일단 글을 시작하기 전에 나는 고딩 평균수준의 수학지식을 갖춘 수학초보임을 밝힘
지금 내가 올해로 24살이니까 당연히 지금 배운건 아니고 고1 이후로 수학공부해본적 없는데
갑자기 피시방오다가 생각나서 피시방에서 적는거임
예전에 0.99999~ 가 1 이랑 같다는걸 증명하는 방식이 하나 있더라고
0.99999~ 를 10배해서 9.9999~ 로 만들고 0.99999 를 빼서 9 가 나오면 9 로 나누면 1 이 된다 이런거였어
근데 여기에 큰 오류가 있는것같음
0.99999~ 식으로 무한히 계속된다는건 9 가 무한히 계속되는 '흐름' 이잖아?
근데 이 '흐름' 의 스타트라인이 다르다는거야
그러니까 0.99999~ 의 10배는 9.9999~ 지 9.99999~ 가 아니라는거지
9.99999~ 에서 0.99999~ 를 빼면 9 가 되고 이걸 9 로 나누면 1 인건 사실이지만
실제로 10배는 9.99999~ 가 아니라 9.9999~ 기 때문에 0.99999~ 를 빼도 정확히 9 가 나오지 않음
(부연설명 - 빗금치면서 한줄씩 계속 소거해도 끝에 뭔가가 남음 0.99999~ 의 끝이 남는것과 같음)
여전히 보이지 않는 작은 차이가 남아 있다는거야
근데 이런 문제점에도 불구하고 이런식의 증명방법이 인정받는 이유가 있음
바로 표기상의 잘못 때문임 0.99999~ 랑 0.9999~ 를 똑같이 0.9 위에 9 에다가 점찍은걸로 표기해 버리잖아?
확실히 0.99999~ 랑 0.9999~ 는 아주 미세한 차이가 있고 다른건데도 말야
9.9999~ 를 9.9 의 뒷 9 에 점찍은걸로 표기하고 0.99999~ 를 0.9 의 9 에 점찍은걸로 표기하니까
이러한 표기법대로라면 0.99999~ 가 1 이 되어버리는거지
그럼 0.99999~ 랑 1 이 같다고 증명하는게 잘못되었다는걸 밝혔으니 두개가 다르다는걸 증명해볼게
그건 0.99999~ 의 흐름에 다른 흐름을 하나 더 합쳐버리면 돼
그러니까 0.99999~ 의 흐름이 0.9 에서 시작됬을때는 0.9 한개
흐름이 0.99 까지 갔을때는 0.99 를 10번 더해
흐름이 0.999 까지 갔을때는 0.999 를 100번 더해
흐름이 0.9999 까지 갔을때는 0.9999 를 1000번 더해
이와 같이 흐름이 한자리수씩 뒤로 갈때마다 그 흐름에 맞춰서 10배씩 이 숫자를 더해주면 돼
흐름이 0.99999~ 로 무한히 진행되도 이걸 더하는 횟수를 10배씩 계속 늘려나가는걸 덮어씌우는거야
이 방식대로면 0.99999~ 가 무한히 계속되도 1 과의 격차는 항상 0.1 로 일정하게 된다
0.9 랑 1 은 0.1 차이 10배인 9.9 랑 10도 0.1 차이 100배인 99.9 랑 100도 0.1 차이
더하는 횟수를 같은 방식대로 오버랩함으로써 항상 0.1 의 차이가 있다는걸 발견할수 있지
그럼 결국 더하는 횟수만 달리하면 0.99999~ 와 1 은 다르다는 셈이 되는거니까
기존의 증명방식은 잘못됬고 내 증명방식대로 0.99999~ 와 1 은 다르다는게 되는거야
물론 표기법상 똑같이 표기하는 0.99999~ 와 0.9999~ 도 다르고 말야
이거 외에도 표기법상 문제있는거 여러가지 발견한적 있는데
그중에 하나 생각나는게 lim 리미트라고 하는 기호를 쓰긴 쓰던데
두번 연속해서 쓰는걸 금지하더라? 뭔소리냐면
극한을 한번 씌우는 경우가 대부분이겠지만 두번 씌우는것도 가능하단 말임
1 에 n 만큼 씌우면 n 이 극한이 되는식일건데 여기에 또 n 에 n 만큼 씌우면 n 에 제곱만큼 극한이잖아?
근데 고등학교 수학만 이런지는 모르겠는데 '굳이' 리미트는 한번만 씌우더라고?
극한 씌운거에 극한 한번더 씌우는게 가능하다면 이걸 식으로 표현할수도 있어야지
왜 리미트 한번 씌워서 n 이 흐름이 되버리면 n 의 흐름에 대한 n 의 흐름인 n 제곱의 흐름은 못만들게 하는거냐?
뭐 0.99999~ 랑 0.9999~ 랑 똑같이 표기하고 똑같이 취급하는정도로 심각한 문제는 아니지만...
