한 생각이 필요하긴 하지만, 평소에
친구들과 생각을 교류하거나 토론하면서 자기 생각을
진전시키고 균형 잡힌 시각을 가질 수 있습니다.
문제 vs. 이론
수학자들은 때때로 “문제를 푸는 사람” 또는 “이론을
만드는 사람”으로 구분됩니다. 물론 이런 분류가 적
합한 극단적인 경우가 있기는 하지만(유명한 에르되
시Erd˝os와 그로텐디크Grothendieck 같이) 대부분의 수학
자는 그 둘 사이 어딘가에 위치하며, 그들의 업적은
문제의 해법과 이론의 발전 모두와 연관되어 있습니
다. 명확하고 흥미로운 문제의 해법을 이끌어내지 못
하는 이론은 사실 그다지 가치가 없습니다. 반대로,
매우 심오한 문제는 그 해법이 새로운 이론의 발전을
자극하곤 합니다. (페르마의 마지막 정리는 잘 알려진
예입니다.)
연구를 막 시작하려는 학생들에게 이것이 갖는 의
미는 무엇일까요? 누군가 책과 논문을 읽고 일반적인
개념과 테크닉(이론)을 흡수해야 할 때, 실질적으로
그 학생은 하나 혹은 여러 개의 특정한 문제들에 초
점을 맞추어야 합니다. 이는 계속하여 곱씹을 거리를
제공하고, 그런 문제들을 통해 개인의 기질이 어떤가
를 시험해 볼 수 있습니다. 또한, 풀려고 노력하면서
세부적인 것들을 잘 이해하고 있는 명확한 문제들은,
사용 가능한 이론들의 유용성과 강력함을 측정할 수
있는 귀중한 참고자료가 됩니다.
연구가 어느 정도 진행되었느냐에 따라 최종적인
박사학위 논문은 이론 대부분을 잘라버리고 오직 핵
심적인 문제만을 다룰 수 있고, 혹은 특정한 문제가
자연스럽게 들어맞는 더 넓은 상황을 묘사할 수도 있
습니다.

 

 

 

 

 

 

 

호기심의 역할
연구를 이끌어나가는 힘은 호기심입니다. 언제 부분
적인 결과가 참이 될 것인가? 이것이 가장 좋은 증명
인가, 혹은 더 자연스럽고 멋있는 증명이 있을까? 이
결과가 성립하는 가장 일반적인 상황은 무엇일까?
만약 당신이 논문을 읽거나 강의를 들으며 그런
질문을 자신에게 계속 던진다면, 언젠가는 답의 실마
리가 탐구 가능한 방법으로 드러날 것입니다. 이것
이 나에게 일어났을 때 나는 언제나 그 아이디어를
추적해서 그것이 궁극적으로 나를 어디로 이끄는지,
혹은 그 의미가 엄밀한 검증 후에도 여전히 남아있는
지 확인하는 데 시간을 할애합니다. 십중팔구는 결국
막다른 골목에 이르게 되지만, 때때로 나머지 하나의
가능성이 성공하게 됩니다. 처음에 가망성이 있어
보이는 아이디어로 실은 아무것도 할 수 없다는 것을
알아차리는 것이 이 과정에서 제일 어렵습니다. 그것
을 깨닫는 시점에서 당신은 바로 손을 떼고 원점으로
돌아가야 합니다. 보통 이 결정의 경계는 명확하지
않고, 사실 나도 한참 후에 이미 포기했던 아이디어로
다시 돌아가 다른 시도를 해보곤 합니다.
아이러니하게도, 좋은 아이디어는 나쁜 강연이나
세미나에서 예상치 못하게 나타날 수 있습니다. 나의
경우, 결과는 아름답지만 증명이 더럽고 복잡한 강연
을 들을 때 종종 그런 일이 생깁니다. 칠판 위의 지저
분한 증명을 따라가려고 노력하는 대신, 나는 그 시간
을 보다 아름다운 증명을 찾아내기 위해 사용합니다.
아주 예외적인 경우를 제외하고 보통 이는 성공적이지
않지만, 그래도 그 문제에 대해 나만의 방식으로 깊게
생각한다는 점에서 나의 시간은 더욱 가치 있게 쓰인
셈입니다. 이것은 다른 사람의 논리를 수동적으로 따
라가는 것보다는 훨씬 낫습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

예제
만약 당신이 나와 비슷하게 더 넓은 시야와 강력한 이
론들을 선호한다면(나는 그로텐디크에게 영향을 받았
지만 그처럼 되지는 않았습니다), 일반적인 결과들을
간단한 예제들에 적용할 수 있는 능력은 필수적입니다.
수년 간 나는 다양한 분야에서 유래한 수많은 예제를
만들어 왔습니다. 그들은 구체적인 계산을 해 볼 수
있는 예제들이고, 그것을 풀기 위해 가끔은 일반적인
이론을 이해하는 데 도움이 될만한 정교한 공식들이
필요합니다. 그런 예제들은 당신이 항상 땅을 밟고
있도록 해줄 것입니다. 아주 흥미롭게도, 그로텐디
크는 예제들을 너무나 싫어했지만, 다행히 그는 그런
빈틈을 메워줄 수 있는 세르와 가까운 사이였습니다.
예제와 이론 사이에는 명확한 경계가 없습니다. 내가
가장 좋아하는 예제들인 비틀어진 3차 곡선twisted cubic,
2차 곡면quadric surface, 3차원 공간 속 직선들의 클라인
표현Klein representation of lines in 3-space 등은 고전적인 사
영 기하를 처음 공부할 때 나온 것들입니다. 이들 중
어느 것도 그것보다 더 구체적이거나 전형적인 예를
들 수 없는데, 그 이유는 모두 대수적으로나 기하학
적인 관점으로 보았을 때 하나의 이론이 되는 거대한
종류의 예제 중 가장 첫 번째 경우를 묘사하거나 바로
그 자체이기 때문입니다. 앞의 경우 유리 곡선rational
curve, 동차 공간homogeneous space, 그라스만Grassmannian
의 이론이 차례로 해당하겠지요.
예제를 바라보는 또 다른 관점은 그들이 다른 방
향으로 접근하는 선구자 역할을 한다는 것입니다. 하
나의 예제는 여러 가지 다른 방법들로 일반화될 수 있
거나, 혹은 몇 가지 다른 원리들을 묘사할 수 있습니다.
고전적인 원뿔 곡선classical conic은 유리 곡선, 2차 곡면,
그라스만 모두에 포함됩니다.
그러나 무엇보다도, 좋은 예제는 아름답습니다.
그것은 매우 설득력 있고 밝게 빛납니다. 그것은 통
찰력과 이해를 가져다줍니다. 그것은 믿음의 기반을
형성해 줍니다.

