위상수학과 리만 기하학을 연결하는 난제



임의의 차원에서, 컴팩트하고, 모든 점에서 단면 곡률이 양수인 리만 다양체는, 오일러 지표가 양수이다.



컴팩트 리만 다양체가, 단면 곡률이 가장 작은 점에서의 단면 곡률이 0보다 크면, 그 컴팩트 리만 다양체의 오일러 지표는 1보다 작을 수 없다.



이 난제 보고 해본 망상인데



함수 f(x)

정의역: 실수 R

공역: 단면 곡률이 가장 작은 점에서의 단면 곡률이 x인, 3차원 컴팩트 리만 다양체가 가질 수 있는 가장 작은 오일러 지표



이러면 f(x)가 계단함수가 될 거 아냐. 고차원으로 확장해서 정의할 수도 있고.


어느 한 차원에서라도 f(x)의 불연속 정의역 일반항 증명하면 리만 기하/미분 위상 역대 원톱??