여튼 오늘 글은 여기까지 쓰고 혹시 반박해줄사람 있으면 내가 알아듣게 반박해줘
어려운 용어나 기호 전혀 모름... 내가 글쓴 수준대로 반박해줬음 좋겠다
[개소리 댓글이 많아서 추가로 내용 간단 정리]
0.9 에 점찍은게 다 같은걸로 취급되는데 이런 표현법과 상식이 옳지 않다는거임
'흐름' 에 자꾸 태클을 거는데 이게 가장 가까운 표현임
0.9~ 와 0.99~ 와 0.999~ 와 0.9999~ 계속되는 이 ~ 들은 모두 0.9 에 점찍은걸로 표현되지만
위의 글에 0.99999~ 와 1 의 차이를 더하는 횟수를 통해 0.1 로 고정시켜서 차이를 드러내는것과 같이
0.9~ 0.99~ 0.999~ 0.9999~ 도 같은 방식으로 각자 차이가 있다는걸 드러낼 수 있음
(서로 빼면 모든 경우에 미세한 수가 남는데 이 흐름에 알맞게 더하는 횟수를 증가시키면 고정적인 수가 남음)
그러니까 왜 서로 다른 흐름들을 같다고 취급하냐는거지
이 내용을 보고도 흐름이 기존에 약속된게 아니라고 태클걸놈은 걍 댓글달지마라 짜증난다
기존에 문제시되지 않았고 약속된게 없으니 흐름이란 표현을 빌리는건데 왜 표현방식에 태클이지 자꾸
그럼 니들은 ~ 를 뭐라고 표현할건데? 기존에 다 같다고 여겨지던게 다 같은게 아닌거잖아?
[애들이 아직도 이해 못해서 쓰는 내용 더 추가]
간단하게 0.99~ 와 0.9~ 의 차이를 예로 들어보겠음
각자 첫 흐름에서 0.99 와 0.9 는 0.09 만큼의 차이가 존재함
두번째 흐름에서 0.999 에서 0.99 를 뺀 것을 10번 더하면 0.09 만큼의 차이가 존재함
세번째 흐름에서 0.9999 에서 0.999 를 뺀 것을 100번 더하면 0.09 만큼의 차이가 존재함
네번째 흐름에서 0.99999 에서 0.9999 를 뺀 것을 1000번 더하면 0.09 만큼의 차이가 존재함
기존의 극한 개념에서는 0.9~ 0.99~ 는 같은 것이고 차이가 없다고 다루고 있지만
차이가 줄어드는 흐름에 더 많이 더하는 흐름을 결합하면 이 '차이' 는 사라지지 않음
명백한 차이가 존재한다는건 이렇게 증명할수 있음
이와 마찬가지로 0.9~ 0.99~ 0.999~ 0.9999~ 는 다 똑같이 표기되고 같다고 여겨지지만 실은 다 미세하게 다름
[내용 또 추가]
실제로 두 수가 같다고 가정하면 어떤 형태로건 차이가 드러나지 않아야함
그런데 위에 적힌 0.9~ 0.99~ 0.999~ 0.9999~ 들은 내가 고안한 방식대로 서로 차이가 드러남
1과 1 2와 2 3 과 3 은 같은 수이므로 두 수에 같게만 한다면 뭔 짓을해도 차이가 드러나지 않는데
위 방식대로 흐름에 맞춰서 속도에 알맞게 다른 흐름을 추가하면 항상 고정적인 차이가 드러나게됨
차이가 존재한다 = 같은 수가 아니다 라는 결론임 아무리 0.9~~~~~~~ 가 진행되도 10배씩 더하는 흐름과 결합되면 차이는 일정함
[링크추가]
3분에 1 = 0.33333... 이라는 표현도 잘못됬음 3분에 1 은 0.3333... 와 같은 방식으로 표현할수 없다가 맞는거임
관련 반박글 누가 올렸길래 링크로 올림 http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167331&page=1
내가 쓴 이 글의 방식대로 1과 0.9999... 는 다르다는 결론이 나오고
그걸 양변을 3 으로 나누면 3분에 1 은 0.33333... 과 다르다는 결론을 도출해낼 수 있음
이런식의 반박은 좋음 추가적인 반박 환영함
[공식 추가]
10^n-0.999...(9가 n개)x10^n=0.1 라고 표현할수 있다고 하던데
해당 식에서 n 에 극한을 취하더라도 0.1 이라는 차잇값은 영원히 존재하게됨
그러니까 곧 차잇값은 없어지지 않는다는거야 0.9999... 가 아무리 끝까지 가도 1 과의 격차는 여전히 존재한다는거지
근데 0.9999 랑 위의 식에서 n 에 극한 씌운거랑 같은건지 다른건지 모르겠어서 일단 여기까지씀
[사람들 말 듣고 글 새롭게 정리해서 추가]
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167379
사람들 말 듣고 정리해서 글 새롭게 올림 링크올림
[결론]
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167395
누가 관련글 링크 걸어줘서 안건데 내가 얘기한 내용이 이미 1960년도에 초실수로 다뤄짐
표기네 뭐네 한새끼들은 반성하도록 궁금증 풀림 ㅅㄱㅇ
[마지막]
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167399&page=1
이걸 남기고 사라집니다.
여러분 입장에서 저는 그저 분탕 어그로일 뿐이라는걸 반복적으로 말씀해주셔서 잘 알겠으니까요.
여러분들끼리 TOP 수학자들 매기면서 재밌게들 노세요. 여기가 어떤 갤러리인지 잘 느끼고 갑니다.