 

 

 

 

 

 

증명
우리는 모두 “증명”이 수학의 가장 중요한 요소라는
가르침을 받았고, 유클리드 기하학의 주의 깊게 나열
된 공리와 명제들은 르네상스 시절부터 시작해 현대까
지 수학적 사고를 위한 필수적인 체제를 제공했습니
다. 수학자들은 자연과학자들의 명확하지 않은 논리
전개와 다른 학문의 더욱 심하게 헝클어진 주장들과
비교해, 자신들이 가진 절대적인 확실성에 자부심을
가지고 있습니다.
괴델G¨odel 이후로 이런 절대적 확실성에 대한 믿음
이 약해졌고, 요새 더 흔해진 컴퓨터를 사용한 끝없이
긴 증명이 수학자들에게 일종의 겸손을 불러일으킨 건
사실입니다. 그럼에도 증명은 수학에서 기본적인 역
할을 유지하며, 만약 당신의 논증 속에 심각한 비약이
있다면, 그 논문은 당연히 게재가 거부될 것입니다.
그러나 수학에서의 연구를 증명을 생산하는 과정
으로만 정의하는 것은 착오입니다. 오히려 수학에서
가장 창의적인 것들은 증명 단계stage 이전에 있다고도
말할 수 있습니다. “무대stage”라는 은유를 계속 쓰자
면, 당신은 어떤 아이디어에서 시작해서 줄거리를 구
상하고, 대화를 쓰며 무대장치를 제공합니다. 이 모든
것의 실제적 생산물이 “증명”이라고 볼 수 있습니다.
아이디어의 표현물로서 말이죠.
수학에서는 아이디어와 개념이 먼저 나오고, 그다
음 질문들과 문제들이 따라옵니다. 이 단계에서 해답
을 찾는 것이 시작되고, 방법이나 전략을 모색하게 됩
니다. 답하려는 문제가 잘 정의된다고 당신을 스스로
납득시킬 수 있고 그 작업을 위한 알맞은 도구들을 가
지고 있다고 생각하면, 당신은 그제야 증명의 세세한
부분들을 깊게 생각하기 시작합니다.
그전까지 오랫동안, 당신은 아마 반례들을 찾음
으로써 자신의 질문이 틀리다는 것을 깨달을 수도 있
습니다. 가끔은 최초의 직관적인 아이디어와 그것의
수학적 표현 사이에 간극이 있습니다. 당신은 몇 가지
숨겨진 가정을 빼먹고, 기술적인 측면을 간과해버리고,
지나치게 일반화시키려고 노력합니다. 그것을 깨닫
는다면 원점으로 돌아가 수식화한 문제를 더 다듬어
야 합니다. 완전한 서술은 의심할 여지 없는 진리의
곡물이기 때문에, 수학자들이 원래의 문제를 그들이
답할 수 있는 방식으로 조작한다고 힐난하는 것은 불
합리한 과장입니다. 수학은 예술이며, 좋은 수학에서
예술적인 것이란 흥미로우면서도 동시에 풀 수 있는
문제들을 식별하고 다루는 것입니다.
증명은 창의적인 상상력과 비판적인 사고를 넘나
드는 긴 상호작용 끝의 최종 산물입니다. 증명 없이는
결과가 미완성으로 남지만, 상상력 없이는 애초에 그
런 과정을 시작도 할 수 없습니다. 누군가는 여기서 이
수학이라는 창의적인 예술가의 작업과 다른 분야 사이
의 유사성을 발견할 것입니다. 작가, 화가, 작곡가, 혹
은 건축가와 말입니다. 전망이 먼저 나오고, 대략적인
밑그림이 그려진 아이디어로 발전하며, 예술 작품을
건설하는 길고 기술적인 작업이 마지막에 따라옵니다.
그러나 모든 과정에서 기술과 전망은 긴밀하게 얽혀
있어서, 각각은 서로 다른 것을 자신만의 규칙으로 변
형시킵니다.

 

 

 

 

 

전략
이전 단락에서 나는 증명의 철학과, 전체적인 창조의
과정 안에서 그것의 역할에 대해 논했습니다. 이제
초심자에게 현실적으로 가장 흥미 있을 만한 질문에
대해 언급하겠습니다. 어떤 전략을 사용해야 할까요?
실제로 증명을 찾기 위해서는 어떻게 해야 할까요?
이 질문은 일반적인 의미에서 그다지 말이 되지
않습니다. 앞에서 설명했듯 좋은 문제는 거저 생겨
나지 않습니다. 그것은 어떠한 배경에서 생기며 뿌리
를 가지고 있습니다. 당신이 진전을 이루기 위해서는
그런 뿌리들을 이해해야만 합니다. 이는 자신만의 문
제를 찾고 자신만의 질문을 던지는 것이, 지도교수가
넘겨주는 문제를 푸는 것보다 항상 더 나은 이유입니
다. 만일 어떤 문제가 어디에서 출발했고, 그 질문이
왜 나왔는지 알고 있다면, 당신은 해법에 거의 절반은
다가간 셈입니다. 사실, 정확한 질문을 던지는 것은
보통 그것을 풀기만큼이나 어렵습니다. 알맞은 상황을
짚는 것이 가장 핵심적인 첫 단계입니다.
요컨대, 당신은 그 문제의 역사에 대해 여러 가지
지식을 필요로 합니다. 비슷한 문제들에 대해 어떤 방
법들이 시도되었으며, 그들의 한계가 무엇인지 알아야
합니다.
어떤 문제를 완전히 흡수하자마자 깊은 고찰을 시
작하는 것은 아주 좋은 생각입니다. 해답을 손에 넣기
위해서, 그 무엇도 실제로 해보는 것을 대체할 수 없
습니다. 당신은 특수한 경우들을 살펴보고 근본적인
어려움이 어디에 있는가를 찾도록 노력해야 합니다.
배경지식과 기존의 방법을 잘 알면 알수록, 당신이 시
도할 수 있는 테크닉들과 요령들이 늘어납니다. 한편,
무식함은 가끔 행복이 되기도 합니다. 리틀우드J. E.
Littlewood는 그의 지도 학생들에게 각각 리만 가설이
교묘하게 변형된 다른 형태의 문제들에 대해 연구하도
록 했고, 그들이 무엇을 한 것인지 6개월이 지난 뒤에
나 알려주었다고 합니다. 그는 학생들이 그렇게 유명
한 문제에 곧바로 접근하면 자신감을 가지지 못하지
만, 그들이 다루는 문제의 명성을 말해주지 않는다면
어떤 진전을 이룰 수도 있을 것이라고 주장했습니다.
그런 방침이 리만 가설의 증명을 가져오지는 못할지도
모르겠지만, 적어도 실패로부터 회복이 빠르고 단련된
학생들을 만드는 데에는 도움이 될 것입니다.
나만의 전략은, 직접 문제를 공격하는 것을 회피
하고 간접적으로 접근할 수 있는지 시도해 보는 것입
니다. 이것은 예상치 못하게 도움이 될 다른 분야에
서의 아이디어나 테크닉을 다루던 문제와 연결하는
것과 관련되어 있습니다. 만약 이 전략이 성공한다면,
그 결과가 왜 성립하는지 “설명하는” 아름답고 단순한
증명을 얻게 됩니다. 솔직히 말하면, 나는 우리가 정말
목표로 하는 바는 설명과 이해를 찾는 것이라고 믿습
니다. 증명은 단지 그 과정의 일부일 뿐이고, 가끔은
그것의 결과물일 뿐입니다.
새로운 방법들을 찾는 과정의 일환으로, 당신의
시야를 넓히는 것도 추천합니다. 다른 사람들과 이야
기하는 것은 당신의 전반적인 지식을 확장하거나 가
끔은 새로운 아이디어나 테크닉을 소개해줄 것입니다.
이를 통해 자주 당신의 연구에 대해 생산적인 아이디
어를 얻을 수 있거나, 혹은 아예 전혀 새로운 방향을
찾을 수도 있을 것입니다.
만약 새로운 주제를 배워야 한다면, 문헌을 참고
하십시오. 하지만 그보다는 친분이 있는 전문가로부터
훨씬 빠르게 식견을 가져다 줄 현지인의 설명을 듣는
것이 더 낫습니다.
장래를 생각하고 새로운 발전들에 주의를 기울이
면서도, 절대 과거를 잊어서는 안 됩니다. 이전 시대의
많은 강력한 수학적 결과들이 묻히거나 잊혀졌고, 그
들은 오직 독립적으로 재발견되었을 때에만 빛을 발할
것입니다. 그 결과들은 용어와 양식이 상이한 이유 등
으로 찾아내기가 쉽지 않지만, 금광이 될 수 있습니다.
대다수 금광의 경우와 비슷하게 그것을 취하기 위해
서는 매우 운이 좋아야 하며, 개척자들에게는 보상이
따를 것입니다.