그냥 \'흐름\'에서 내렸다
이거 다 쉰 떡밥인데... 다른 참신한 떡밥 가져와봐!
표기방법을 포함한 기존에 약속된 것이 잘못되었고 스타트 라인이 다른 '흐름' 마다 다르게 봐야한다고 주장하는 글인데 대체 '흐름' 에서부터 잘못됬고 '흐름' 부터 내렸다는 애들은 뭐야? 글 자체가 기존에 약속된 상식이 잘못되었으니 다른 관점에서 봐야한다고 하면서 '흐름' 을 언급한건데 당연히 '흐름' 은 기존에 약속된 상식이랑 다르지 근데 니들은 '흐름' 이라는 표현을 보고 기존 상식과 다르니까 아 이건 개소리네 하는식으로 말하는건데 원래 약속된게 옳고 '흐름' 은 원래 약속된게 아니니까 틀렸다 이러면 걍 내가 할말이 없어지네 ㅎㅎ 고작 디시갤러리에 기대하고 온 내가 잘못이다
기존에 약속된 표기 방법과 약속된 상식이 잘못된거라고 주장하고 있는거잖아 0.99999~ 를 10배한 9.9999~ 와 9.99999~ 는 다른거라고 언급하면서 그걸 '흐름'이라고 표현한건데 애초에 '흐름' 이라는 표현이 기존에 약속된 상식과 표현 방법과 맞아떨어진다면 오히려 그쪽이 글 자체가 성립이 안되는데? 반박하는 글을 가지고 반박을 하면서 원래 글의 주장과 일치하지 않기때문에 반박이 아니다 이게 말이야 방구야? 그럼 무리수는 정수가 아니기 때문에 수가 아니냐? 기존의 정수의 관점에 일치하지 않으니까? 당시 수학자 : 정수가 아닌 수가 있다는 말 자체가 잘못됐으니 그 아래는... 그냥 정수가 아닌 수가 있다는 말에서 내렸다... 정수관련 떡밥은 다 쉰 떡밥이니까 다른거 가져와! 하는거랑 뭐가다름?
어떻게 된게 멀쩡한 반박이 하나도 없냐? 내가 지금 '흐름' 이라는 표현이 기존에 약속된거라고 얘기했냐? 기존에 약속된게 잘못됬다고 하면서 '흐름' 이라고 표현한거잖아 그 논리적 구조에 대해서 태클을 걸어야지 원래 약속된걸 반박하는 글에 약속된거랑 다르니 넌 틀림 이건 대체 뭔 개소리냐 그래서 니들도 0.99999~ 의 흐름을 10배한 9.9999~ 의 흐름과 9.99999~ 의 흐름이 같다고 주장하는거냐? 엄연히 아주 미세한 차이가 존재하는 다른 흐름들인데 현재 수학에서는 9.9999~ 와 9.99999~ 를 똑같이 표기하잖아 이게 뭔소린지 이해가 안가? 조금만 생각해봐도 이상한건 알텐데 왜 반박이 하나도 없지
아니 병신아 기존에 약속된게 아니면 니가 올바르게 정의라도 내리던가, 아무 정의도없이 니 주관적인 잣대만으로 용어 쳐 만들어서 쓰면 그게 수학인줄 아냐?
ㅁㄴㅇㄹ // 기존에 약속된 관점의 허점을 지적하는 글이잖아? 수학의 모든 발전이 정의내리기에 앞서 문제점을 지적하는데서 이루어졌는데 넌 수학 자체를 부정하는 인간이냐? 문제점을 지적하기 전에 먼저 정의를 내린 경우가 손으로 꼽을정도로 드문 케이스고 처음에는 다 나처럼 기존 관점의 잘못된 점을 지적하는 글로 시작하는데 그럼 뉴턴이 미적분에 대한 정리가 확실히 이루어지기 전에 지 주관적인 잣대만으로 미적분에 대한 내용을 제시한것도 같은 관점에서 비판할수 있겠다? 내가 이 문제점 하나 지적하려고 이 관련된 '정의' 까지 세워야 한다고? 난 단순히 기존에 약속된게 잘못된 허점을 지적한건데?
어떻게 된게 흐름이란 표현을 빌려서 똑같이 표기되는 두개의 수가 실은 아주 미세한 차이가 있다는걸 주장하는 글에 대한 제대로된 답변은 하나도 없고 기존 상식과 달라서 틀렸고 그래서 내렸다 그럴거면 니가 정의를 세우던가 하는 핀트 어긋나는 댓글들만 줄줄히 달리냐... 그럼 니들은 작은 비리 하나를 바로잡기 위해서 니들이 대통령이 되야함? 기존 약속된 부분에 잘못된게 분명 존재하잖아? 근데 나는 이게 잘못된게 아닐수도 있다고 생각해서 그 부분을 반박할사람을 찾기위해 글을 작성한거고
ㅋㅋㅋㅋㅋ 뭐 뉴턴이 지 좇대로 미적분 내용을 제시했다고? 니 새낀 유클리드 원론부터 보고오는게 어떠냐?