 

 

 

 

 

 

독립성
연구를 시작하는 단계에서 지도교수와의 관계는 매우
중요할 수 있기 때문에 연구 주제, 성격, 업적 등을 마
음속에 두고 신중하게 지도교수를 선택하십시오. 아주
적은 교수만이 이 세 부분에서 모두 뛰어납니다. 무
엇보다, 첫해나 그즈음에 연구가 잘 안 되거나 당신의
흥미가 현저하게 멀어져 버린다면, 지도교수나 심지어
대학을 바꾸는 것도 주저하지 마십시오. 당신의 지도
교수는 기분 상하지 않을 것이며, 오히려 안도할지도
모릅니다!
때때로 당신은 어떤 집단에 속해서 학과의 다른
구성원들과 교류함으로써, 한 명의 지도교수보다 효율
적인 다수의 조언자를 가지고 있을 수 있습니다. 이는
서로 다른 관점과 다양한 작업 방식을 제공하기 때문에
유용할 수 있습니다. 또한, 그런 집단 안에서는 동료
들에게 많은 것을 배울 수 있으며 이런 점에서 규모가
큰 대학원을 가진 학과를 선택하는 것이 좋습니다.
일단 성공적으로 박사학위를 받고 나면, 당신은
새로운 국면에 접어들게 됩니다. 여전히 지도교수와
공동연구를 하고 있고 기존의 연구 집단에서 어떤 역
할을 담당하고 있더라도, 미래의 발전을 위해 다른 곳
으로 1년이나 그 이상 떠나는 것이 유익합니다. 그것
은 당신을 새로운 영향과 기회에 눈뜨게 해줍니다. 이
시기는 수학이라는 세계에서 당신의 적소를 개척하기
위한 시기입니다. 보통, 박사학위의 연줄을 너무 오
랫동안 지속하는 것은 좋은 생각이 아닙니다. 당신은
그곳에서 벗어남으로써 자신의 독립성을 보여주어야
합니다. 연구 방향을 너무 급격하게 틀 필요는 없지만,
확실한 참신함이 있어야 하고 단순히 박사학위 논문의
진부한 연장이 되어서는 안 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

스타일
박사학위 논문을 쓸 때 지도교수는 으레 표현과 구성
방식에 도움을 줍니다. 그러나 자신만의 스타일을 습
득하는 것은 수학적 발전에서 상당히 중요한 부분입
니다. 그 요구는 어떤 종류의 수학이냐에 따라 다양할
수 있지만, 어느 분야에서나 공통으로 해당하는 부분
들이 있습니다. 여기에 좋은 논문을 쓰기 위한 몇 가지
요령들이 있습니다.
(i) 작성하기 이전에 논문의 전체적인 논리 구조를
생각해보아라.
(ii) 읽는 이에게 도움이 되도록, 길고 복잡한 증명들
은 짧은 중간 단계들(소정리, 명제 등)로 나누어
라.
(iii) 명확하고 일관된 영어(혹은 당신이 선택한 언어)
를 사용하라. 수학 또한 문학의 한 형태임을 명심
하라.
(iv) 깔끔하고 이해하기 쉽게 하면서도 최대한 간결하
게 서술하라. 이 균형을 이루는 것은 어렵다.
(v) 당신이 즐겁게 읽은 논문들을 확인해보고 그들의
스타일을 모방하라.
(vi) 논문의 대부분을 완성하고 나서 재검토한 뒤, 일
반적인 내용 뿐 아니라 주요 결과들과 구조를 분
명하게 설명하는 서론introduction을 작성하라.
(vii) 초안을 먼저 동료들에게 첨삭 받고 어떤 조언이
나 비판도 주의 깊게 받아들여라. 만약 가까운
친구나 공동 연구자가 그것을 이해하는 데 어려
움을 겪는다면, 당신은 실패한 것이고 더 열심히
노력해야 한다.
(viii) 만약 논문을 게재하는 데 필사적으로 급한 것이
아니라면, 당신의 논문을 몇 주간 치워두고 다른
일들을 하라. 그리고 새로운 마음으로 당신의 논
문을 다시 읽어보아라. 이전과 아주 다르게 읽힐
것이고, 어떻게 개선해야 할지 알게 될 것이다.
(ix) 아예 새로운 시각이 논문을 더 명확하고 읽기 쉽
게 만들어준다고 설득된다면 재작성하기를 주저
하지 마라. 잘 작성된 논문들은 “고전”이 되고
미래의 수학자들에게 널리 읽힐 것이다. 질 나쁜
논문들은 무시되어지거나, 혹은 그들이 매우 중
요하다면 다른 이들에 의해 재작성될 것이다.

 

2 벨라 볼로바시2 (B´ela Bollob´as)
“이 세상에 추한 수학을 위한 영원한 공간은 어디에도
없다”고 하디Hardy는 말했습니다. 나는 열정적이지
않고 뚱한 수학자들을 위한 공간 또한 세상 어디에도
없다고 믿습니다. 수학에 무한한 열정을 느낀다면,
그리고 설사 다른 직업을 갖고 하루 종일 고된 일을
마치고 집에 돌아오더라도, 수학을 하기 위한 시간을
찾을 정도로 애정이 있을 때만 수학을 하세요. 시나
음악처럼, 수학은 직업이라기보다 소명입니다.
취향은 그 무엇보다도 중요합니다. 이러한 주제
에 있어 기적적이게도, 좋은 수학을 이루는 것들이 무
엇인가에 대해 어느 정도 합의가 있습니다. 당신은 중
요하고 오랫동안 마를 것 같지 않은 분야에서 연구해
야 하고, 아름답고 중대한 문제들에 매달려야 합니다.
좋은 분야에서는 그저 잘 알려진 극소수의 난제들뿐
아니라, 가치 있는 문제들이 여기저기 널려 있습니다.
그러나 솔직히, 항상 너무 높은 것을 목표로 하는 것은
오랜 불모의 기간을 가져올 수 있습니다. 당신 일생의
어느 단계에서는 그런 침묵이 허용될지 모르겠지만,
경력을 막 시작하는 단계에서는 반드시 피해야만 합
니다.
당신의 수학적 활동에서 균형을 위해 노력하세
요. 연구하는 것이 물론 진정한 수학에서 가장 으뜸이
되어야 하지만, 연구와 동시에 충분히 많이 읽고 잘
가르치세요. 그것들이 당신의 연구에 (거의) 아무런
영향을 주지 못할지라도 모든 단계에서 수학을 즐기세
요. 가르치는 것은 단순한 짐이 아니라 자극의 원천이
되어야 합니다.
연구는 (신문기사를 쓰는 것과 달리) 시간이 정해
(2역자 주: 헝가리에서 태어난 영국의 수학자이며, 극단적 그래프
이론extremal graph theory, 랜덤 그래프 이론random graph theory,
함수 해석학 등 다양한 분야의 중요한 결과들을 증명했다. 에르되
시의 제자이며, 1998년 필즈 상 수상자인 티모시 가워스Timothy
Gowers의 지도교수이기도 하다.)
진 어떤 일과가 되어서는 안 됩니다. 당신은 그것에
대해 생각하지 않고는 배기지 못할 문제들을 선택해
야만 합니다. 따라서 문제들에 자신만의 흥미를 느
끼는 것이, 당신에게 부과된 임무를 수행하는 것처럼
문제를 다루는 것보다 월등히 낫습니다. 연구자로서
경력의 가장 시작 단계에서, 당신은 자신의 입맛에 맞
지 않을지도 모르는 문제를 건네받기 위해 지도교수를
가지고 있는 것이 아닙니다. 오히려 자신이 찾아낸
흥미로운 문제들이 어떤지 판단하는 데 조언을 받도록
지도교수를 활용해야 합니다. 무엇보다도, 지도교수는
당신의 능력이나 취향을 아직 잘 모를 테지만 그래도
어떤 문제가 당신이 노력을 들일만 한 가치가 있는지
판단할 수 있는 능력을 갖추고 있을 것입니다. 어느
정도 경력을 쌓고 더는 지도교수에게 의존하지 못할
때에는, 공감하는 동료들과 이야기하는 것이 종종 영
감을 줄 것입니다.
나는 어느 한 시점에서 당신이 다음 두 종류의 문
제들과 씨름해보길 추천합니다.
(i) “꿈”: 너무나 풀고 싶지만, 이성적으로는 절대
풀릴 것 같지 않은 큰 문제.
(ii) 충분한 시간과 노력, 운이 있다면 언젠가 풀 기회
가 있을 것 같은 가치 있는 문제들.
덧붙여서, 앞에 있는 것들보다는 덜 중요하지만 당신
이 고려해볼 두 가지 종류가 더 있습니다.
(i) 당신이 추구하는 가치보다는 못하지만 빠르게 풀
수 있다고 확신할 수 있어서, 거기에 투자하는
시간이 더욱 올바른 문제들에서의 성공을 해치지
않는다면 때때로 그런 문제들을 연구하세요.
(ii) 심지어 그보다 더 낮은 단계에 있고 실질적으로
연구 문제는 아니더라도(그것들이 몇 년밖에 안
되었더라도), 시간을 들일만큼 아름다운 문제들
을 푸는 것은 항상 재밌습니다. 그들은 당신에게
즐거움을 주고 창의력을 날카롭게 해줄 것입니다.
인내와 끈기를 가지세요. 어떤 문제에 대해 생
각할 때, 가장 유용한 방법은 아마 매 시간 그것을
머릿속에 지니고 있는 것입니다. 이것은 뉴턴Newton
뿐 아니라 많은 위인에게도 효과가 있었습니다. 특
히 중대한 문제들을 고민하고 있을 때는 자신에게 긴
시간을 주어야 합니다. 나중에 그런 별 기대 없는 문
제를 고민할 어느 정도의 시간을 줄 거라고 자신에게
약속한 뒤, 다음에 무엇을 할지 조사하고 결정하세요.
문제 풀이를 위해 떠오르는 생각을 시도는 해보지만,
한 가지에 너무 몰두해서 그 문제에 접근할 다른 방법
들을 놓치지는 마세요. 에르되시 팔이 그랬듯, 당신의
머리를 열어두고 정신적으로 날렵해지세요.
실수하는 것을 두려워하지 마세요. 체스 기사에게
실수는 치명적이지만, 수학자에게는 예사로 일어나는
일입니다. 정말로 무서워해야 할 것은, 한 문제에 대해
잠시 고민한 뒤에도 여전히 당신 앞에 놓여 있는 빈
종이입니다. 생각의 순간이 지나고 폐용지함이 실패한
끄적임으로 가득 차 있다면, 당신은 아직 잘하고 있는
것입니다. 평범한 접근 방식은 피하고 노력하는 것에
항상 행복해하세요. 특히, 어떤 문제의 가장 간단한
경우를 생각하고 계산해 보는 것은 절대 시간 낭비가
아니라, 매우 유용한 것임이 드러날 것입니다.
당신이 한 문제에 상당히 긴 시간을 쏟는다면 자
신의 진척 경과를 과소평가하기 쉽고, 거의 동등한 정
도로, 그 모든 것들을 기억하는 자신의 기억력을 과
대평가하기 쉽습니다. 아주 부분적인 결과들이라도
항상 적어놓는 것이 가장 좋습니다. 추후에 그 메모가
당신의 시간을 엄청나게 절약해 줄지도 모릅니다.
만약 어떤 성과를 이룰 정도로 운이 아주 좋다면,
당신은 이제 그 연구에 진절머리가 나고 자신이 쓰고
있는 월계관과 함께 쉬고 싶다는 생각이 자연스럽게
들 것입니다. 이런 유혹을 이겨내고, 그 업적이 당신
에게 줄 수 있는 다른 가능성을 찾아보세요.
젊은 수학자로서, 당신의 가장 큰 장점은 연구할
시간이 많다는 것입니다. 아직 깨닫지 못할지도 모르
겠지만, 연구를 위해 막 경력을 시작할 즈음과 같이 많
은 시간을 갖기란 매우 힘듭니다. 물론 누구나 수학을
공부할 시간이 부족하다고 느끼겠지만, 나이를 먹어
감에 따라 그러한 기분은 점점 더 절실해지고, 점점 더
그럴만한 이유가 생깁니다.
읽기로 화제를 돌리면, 젊은 사람들은 당연히 그
들이 읽은 책들과 논문들의 양에 대해서는 다른 사람
들에 비해 불이익을 가지고 있습니다. 이것을 보완하
기 위해서는 일반 상식과 수학 모두 가능한 한 많이
읽어야 합니다. 자신의 연구 분야에서 최고의 대가
들이 쓴 논문들을 많이 읽도록 하세요. 그 논문들은
보통 대가가 할 수 있는 최대한의 능력을 발휘해 주의
깊게 쓴 것은 아니지만, 아이디어나 결과의 완성도는
당신이 그것들을 읽는데 투자한 노력을 충분히 보상하
고도 남습니다. 무엇을 읽든 간에, 저자가 앞으로 뭘
어떻게 하려는지 예상하고 더 나은 방식을 찾으려고
노력해야 한다는 점만 주의하세요. 만약 저자가 당신
이 생각하던 길을 그대로 따라간다면 행복할 것이고,
그가 다른 길을 택하더라도 왜 그런지 이유를 찾을 수
있을 것입니다. 심지어 멍청하게 보일지라도, 자신에
게 결과들과 증명들에 대해 자문해보면 당신의 이해에
매우 큰 도움이 될 것입니다.
반면, 풀려고 시도하는 미해결 문제에 대한 모든
것들을 다 읽지 않는 것 또한 유용합니다. 우선 스스로
그 문제에 대해 깊이 생각해보고 명백히 아무런 희망
도 없을 때, 당신은 다른 사람들의 실패한 시도들을
읽어볼 수 있을(읽어야만 할) 것입니다.
항상 깜짝 놀랄 준비를 하면서 어떤 현상도 당연
하게 생각하지 말고, 자신이 읽은 결과와 아이디어를
음미하세요. 무언가에 대해 당신이 그것을 안다고 생
각하기는 너무나 쉽습니다. 그저 증명을 읽어보기만
하면 되니까요. 뛰어난 사람들은 보통 새로운 아이
디어를 흡수하는데 긴 시간을 소비합니다. 그들은 단
순히 정리와 증명 몇 개를 아는 것에 만족하지 않고,
그것들의 진정한 본질을 느끼고자 합니다.
경력이 쌓일수록, 항상 참신한 아이디어와 또 다른
방향에 열린 마음을 가지도록 하세요. 수학에서 어떤
분야의 전망은 언제나 바뀌며, 당신 역시 뒤처지고 싶
지 않으면 함께 변화해야 할 것입니다. 매 순간 자신의
도구를 갈고 닦고, 새로운 것들을 배워야만 합니다.
무엇보다, 수학을 즐기고 열정을 가지세요. 연
구를 즐기고, 새로운 결과들에 대해 찾아보고, 다른
사람들과 수학에 대한 사랑을 나누고, 여가조차 우연
히 알게 되거나 동료들에게서 들은 작지만 아름다운
문제들을 생각하며 수학과 함께 즐기세요.
과학과 예술에서 성공하기 위해 반드시 따라야만
하는 조언을 한마디로 정리하라면, 나는 비트루비우
스Vitruvius가 2천 년도 더 전에 적었던 것보다 나은 말
을 찾지 못할 겁니다.
Neque enim ingenium sine disciplina aut
disciplina sine ingenio perfectum artificem
potest efficere.
배움 없는 천재성이나 천재성 없는 배움
모두 완벽한 예술가를 만들지는 못할 것이
다.