ㅁㄴㅇㄹ // '미적분에 대한 정리가 확실히 이루어지기 전에' 는 어디다 팔아먹었냐? 현재 사용되는 여러가지 기호들이나 공식들이 나오기 전에 수학적 정의 대신 글을 빌려서 표현한 적이 있는걸 얘기한건데? 그리고 애초에 뉴턴얘기는 예시중에 하나일 뿐이지 글의 본문이 아니잖아? 원래 반박해야할 부분을 반박해야지 예시든거 하나 애매하게 건드리면 내 글에 대한 반박이 됨?
역시 제대로 이해한 사람이나 반박하는 사람은 하나도 없고 이번엔 유클리드 원론이나 보고오라고 하네 ㅋㅋ 얼마나 더 개소리댓글 달리는지 한번 보자 이제 제대로된 이해나 반박을 찾는건 포기함 댓글만 봐도 여기 수준을 알겠다 걍 적당히 놀다가야지
다시 정리하면 0.9 에 9 에 점찍은걸로 똑같이 표기되는 0.9~ 0.99~ 0.999~ 0.9999~ 이후 계속되는 0.99999~ 들은 서로 각자 다 미세하게 다 다르다는거야 0.99999~ 와 1 의 차이를 0.1 로 고정되게 드러내듯이 이 숫자들간의 차이도 드러낼 수 있음 서로 다 다름 근데 똑같이 표기되고 여겨지지
나두 증명했음 님하곤 다른방식임 공책에 샤프로 0.9999999999999999999999•••••••••••••••와 1 을적고 뚫어지게 쳐다보니 \'모양이\'다르다 라는겨론을 얻음 님은 모가다르다는걸 증명한거임? 적는시간이다르다는 거임? 아니면 화학적 성분? 둘을 적을때 심경이다르다는거? 아니면 궁서체 와고딕체? 어쨋든
님과 저는 완벽하게 증명했다는거임 반박하실분 있음?
피카츄 // 니들 대체 글을 읽기는 하는거냐? 아니면 내가 수학 갤러리를 잘못 찾아온건가? 왜이렇게 빠가사리들이 많지
캬..... - DCW
님 증명에 동의한다는 내용임
피카츄 // 봐봐 피카츄야 두 수가 같다고 가정하면, 두 수를 같은 횟수(그게 몇번이건) 만큼 더해서 서로 빼면 0 이 나와야겠지? 근데 내 글 내용을 보면 0.1 의 차이가 있잖아? 더하는 횟수를 0.9~ 0.99~ 0.999~ 이게 늘어나는만큼 같은 속도로 늘리면 차이가 줄어들지 않고 고정적이 된다는거야 그러니까 두 수를 뺐을때 차이가 존재하므로 두 수는 같지 않다는거지
나두 님말이 백번맞다고 봄 같은수면 두수의 차는0 이되야함 내가 곱셈은 잘모르는데 뺄쎔은 할줄암
내가보기엔 애들이 흐름에 맞춰서 다른 흐름을 더한다는 개념을 이해를 못하는것같음 그냥 단순하게 비유하면 n 분에 상수를 n 에 대해 극한을 씌운거에다가 n 을 곱해줘서 상수를 나오게 한다는건데 이렇게 튀어나오는 상수가 있으면 두 수는 같지가 않다는거지 흐름이 뭔지 이해 못하더라도 이게 뭔말인지는 알지? 기존의 극한 개념에서는 이런 차이가 점점 작아지면서 사라지지만, 여기에 한가지 흐름을 더 추가하면 그 차이가 고정적으로 나타난단 말이야. 그리고 이런 차이가 존재하는 이상, 0.9 에 점을 찍은것으로 표현되는 0.9~ 0.99~ 0.999~ 0.9999~ 들은 각자 다 다르다는거야. 그 차이를 드러낼 수가 있으니까.
그니깐 차이가있으니깐 아니지 근데 이거몇학년 책에 나오는거임?
피카츄 // 0.9~ 와 0.99~ 가 다른 이유를 내용추가해놨음 기존 상식이 아니므로 몇학년 책에도 안나옴 그리고 그게 문제인거고
기존에 약속된 용어나 개념이 없으니까 '흐름' 등등의 표현을 쓰는건데 덕분에 한명도 뭔소린지 이해를 못한듯
이런 필즈상 받을 인재가 피시방에서 썩고있다니 ㅜㅜ
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167331&page=1
위에 링크는 누가 반박글 올리길래 나도 반박해준 내용임 그리고 필즈상이네 뭐네하는것도 나 놀리는 댓글인가?
내가 수학적 지식이 부족하다는건 인정하는데 몇학년이네 필즈상이네 하면서 놀림받을정도로 멍청하진 않음 무시하지마셈
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=physicalscience&no=62706&page=1
이 링크는 양자역학 관련해서 물리학갤에 올린건데 아무런 댓글이 안달려서 여기에도 링크달아봄
그 흐름이라는 관점에서 이건 어떨까? 1.0 - 0.9~ = 0.0000000..... 과, 1.0 - 0.99~ = 0.0000000.... 0.9~와 0.99~와 다르다면, 0.0~과 0.00~과 다르다는 것과 결국에는 같은 말이 되는건데, 직관적으로도 전혀 와닿지 않는데? 0.0~이나 0.00~이나 0이 계속 뒤에 붙는 녀석일 뿐이고, 우리는 이것을 0이라고 하지.
결국 글쓴이의 관점에서는 0.00.... 은 0.00... (무한히 많은 0)... 1 꼴으로 표현된 수라는 건데, 실제로 실수를 이런 식으로 절대 표현할 수 없어. 0.00... (무한히 많은 0)... 1에서 0.00... (무한히 많은 0)... 0을 빼면 차이가 없지. (크기를 비교해봐.) 단순히 표현 방식이 다르다고 해서 다른 수가 되는건 아냐.
결국 0.99999... 와 1이 같지 않다고 생각하는 사람들의 공통점은, 0.99999....와 1은 서로 표기법이 다르니까 다른 수라고 생각한다는 것이지. 같은 실수가 다른 표기법을 가질 수 있음을 받아들이지 못하는 것.
실제로 두 수가 같다고 가정하면 어떤 형태로건 차이가 드러나지 않아야한다는거 부터가 니가 마음대로 생각하는 착각일뿐이야. 니가 0.999..와 1이 같다고 생각하든 생각하지 않든 상관없이 실제로 0.999.. 와 1이 같다는게 그 반례거든
수체계를 따로 잘 정의해서 0.999... 와 1이 같지않은 수체계를 이용하겠다면 저 둘이 다르다고 말하는게 실제로 가능함. 하지만 우리가 일반적으로 쓰는 덧셈과 곱셈을 자유롭게 쓰는 수체계는 포기해야하기 때문에 우리의 수체계에서는 저 둘이 같다는게 이미 알려져있는 사실이고, 이걸 너에게 설명해야할 의무는 느끼지못하겠다.
1 // 나는 각각의 흐름들이 왜 다른지를 논리정연하게 예시까지 들어가면서 설명했는데, 너를 포함한 수학갤러리 양산형 계산기들의 태도는 매우 실망스러움. 니 의견을 종합하면 이러함 '0을 빼면 차이가 없다(그 0 한개 즉 한자릿수가 차이라고 주장하는 글인데 내가 뭔말하는지도 이해못함), 0.9999... 와 1 이 같지 않다고 생각하는 사람들의 공통점은 표기법이 달라서 다른 수라고 생각한다(난 그렇게 주장한적도 생각한적도 없음. 표기법이 다른데 같은 수일수도 있지. 얘내들은 처음부터 같은 수가 아님. 다만 같은 수라고 서로 약속한거고 난 그 약속이 잘못됬다고 말하고 있는거지.) 여기까지는 단순히 이해를 못해서 그런걸수 있다 치자
1 // 근데 매우 실망스럽고 불쌍한건 그 다음 부분이야. 난 분명 논리적인 근거와 예시까지 들어가면서 각 흐름들이 다르다는걸 설명했건만, 니 반박의 뒷부분은 이래. 내가 기존 약속, 알려져있는 상식이 잘못되었다고 주장하는데, 넌 뒷받침되는 아무런 근거없이 0.999.. 가 1이 같다는게 그 반례라고 뜬금없이 기존 상식을 언급하지. 거기다가 그 둘이 같다는게 이미 알려져있는 사실이고, 나한테 설명할 의무를 느끼지 못하겠다고 말해. 정리하자면 이거야. '글 내용 이해못하고 개소리를 늘어놓음, 니가 뭐라고 생각하건 상관없음 이미 그렇게 알려져있는거니까, 너한테 설명할 의무는 못느낌.' 심각한건 수학갤러리 댓글중에서 니 댓글이 그나마 내용이 있다는거지. 한심한 녀석들.
여긴 수학 잘하는 녀석들은 없구나... 그냥 주입식 교육대로 따라가다가 침팬지가 아니라면 누구든지 배울 수 있는 공식들이나 개념들 몇개 암기해서 익혀놓고 생각할줄은 모르고 걍 영어공부하는데 사전에서 단어랑 문법만 싹 외워다가 단어랑 문법은 잘아는데 회화할줄도 글쓸줄도 모르는 왜 공부하는지 모를 쓰레기들의 수학버전이 여기 다 모여있네 공식 암기하는건 초등학생도 할수있어 그래서 얼마전에 초딩도 영재네 뭐네하면서 띄워준거고 근데 니들은 공식좀 외웠다고 왤케 부심들이 심하냐? 침팬지보다 우월하다고 주장하고 싶은거야? 생각을 할줄 모르면 그냥 입이라도 다물고 있어 그럼 티는 안날테니까
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167338&page=1
1 보다 작은 수들 중에서 가장 큰 수는 존재하지 않는다에 대해서 어떻게 생각하냐에 대한 답변글 댓글 링크
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167336&page=1
수학은 약속의 학문이라는 반박에 대한 내 반박 댓글 링크
\"여전히 보이지 않는 작은 차이가 남아 있다는거야\" 뭐가 보이지 않는 차이라는 건데?
그리고 작다면 얼마나 작은데?
ㅇㅇ // 그 값이 본문에 뻔히 나와있는데? 글 안읽었냐?