 

3 알랭 콘3 (Alain Connes)
수학이란 현대 과학을 이루는 척추이며 우리가 사는
“현실”을 이해하는 새로운 개념들과 도구들을 제공하
는 놀랍도록 효율적인 근원지입니다. 새로운 개념들
그 자체는 인간 지성이라는 증류기를 통해 오랜 기간
“증류”된 결과들입니다.
나는 젊은 수학자들을 위한 조언을 써달라고 부
탁받았습니다. 이에 대한 내 첫 번째 의견은 각각의
수학자는 모두 특별하다는 것입니다. 일반적으로 물
리학자들은 “보존boson” 입자처럼, 즉 거대한 집단으
로 뭉쳐서 그들의 업적을 “지나치게 선전”하는 반면,
수학자들은 그것을 경멸하고 “페르미온fermion” 입자
처럼, 다시 말해 유행을 타는 분야에서 연구하는 것을
회피하는 경향이 있습니다.
처음에 수학을 개별적인 분야들, 예컨대 기하학,
대수학, 해석학, 정수론 등등의 모음으로 취급하는 것
이 자연스러워 보일 수 있습니다. 기하학은 “공간”의
개념 이해에 주로 치중하고, 대수학은 기호들을 다루는
예술로서, 해석학은 “무한”이나 “연속성”에 접근하는
것처럼 말입니다.
그러나 이것은 수학 세계의 가장 중요한 특징을
정당하게 다루는 것이 아닙니다. 수학 일부분을 다른
것들로부터 독립시키는 것은, 그것의 본질을 박탈하
기 전까지는 실질적으로 불가능합니다. 다시 말하면
수학을 집대성하는 것은 오직 전체로서만 살아있고
서로 독립적인 부분들로 분리하면 죽어버리는 하나의
생명체와도 같습니다.
수학자들의 학문적 인생은 그들 자신만의 정신 구
조를 점차 드러내 주는 “수학적 현실”이라는 지리를
탐사하는 행위로 묘사될 수 있습니다.
(3역자 주: 프랑스의 수학자로서, 폰 노이만 대수von Neumann
algebra의 전문가이며, 이 대수의 인수factor들을 완전히 분류하
였다. 비가환 기하학noncommutative geometry의 개척자이기도
하다. 1982년에 필즈 상을 받았다.)
그 과정은 대개 현존하는 책들에서 찾아볼 수 있
는 이 세상을 설명하는 확고한 교리에 대한 반항을
실천함으로써 시작됩니다. 젊고 잠재적인 수학자들
은 수학적 세계에서 자신들만의 관점이 널리 받아들
여지는 믿음과 맞지 않는 특성들을 포착한다는 것을
깨닫기 시작합니다. 이 최초의 반항은 대부분의 경우
무지에서 비롯되긴 하지만 그럼에도 여전히 유익할
수 있습니다. 만약 그것이 실제 증명들로 뒷받침될
수 있다는 것이 알려진다면, 사람들을 권력에 대한 숭
배로부터 자유롭게 해주고 그들의 관점에 의존할 수
있도록 해주기 때문입니다. 처음 볼 때는 난해한 수
학 세계의 작은 일부분을 기존의 방법이나 “개인적인”
방식으로 완전히 알게 되었다면, 탐험을 위한 여정은
이곳에서부터 제대로 시작될 수 있습니다.4 물론 “fil
d’Arianne”(“아리아드네의 실”5)을 끊지 않는 것은 필
수적입니다. 이를 통해 길에서 마주치는 어떤 것이든
꾸준히 새로운 시각으로 바라볼 수 있으며, 길을 놓쳤
다는 느낌이 들기 시작하면 실을 따라가 시작점으로
다시 되돌아갈 수도 있습니다.
계속해서 움직이는 것 또한 중요합니다. 그렇지
않는다면 당신은 극단적인 기교들로 특화된 상대적으
로 좁은 지역에 자신을 국한하면서, 수학적 세계와 그
것의 당혹스러울 정도로 거대한 다양성에 대해 제한된
관점을 가질 우려가 있습니다.
이런 관점의 근본적인 핵심은, 많은 수학자가 수
학 세계의 완전히 동떨어진 부분을 전혀 다른 관점으
로 탐사하고 있음에도 그들의 영역 사이의 경계와 연
결성에 대해 모두가 동의한다는 점입니다. 누군가의
여정이 어디서 시작했든지, 어느 날 그가 충분히 멀리
걸어나간다면 분명 아주 잘 알려진 마을을 마주칠 것
입니다. 예를 들어 타원 함수elliptic function, 모듈러 형
식modular form, 제타 함수zeta function 따위와 말입니다.
“모든 길은 로마로 통하고,” 수학 세계는 어디든 “연결
되어” 있습니다. 당연히 이 말이 수학의 모든 분야가
엇비슷하다는 것을 말하는 것은 아니며, 그로텐디크가
4나의 경우 시작점은 다항식 근들의 위치를 찾는 것localization of
roots of polynomials이었습니다. 운 좋게도 나는 매우 어린 나이에
시애틀의 한 학회에 초대받았고, 인수factor들에 관한 미래의 모든
연구의 시발점이 되는 것들을 알게 되었습니다.
5역자 주: 그리스 신화에서 크레타 섬의 거대한 미궁 속에 갇혀
있는 미노타우로스를 처치하기 위해 온 영웅 테세우스에게, 아리
아드네 공주가 길을 잃지 않도록 건내준 실이다.
자신이 처음 연구를 시작했던 해석학의 전망을 그가
수학자로서의 남은 여생을 보낸 대수 기하학의 전망과
(R´ecoltes et Semailles에서) 비교했던 것을 읽어보면
분명하게 드러날 것입니다.
Je me rappelle encore de cette impression