0. 제발 부탁인데 니가 반박에 대해 반박 한번 더했다고 \"어 씨발 내가 반박할수 있네? 고로 너는 좆병신ㅇㅇ 이 갤러리는 수학 졷도 모르네 ㅋㅋ\"이란 태도는 세우지 맙시다. 단 한 이용자의 단 한개의 한정된 공간과 시간에서만 나온 부족한 표본으로 결론을 내린 섣부른 일반화의 오류입니다.
1. 논리적 정의가 항상 지참되어야 하는 이유는 한 용어에 대한 정의가 단 한가지의 정확한 의미를 짚지 않고 혼동될 수 있으면 논리적 소통방식에 오류가 생기며, 오류가 생기게 되면 제대로된 판가름이 불가능해집니다. 논리가 아니면 옳고 그름을 판단할 수 있는 기준이 사라져버리기 때문입니다.
2. 0.9999...는 0.9에서 시작된 흐름이 아닙니다. 니가 흐름의 수학적 정의 자체를 안만들었기 때문에 흐름이 무슨 뜻인지를 알 수가 없습니다. 흐름은 나름 다의어거든요. 제대로 파고드려면 언어철학도 끌어와야 하겠고요. 허나, 뭔 뜻인지는 대충 알 것 같네요.
3. 여기서 말하는 흐음이란 게 대충 0.9로부터 0.99가 만들어지고, 0.99로부터 0.999로 해서 0.99999...가 되는 것으로 이해하신 것 같은데, 일단 아닙니다.
(흐음->흐름. )4. 이런 과정이 시간차를 두고 만들어진 게 아니거든요. 수라는 것은 처음부터 전제된 것이지, 시간에 따라 하나 만들어진다는 개념이 아닙니다. 고로 흐름이라는 말은 적당하지 않은 표현이라고 할 수 있습니다.
5. 표기법의 문제를 지적했는데 0.9999...와 0.99999...는 다르다고 하셨죠. 이것도 아닙니다. 0.9999.....9나 0.99999.....9같은 것은 있을 수 없기 때문입니다. ...이라는 것에 9가 몇개 있는지에 대한 정의는 전혀 앖으며. 대개 무한히 이어진다는 맥락으로 쓰이기 때문입니다.
ㄱㄱ // 드디어 제대로 된 반박이 나왔군요. 일단 마음이 앞서 반박하는 글을 쓰다가 이만 줄입니다. 충분히 시간을 두고 검색해가면서 현대의 수체계 범위 내에서 해당 내용을 정의하고 설명하고 표현할 수 있는지 알아본 후에 다시 글 작성하도록 하겠습니다. 부분적인 반박은 현 시점에서도 얼마든지 가능하지만 무의미하고, 제 표현이 수 체계와 맞지 않는다는 지적은 현재로썬 피해갈수가 없기 때문입니다. 얼마가 걸릴지는 알수 없지만 피시방 왔다갔다 하는 시간이라도 가끔 생각해서 새로 글 작성하겠습니다. 그동안 나름의 생각들을 해주시길.
6. 그러한 입장에서 .....는 확실히 불합리한 부분이 존재하죠. 계속되는 나열이 있을 때 거기서 쉽게 찾을 수 있는 규칙성이 존재한다면 뒤에도 같겠거니 하면서 쓰는거죠. 하지만, 안타깝게도 수학에는 몇 개의 사례만으로 배열 방법과 배열 관계를 찾을 수 있는 공식은 없으며 있어서도 안됩니다. 고로 0.....이 잘못된 표기죠. 정의가 없으니.
7. 그래서 제대로 된 표기...라기보단 일단 별개의 것으로 생각할 때 0.9에서 9 위에 점을 올리는 표기가 수학에 있어 존재한다는 것이고요.
8. 그럼 0.999...=1 이건 무엇이냐? 이것은 말 그대로 사회적 합의에 의해 통용되는 정의인 (...이란 앞에 있는 예시들이 직관적으로 규칙을 찾을 수 있을때, 뒷부분은 대충 그 규칙을 따른다)는 의미가 됩니다. 이러한 맥락에서 0.999...란 (십진 표기법에서 \'10의 음의 지수의 자릿값\'을 의미하는 \'소수점 밑자리의 자릿값\'이 무한히 9
가능적 무한, 또는 가무한이라 그러지, 어딘가에 다가가고 변화한다는 관점이야. 이에 대비되는 것이 실무한. 어딘가에 다가가는게 아니라 그 자체로 존재하는 무한이란 뜻. 해석학의 발전 이래 현대 수학은 실무한의 관점으로 본다.
흐름이라는 단어가 지적 받는 이유는, 그 단어에 내재되는(언급한 실제적인 내용 또한) 가능적 무한의 관점을 지적한거야.
0.9999....는 어딘가로 다가가는 수가 아니다. 그냥 그 자체의 정점인거지. 이는 0.9+0.09+0.009....의 무한급수로 표현해도 마찬가지.
인간은 합의 연산을 하는데 시간이 걸리지만 수는 그렇지 않지, 그래서 무한합 0.9+0.09+0.009...은 그냥 0.9999....와 같은 것이지, 0.99, 0.999, 0.9999, ....로 점점 변화하는 수가 아니야. 이건 가능적 무한의 관점으로 수열과 연결시켜 생각하는 것
그리고 실수에서 0.9999...=1이라는 것은, 그것이 십진법이 아니라, 어떤 진법, 더 나아가 어떤 표기법을 쓰더라도 실수에서 저 두 수를 비교하면 같다는 뜻.