saisissante (toute subjective certes), comme
si je quittais des steppes arides et revchˆes,
pour me retrouver soudain dans une sorte
de “pays promis” aux richesses luxuriantes,
se multipliant `a l’infini partout o`u il plait `a
la main de se poser, pour cueillir ou pour
fouiller.6
대부분의 수학자는 실용적인 자세를 취하며, “수
학 세계”의 존재성에 대해서는 아무런 의구심을 제기
하고 싶어 하지 않고, 자신들은 그 세계의 구조를 직관
과 훌륭한 이성적 사고의 혼합으로 밝혀내는 탐험가
들이라고 생각합니다. 전자의 믿음은 “시적 열망”(프
랑스 시인 폴 발레리Paul Valery가 강조했듯)과 다르지
않으며, 반면 후자는 엄청나게 집중하는 기간이 필요
합니다.
각 세대는 이 세계에 대한 자신들만의 이해를 반영
하는 마음의 그림을 그립니다. 그들은 세상을 더더욱
깊게 파고드는 지성의 도구들을 만들어서, 이전에는
감추어져 있던 지형을 탐험할 수 있게 합니다.
이전 세대의 수학자들로부터 발전해 온 지도에
서는 서로 멀리 떨어진 수학 세계의 두 지역 사이에
예상치 못한 다리가 발견된다면 상황이 매우 흥미로워
집니다. 이런 일이 일어나면 아름다운 풍경 일부분을
가리고 있던 안개가 갑작스러운 돌풍으로 확 걷혀버
리는 느낌을 받을 것입니다. 나의 연구에서 이런 식
의 큰 놀라움은 대부분 물리학과의 상호작용으로부터
나왔습니다. 물리학에서 자연스럽게 등장하는 수학적
개념들은 보통 아다마르Hadamard 가 지적했듯 아주 근
본적인 경우가 많습니다. 그에게 있어 그런 개념들은
수학자를 자신이 고안한 도구에만 전념하
도록 너무나 자주 영향을 주는 짧은 한순간
6번역: “여전히 이 강렬한 인상을(물론 완전히 주관적인) 기억한다.
나는 마치 메마르고 음침한 광활한 초원을 떠나, 갑자기 풍요롭고
비옥한 일종의 ‘약속된 땅’ 위에 있는 것 같았다. 어느 곳에나 손을
뻗어 얻고 싶고, 탐구하고 싶은 것들이 무한히 펼쳐져 있었다.”
의 새로움이 아니라, 사물들의 자연에서 나
타나는 무한히 창조적인 새로움이다.
나는 이 글을 조금 더 “현실적인” 조언으로 마치
려고 합니다. 그러나 각각의 수학자는 모두 “특별하며”
이 조언을 너무 심각하게 받아들이지 말아야 한다는
것을 명심하세요.
걷기. (보통 계산들이 연관된) 매우 복잡한 문제와 씨
름할 때, 한 가지 매우 건전한 운동은 (종이나 연필
없이) 오랫동안 걸으면서, 당신이 처음에 느낄 “그런
식으로 풀기에는 너무 복잡한 문제다”라는 생각을 무
시하고 머릿속으로 계산을 해보는 것입니다. 비록 성
공하지 못하더라도, 이것은 생생한 기억력을 갖도록
훈련하고 당신의 기술을 날카롭게 해줄 것입니다.
눕기. 수학자들은 보통 어둠 속에서 소파 위에 누워
있는 것이 그들이 가장 집중적으로 연구하는 시간임을
자신들의 배우자에게 설명하는데 어려움을 겪습니다.
불행히도, 최근에는 이메일과 컴퓨터 화면들의 침범
으로 혼자 고립되어 집중할 기회가 점점 드물어지고
있기 때문에, 이러한 시간은 한층 더 가치가 있습니다.
용감해지기. 새로운 수학의 발견을 이끄는 과정에는
몇 가지 단계들이 있습니다. 검토하는 단계는 두렵지
만 오직 이성과 집중만이 요구되는 반면, 이보다 더
창조적인 가장 첫 단계는 완전히 다른 성질의 것입니
다. 어떤 의미로는 이 단계에서 당신은 자신의 무지를
변론하는 것이 필요합니다. 왜냐하면, 그것은 이미
다른 수많은 수학자가 실패한 문제를 쳐다보지 말아야
하는, 언제나 들 수 있는 수백만 가지의 이유로부터도
역시 당신을 보호할 것이기 때문입니다.
좌절. 매우 초기 단계까지 포함하여 연구 인생을 통
틀어, 수학자들은 경쟁자들이 먼저 인쇄한 결과들을
보고 혼란스러움을 느낍니다. 내가 할 수 있는 유일
한 제안은 이런 좌절의 감정을 변환시켜 더 열심히
연구하는 데 긍정적인 에너지로 주입하라는 것입니다.
그러나 이것은 절대 쉽지 않습니다.
마지못한 칭찬. 내 동료 중 하나는 언젠가 이렇게 말했
습니다. “우리는 [수학자들은] 주변 소수의 친구들의
마지못한 칭찬을 위해 연구를 한다.” 연구의 본질은
사실상 고독에 가까우므로 우리가 어떤 방법으로든
절실하게 인정을 원한다는 것은 사실이지만, 솔직히
터놓고 말해 아무것도 기대하지 마십시오. 사실, 진짜
판단은 오직 자신에게 달렸습니다. 다른 누구도 어떤
연구들이 연관되어 있는지 알기 위한 좋은 위치에 있
지 않으며, 다른 사람들의 의견에 너무 많은 신경을
쓰는 것은 시간 낭비입니다. 여태까지는 어떤 정리도
투표 결과로 증명되지 않았습니다. 파인만Feynman 이
말했죠. “당신은 왜 다른 사람들의 생각에 신경 쓰는
가?”

4 두사 맥더프7 (Dusa McDuff)
나는 동시대 대부분의 사람과는 매우 다른 환경에서
성인의 삶을 시작했습니다. 언제나 독립적인 성격의
직업을 가지고 싶다는 생각을 했었고, 가족들과 학교
로부터 수학을 하도록 큰 격려 또한 받았습니다. 내가
다녔던 여자 학교에는 유클리드 기하학과 미적분학의
아름다움을 일깨워 주었던 흔치 않은 훌륭한 수학 선
생님이 있었습니다. 대조적으로 나는 과학 선생님들
을 별로 존경하지 않았었는데, 대학교 교수님들 역시
그다지 나을 것이 없었기 때문에 정말로 물리를 거의
배우지 않았습니다.
이런 제한된 환경은 수학 연구자가 될 의욕을 아
주 성공적으로 채워주었습니다. 어떤 면에서 나는 대
단한 자신감을 가졌지만, 다른 면에서는 내가 아주 부
족하다고 느끼기 시작했습니다. 한 가지 근본적인 문
제는, 여자는 직업적 삶에 관해서는 이류이며 따라서
무시당해야만 한다는 메시지를 내가 다소간 받아들였
다는 것입니다. 나에게는 여자인 친구들이 없었으며,
(여자로서) 지루하고 무미건조하며 (남자로서) 진정
창의적이지는 않다고 생각하며 자신의 지적 능력을
제대로 평가하지 않았습니다. 이런 의미를 전달하는
많은 방법이 있었습니다. 남자들이 세상으로 나가는
동안 여자들은 집에서 불을 때워야 한다, 여자들은
시를 쓰는 시인이 아니라 영감을 주는 뮤즈가 되어야
한다, 여자들은 수학자가 되기 위한 진실한 영혼이 없
다, 등등. 그리고 이것을 말하는 많은 방법이 여전히
(6자 주: 영국의 여성 수학자이며, 심플렉틱 기하학symplectic
geometry과 위상수학의 발전에 기여했다. 최초의 새터 상Satter
prize(2년마다 뛰어난 여성 수학자에게 수여된다) 수상자이다.
1962년에 필즈 상을 받은 존 밀너John Milnor의 부인이기도 하다.)
습니다. 최근 나의 페미니스트 친구들 사이에서 재
미있는 편지가 돌고 있는데, 다른 과학 분야의 가장
가치 있는 무엇에 대해서라도 여자들이 무능한 존재로
인식되는 메시지를 담고 있는, 다양한 공통되고 모순
적인 편견들이 나열되어 있었습니다.
조금 뒤에 명확해진 다른 하나의 문제점은 내가
아주 적은 수학만을 배웠으면서도 그럭저럭 성공적인
박사학위 논문을 써냈다는 것입니다. 내 논문은 폰
노이만 대수von Neumann algebra에 대한 것이었고, 너무
특화된 주제여서 이후 나에게 실제로 의미가 있는 어떤
것과도 연관되지 않았습니다. 그 분야에서 더 이상 나
아갈 길을 찾지 못했고, 그럼에도 거의 아무것도 알지
못했습니다. 졸업의 마지막 해에 모스크바에 도착했
을 때, 겔판트Gel’fand는 다양체 상 벡터 장의 리 대수의
코호몰로지the cohomology of the Lie algebra of vector field on a
manifold와 관련된 논문을 읽어보라며 던져주었고, 나는
그 때 코호몰로지가 뭔지, 다양체가 뭔지, 벡터 장이
뭔지, 그리고 리 대수가 뭔지 전혀 몰랐습니다.
이런 무식함이 심각하게 전문화된 교육 체계에 어
느 정도 책임이 있다고 할지라도, 내가 수학의 더 넓은
세계와 접촉하고 있지 않았다는 것에서 비롯되었음
또한 사실입니다. 나는 본질적으로 두 개의 분리된
삶을 이끎으로써, 여성이자 동시에 수학자로서 어떻
게 공존할 수 있는지의 문제를 해결했습니다. 내 소
외감은 모스크바에서 되돌아오자 더 심각해졌습니다.
분야를 함수 해석학에서 위상수학으로 바꾸면서 거의
지도를 받지 못했고, 많은 질문을 함으로써 무식하게
보일까 봐 겁이 났습니다. 게다가 박사과정 후 연구자
신분post-doc일 때 아이를 가졌는데, 그러므로 현실적
인 문제들과 대처하는 것만으로도 너무 바빴습니다.
이 시기에 나는 수학을 하는 과정을 전혀 이해하지
못하면서 수학의 대부분을 글로만 배웠으며, 순진한
아이디어를 가지고 스스로 자신에게 질문을 던져보고
시험해보는 것이 필수적인 역할을 한다는 것을 깨닫지
못했습니다. 나는 또한 어떻게 경력을 쌓는지 알지
못했습니다. 좋은 일은 거저 일어나지 않습니다. 연구
장학금fellowship 과 일자리를 지원해야 하고 흥미로운
학회들에 계속 관심을 가져야 합니다. 그 모든 어려
움에 대처하는 더 나은 방법들을 제시해 줄 멘토가
있었더라면 분명 큰 도움이 되었을 것입니다.
아마 나에게 가장 필요했었던 것은 좋은 질문을
어떻게 던지는지 배우는 것이었습니다. 학생의 신분
에서는 다른 사람들로부터 제기된 질문에 대답할 수
있도록 충분히 공부하는 것뿐 아니라, 흥미로운 어딘
가로 대화를 이끌 수 있는 질문을 구성하는 능력을 배
우는 것도 중요합니다. 새로운 것을 배울 때면, 나는
보통 다른 누군가가 이미 발전시켜 놓은 복잡한 이론
들을 사용하는 중간부터 시작하곤 했습니다. 그러나
흔히 사람들은 가장 단순한 질문들과 예제들로부터
탐구를 시작합니다. 그것이 아마 근본적인 문제를 이
해하고 새로운 방법을 찾는데 더욱 쉽기 때문입니다.
예를 들어, 나는 심플렉틱 기하학symplectic geometry에서
공ball이 심플렉틱하게 조작될 수 있는 방법에 제약을
주는 그로모프의 비압축Gromov’s nonsequeezing 정리를 언
제나 즐겨 사용합니다. 가장 기본적이고 기하학적인
이 결과는 웬일인지 나에게 큰 감명을 주었고, 탐구를
시작하는 단단한 기반을 형성해 주었습니다.
오늘날 사람들은 수학이 공동 노력의 결과물이라
는 것을 더욱 잘 알고 있습니다. 심지어 가장 찬란한
아이디어도 전체와의 관계에서 그 의미를 찾을 수 있
습니다. 당신이 그 전체적인 맥락을 이해하고 있다
면 종종 혼자서 작업하는 것은 매우 중요하고 가치가
있습니다. 그러나 그것을 아직 배우는 동안에는 다른
사람들과 교류하는 것이 필수적입니다.
그런 의사소통을 촉진하기 위해 건물 구조를 바
꾸거나, 컨퍼런스나 미팅, 학과 단위 프로그램을 계획
하고 또한 형식적이지 않은 세미나와 강연들을 여는
등 성공적인 시도들이 있었습니다. 고령의 수학자가
졸거나 지루해하지 않고 그곳에 있는 모두를 위해서,
내용을 명확하게 하고 토론을 전개하는 질문을 했을
때 세미나의 분위기가 어떻게 바뀌는지 보면 놀라울
정도입니다. 흔히 사람들은(젊거나 늙거나 둘 다) 그
들의 무지, 상상력의 부족, 혹은 다른 치명적 결함을
드러낼까 두려워서 침묵하게 됩니다. 그러나 수학과
같이 어렵고 아름다운 학문 앞에서, 우리는 모두 다른
이들로부터 배울 것이 있습니다. 이제 특정 이론의
세부 사항 뿐 아니라, 새로운 방향과 질문의 형성을
이루는 토론을 손쉽게 할 수 있도록 구성된 많은 소규
모의 훌륭한 학회들과 워크샵들이 있습니다.
수학은 본질적으로 여성적이지 않다는 생각은 거
의 없어졌지만, 그래도 어떻게 동시에 여자와 수학자
가 공존할 수 있는가는 여전히 고민해 보아야 합니다.
나는 여자들이 우리가 할 수 있는 것만큼 세상에 완전
히 알려졌다고 생각하지는 않습니다만, 이제는 그저
예외로 일축되지는 않을 만큼 충분한 여성 수학자들
이 있습니다. 주로 여성만을 위해 기획된 미팅들에서
나는 예상치 못한 가치를 찾곤 합니다. 수학을 토론
하는 여자들로 강의실이 가득할 때 그 분위기는 사뭇
다릅니다. 더 나아가, 점점 잘 이해되듯 진짜 문제는
어떻게 젊은 누구라도 만족스러운 개인의 삶을 영위
하면서 여전히 창의적인 수학자가 될 수 있는가 하는
것입니다. 사람들이 이 문제를 진지하게 다루기 시작
하면, 우리는 진정으로 더 발전할 수 있을 것입니다.