10. 그럼 가장 큰 문제인 무한히 더한다는 것이 남았습니다. 무한히더한다는 것의 정의 자체에 이미 극한의 관점으로 매우 엄밀하게 정의되어 있습니다. 무한히 더한다는 것의 현대적 의미는 일정한 규칙으로 배열된 수열의 값들을 n번 더해 나오는 결과가 있을때 n이 한없이 커질 때의 극한을 의미합니다.
가세 요님 ㄱㄱ 님 위에 어떤분이 저한테 질문하면서 10^n-0.999...(9가 n개)x10^n=0.1 와 같이 수식으로 0.1 의 차이가 있다고 표현할수 있다는걸 알려주셨는데 이러한 차이가 존재하더라도 1 과 0.9999... 는 그냥 같은거다 이렇게 약속한건가요?
좀 어려운 말이긴 한데 실수는 complete ordered field인데, 임의의 두 complete ordered field는 동형임.
가세 요//16진법에서 0.9999....(16)는 그냥 0.A 보다 좀 많이 작은 수이지 1(16)이 아니잖아. 1=0.FFFFF...(16)인가?로 해야겠지. 소수라는 표기 자체가 진법에 제약을 많이 받음. 그러니까 분수로 참값을 쓰려는 거고
수식을 잘 모르겠는데 분배법칙의 역으로 (1-0.999...)10^n=0.1,(9가 n개)로 읽으면 되는 부분?
가세 요//게다가 애초에 0.nnn...이란것도 명확하게 정의되지 않은 거 아닌가? 그럼 문제는 수학속에 있는 게 아니라 언어속에 있는거고. 수학적으로 명확하게 정의되면 게임 끝나는 거고.난 이 주제가 가장 큰 화제가 되는 이유가 표기의 애매함에서 나오는 거라고 봐서 좀 정확하진 않은 이야길 했음.
0.9999....와 1에 대응되는 16진수를 써야지... 16진수에서 0.9999...와 1을 비교하면 큰 차이가 남...
가세 요 // 제 글 본문에서 항상 0.1 의 차이가 있다는걸 10^n-0.999...(9가 n개)x10^n=0.1 라고 표현할수 있다고 하더라구요. 풀어서 설명하자면, 1과 0.99999~ 의 차이가 0.99999~ 가 무한히 계속되도 작아질지언정 사라지지 않는다는겁니다
실무한의 관점에서 0.9+0.09+0.009...의 무한합은 0.9999...에 '다가가는' 수가 아니라, '딱 그 수'인거임.
그럼 뭐, 나보다 더 수학 잘아시는 분이 오셨으니 이만.
간단하게 설명하면, 여기서 그 차의 소숫점 아래 0이 무한히 많다는 점에 있음. 1이 들어갈 자리가 어디 있을까. 아마 '마지막 자리'일 것인데, 1이 들어간다면 0.9999...의 소숫점 아래 9가 무한하지 않았다는 뜻이 아니므로 모순이야. 결국 마지막 자리란건 존재하지 않고, 계속 0이 들어감.
1/3=0.333~ 이라 한시점에서 1=1, 3/3=1=0.99~ 에서 두 식을 빼서 증명하는건 말장난에 불과하다고 생각해. 3/3=1이라는 데에서 또 걸리니까 말이야. 해석학을 아직 배우지않았지만 미적분학만 배운수준에서 생각해봤는데, 이건 등비급수의 무한급수에서 엡실론델타 논법으로 정리해보니까 n->oo 일때 (1-(1/10)^n) = 1 임을 증명하는것과 같아 그런데 극한이란건 그 값이 애초에 정해질수없어. 예를들면 모든양수 a에 대해서 0<F<a >oo 일때 (1-(1/10)^n) 는 그래서 1이라고 표기하지만 1은아니야 하지만 그 값을 절대 특정할수없기때문에 1이라고 쓰는거라 생각해.
극한에서 헷갈리는게 생기는 모양인데, '어떤 변수의 오차가 특정값 이하일 때(이걸 고등학교 과정에선 다가간다고 표현), 그에 대응되는 수식의 차이 또한 특정값 이하로 줄어든다'(이걸 수렴한다고 표현)는 뜻임.
즉, 극한에선 'n이 특정값 이상일 때 수렴값과의 오차가 점점 줄어든다'를 말해줄 뿐, 'n이 무한대로 가면 f(n)이 1이다' 라고 말해주지는 못함.
왜냐하면 무한은 실수가 아니거든.
많은 중/고교 학생들이 착각하는게 실수를 만들 때 10진법으로 무한소수로 표기해서 만들어졌다고 생각하시는데, 실제로 해석학에서 실수는 먼저 그런 식으로 만들어진 대상이 아닙니다. 자연수도 10진법으로 표기된 대상이 아니라 덧셈과 곱셈, 그리고 order가 정의된 어떤 추상적인 set이고, 유리수도 그 set으로 만들어진 equivalence class, 그리고 실수를 만드는 방법 중 하나는 유리수의 cauchy sequence 위에서 equivalence relation을 주는 경우입니다.
여기서 실수를 정의하기 전에, cauchy sequence나 이들의 모임 위에서 equivalence relation을 줄 때 '수열의 수렴'에 대한 정의를 하여야 하는데, 일반적으로 epsilon-delta를 이용하여 정의를 합니다. 당연히 이러한 construction은 weierstrass같은 선구자가 극한이 정확히 무엇인지 수학적으로 formulate를 해 놓았기 때문에 가능한 이야기지요.
이런 방식으로 실수가 '추상적으로' 정의되고 나서야 비로소 k진법 (k는 2 이상의 자연수)으로 표기하는게 무엇인지 정의를 할 수 있는 것입니다. a(n)a(n-1)...a(0).b(0)b(1)b(2).... (각 a(i)와 b(i)는 0이상 k미만) 은 (a(0)+ka(1)+k^2a(2) + ... + k^na(n)) + ∑b(i)/k^i 의 수렴값으로 정의를 합니다. 그리고 실수의 정의로부터, 임의의 실수가 k진법 (k는 2 이상의 자연수)으로 표현될 수 있다는 정리를 증명할 수 있습니다.
이런 맥락에서 보면, 0.9999....는 절대 0.9 0.99 0.999 이런 식으로 1보다 작은 수가 1로 변하면서 가는 '시행'이라고 볼 수 없습니다. 정확히 고정된 어떤 하나의 수죠. 그리고 0.999....는 추상적인 공간에 있는 어떤 실수를 10진법 표기를 해 놓은것에 불과하고, 그 수는 10진법 표기의 정의에 따라서 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ....의 수렴값인 1을 의미합니다. 그러니까 애초에 실수를 추상적으로 만들고, 이를 10진법으로 표기할 때부터 0.9999... = 1이라는 게 '정의'되어있는겁니다.
당연히 1과 0.9는 다르고, 1과 0.99는 다르고, 1과 0.999는 다르니까 차이가 0.1, 0.01, 0.001이 나는 것이고, 이를 10배 100배 1000배 해서 차이를 1로 불릴 수 있는거죠. 1과 1은 같은 수니까 1-1을 10배 100배 1000배 해봤자 0밖에 안 나옵니다. 1에서 0.9를 뺀 것, 0.99를 뺀 것, 0.999를 뺀 것...을 각각 10배 100배 1000배한다고 해서 1과 0.9999....가 다르다는 논리에는 gap이 있습니다. 처음부터 1과 0.999...9 (유한소수)라는 서로 다른 대상을 놓고 비교해서, 그 오차를 몇배해서 불렸는데 이것과 0.9999....와 1과는 아무런 관계가 없죠.
ㄴ 저 요상한 논리대로 가도 맞긴 맞음. 근데 니가 말한 ' 0.999...9 (유한소수)'로 다뤘지 무한소수로 다룬게 아니므로 fail.
@KuroSad. 열심히 살어.
10^n-0.999...(9가 n개)x10^n=0.1 라는 식에서 n 에 극한을 취하는거에 대해선 어떻게 생각함? 미세한 차이가 사라지지 않는 식
특정한 조건 하에서 1과 0.9999... 의 차이가 0.9999... 가 아무리 계속되더라도 없어지지 않는거지
근데 저 식에서 n 에 극한 취한것과 0.9999... 가 같은건지 다른건지를 모르겠음 9 갯수에 극한취하면 0.9999... 인거 맞음?
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167379
사람들 얘기 듣고 글 새롭게 구성해서 써봤음 링크 올림
http://m.dcinside.com/view.php?id=mathematics&no=167389&page=1
제대로된 반박댓글이 나와서 나도 어느정도 이해함
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167395
봐봐 멍청이들아 ㅡㅡ 내가 주장한 내용이 초실수에 똑같이 다뤄지고 있었잖아 근데 뭐? 표기가 어쩌고 어째?
결론 : 내가 주장한 내용들은 이미 초실수라는 이름으로 이미 1960년인가 그쯤에 다뤄졌다고 함 끝
http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=167399&page=1
이걸 남기고 사라집니다. 여러분 입장에선 제가 그저 분탕 어그로 종자로 보일 뿐인것 같아서요. TOP 매기면서 재밌게들 노세요.
ㅋㅋㅋ 대충 읽어봤는데 미적분 첫단원만 공부해도 이런 개소리는 안하겠네
초실수 뭐시기 하는것도 지랑 교집합 있다는걸로 두리뭉실 맞다고 우기는거네
0.9999~=1 9.9999~=10 9=9.000~1 아님?언젠가끝나긴할거아님
언젠가 끝나길 할거아님 이라는데 안끝납니다. 끝나면 무한이 아니죠. 무한을 숫자로 해석해서 숫자에서 사용하는 사칙연산을 사용하시면 안됩니다. x가 무한대일때 x+1=x 입니다 여러분.
길다.....
일단 무한의개념도모르는 수학개초짜네 무한에서1을빼도무한이고무한에서1을더해도 무한이다 무한은 말그대로 한계가없기때문에 흐름이든뭐든 10을곱해도 무한은 무한이다
글쓴이 뭔가 자기만의세상에서 사는거같음 ㅋㅋㅋ 무한이뭔지도모르는거같네