 

 

5 피터 사낙 (Peter Sarnak)
나는 수 년에 걸쳐 상당히 많은 박사 과정 학생들을
지도해 보았고, 아마 그것이 경험 많은 멘토로서 이
글을 쓸 자격을 부여할 것입니다. 매우 총명한 학생을
지도하는 것은(그리고 난 다행히 그런 기회를 공평
하게 분배받았습니다) 단지 몇 개의 모호한 의견들만
제시하면서 그에게 어떤 대략적인 영역의 금을 캐내
라고 말하는 것과 비슷합니다. 자신의 기술과 재능을
가지고 작업에 착수하면 그들은 대신 다이아몬드를
캐냅니다(그리고 물론, 사후에 “내가 그렇게 말했잖
니”라고 하는 유혹을 이겨내진 못합니다). 이런 상황
에서 그리고 대부분의 다른 경우들도 마찬가지지만,
선배 멘토의 역할은 코치에 가깝습니다. 격려해주고,
멘티가 흥미로운 문제를 고민하고 있는지 혹은 사용
가능한 기본적인 도구들을 알고 있는지 확인하는 것
말입니다. 여러 해 동안 나는 유용한 것으로 밝혀진
어떤 의견들과 조언들을 반복해 왔다는 것을 깨달았
습니다. 여기에 그들 중 몇 가지의 목록이 있습니다.
(i) 수학의 어떤 한 분야를 공부할 때, 당신은 현대
적인 접근 방식과 더불어 특히 그 분야의 대가들의
논문과 같은 최초의 고전적인 문헌을 결합해서 읽어야
한다. 특정 주제에서 최근의 사고방식이 지니는 하
(7자 주: 남아프리카 공화국에서 태어난 미국의 수학자이며, 정수
론 및 그것과 연관된 해석학의 발전에 공헌했다. 정수론의 심오한
이론으로부터 조합론, 수리 물리학 등 다른 여러 분야에서 중요한
결과를 얻기도 했다. 2014년에 울프상을 받았다.)
나의 문제점은, 그들이 지나치게 매끄럽다는 것이다.
각각의 새로운 저자들이 한 이론의 더욱 똑똑한 증명
이나 접근법을 발견하면서, 통용되는 방식은 “더 짧은
증명”을 가지는 쪽으로 진화한다. 불행하게도 그것들
은 보통 초짜 학생들을 심사숙고하게 만드는 형태로
나타난다. 대개 “어떻게 이런 걸 생각했지?”라며 근원
이 되는 출처로 돌아감으로써 당신은 그 주제가 아주
자연스럽게 발전했고, 어떻게 지금의 현대적인 형식에
도달했는가를 이해할 수 있을 것이다. (발명가의 천재
성에 경이로워하는 것 외에 별다른 도리가 없는, 전혀
예상할 수 없이 뛰어난 단계들이 여전히 남아있기는
하지만 당신 생각보다 그런 것들은 훨씬 적다.) 한
예로, 나는 때때로 학생들에게 많은 현대적인 묘사와
더불어 바일Weyl의 콤팩트 리 군compact Lie group의 표현
이론representation theory과그의지표공식character formula
유도에 관한 원래 논문을 읽어보도록 권장한다. 이와
비슷하게, 복소 해석학을 아는 상태에서 수학의 많은
분야에서 핵심적인 리만 곡면Riemann surface의 현대적
이론을 배우려는 사람에게는 그의 책 The Concept
of a Riemann Surface를 권한다. 바일과 같은 최고
수학자의 작업 모음집을 공부하는 것 역시 교육적이다.
그들의 정리를 배우면서 당신은 그런 대가들이 어떤
식으로 사고했는지 밝혀낼 것이다. 거의 언제나 한
논문에서 다음 논문으로 넘어갈 때 자연스러운 생각의
흐름이 있으며, 어떤 발전은 오히려 불가피한 것으로
인정하지 않을 수 없다. 이런 깨달음은 매우 큰 영감을
줄 것이다.
(ii) 다른 한편, 심지어 그것들이 뛰어난 사람들로부
터 만들어졌더라도 당신은 신념이나 “표준 가설”에
대해 의문을 던져야 한다. 많은 표준 가설들은 누군가
이해한 특별한 경우에 기반을 두고 만들어졌다. 더
나아가, 그것들은 가끔 희망 사항에 지나지 않는다.
특별한 경우가 제시하는 전망과 전체적인 그림이 크
게 다르지 않기를 바라는 것이다. 나는 일반적으로
받아들여지는 결과를 증명하려 시도했으나, 과연 정말
그것이 사실인지 심각하게 의문을 제기하기 전까지
전혀 진전하지 못했던 상당한 연구자들을 알고 있다.
이렇게 말하긴 했지만, 나 역시 리만 가설과 같은 몇몇
특별한 가설이나 그것의 증명 가능성에 대해 누군가
딱히 마땅한 이유 없이 회의감을 내비친다면 짜증을 낼
것이다. 한 명의 과학자로서 (특히 수학자들이 발명한
인공적인 대상들에 대해서) 확실히 비판적인 태도를
보임과 동시에, 우리의 수학적 세계와 무엇이 진실이
고 무엇이 증명 가능한지 확고한 믿음을 갖는 것 역시
정서적으로 중요하다.
(iii) “초등적인 것”과 “쉬운 것”을 혼동하지 마라.
어떤 증명은 단연코 쉽지 않으면서 초등적일 수 있다.
실제로 수많은 정리의 예에서, 약간의 수준 높은 이론
이 증명을 더 이해하기 쉽게 만들고 숨겨진 아이디어
가 뭔지 드러내 주는 반면, 세련된 용어들을 사용하지
않고 초등적인 방법만을 고수하는 것은 도대체 무엇을
하려는지 알기 힘들게 한다. 이와 함께, 어려운 수학
을 사용하는 것을 결과의 질이나 “주장의 살집beef of an
argument”(이런 상황에서 내가 명백히 즐겨 사용하는
이 표현 덕분에, 나는 많은 학생들의 놀림을 받았다)과
동일시하는 것을 주의하라. 몇몇 젊은 수학자들 사이
에서는 고급스럽고 세련된 언어를 사용하는 것이 자신
들의 연구가 깊이 있음을 나타낸다고 생각하는 경향이
있다. 어쨌거나, 현대적인 도구들은 그들이 정확히
이해되고 새로운 아이디어와 결합하게 되면 정말 강
력해진다. 특정 분야(예를 들면 정수론)에서 연구하는
사람들이 그런 도구를 배우는데 상당한 시간과 노력을
들이지 않는다면, 그들은 자신들을 불리한 입장으로
몰아넣는 것이다. 이는 단지 조각칼만을 가지고 빌
딩을 파괴하려는 것과 같다. 심지어 당신이 조각칼을
사용하는데 매우 숙련되어 있더라도, 불도저를 타고
있는 사람은 훨씬 더 유리하며 당신만큼 기술이 좋을
필요도 없을 것이다.
(iv) 수학 연구를 하는 것은 대체로 절망적이며, 절
망에 빠지는 것에 당신이 익숙해질 수 없다면 수학은
당신의 이상적인 직업이 아닐 것이다. 수학자들은 대
부분의 시간 동안 곤경에 빠져 있으며, 만약 그렇지 않
다면 당신은 예외적으로 천재이거나 혹은 당신이 시작
하기도 전에 어떻게 푸는지 알고 있던 문제를 다루고
있는 것이다. 후자와 같은 연구들이 어느 정도 남아
있기는 하고 어쩌면 양질의 결과가 나올 수도 있지만,
대부분의 엄청나게 획기적인 발전은 셀 수 없을 만큼
틀린 단계들과 오랫동안의 미약한 전진, 아니 어쩌면
후퇴로 이루어진 힘든 과정을 통해 얻은 것이다. 수학
의 이런 측면을 덜 고통스럽게 만들어주는 여러 방법이
있다. 오늘날 많은 수학자는 공동으로 연구하며, 이는
문제를 다루는 서로 다른 전문 기술들을 활용할 수 있
다는 당연한 장점이 있을 뿐 아니라, 절망을 함께 나눌
수 있도록 해준다. 대부분의 사람에게 이 효과는 매우
긍정적이다(그리고 수학에서는 절망과 대응하는, 비약
적인 발전을 이루는 데서 오는 기쁨과 명성이 아직은
최소한 다른 과학 분야에서 벌어지는 것처럼 수많은
큰 싸움을 일으키지는 않았다). 나는 보통 학생들에게
매 순간 난이도가 다양한 범위에 있는 문제들을 손에
쥐고 있으라고 조언한다. 그렇지만 그중 가장 해볼 만
한 것은 적어도 풀었을 때 만족감을 줄 수 있을 정도로
는 어려워야 하며(그런 만족이 없다면, 무슨