해석적 정수론을 하다보면 어지간한 항들은 다 big O로 묶어놓고 신경쓰지 않는 경우가 많다.

예를들면 x가 작다면 exp(x)=1+x+O(x^2) 이면 충분하다.

그런데 살다보면 부등식을 만들어야 할 일이 생긴다. 예를들면 exp(x) <= 1+cx 를 0<x<1에서 만족하게 하고 싶다고 하자

물론 c=e-1로 두면 만사형통이지만 저러면 너무 오차가 커지니까 c역시도 함수로, x가 작으면 1에 가까워지면서 저 부등식을 만족시킬 녀석으로 잡아주고 싶다

뭐 그 역시도 c=(exp(x)-1)/x로 잡으면 되지 않느냐 싶지만 저것보단 좀 간단한 형태로 만들고 싶다.

여기서 옛날에 어쩌다 본 자잘한 테크닉을 써서, -log(1-x) 의 x=0에서 접선을 이용, -log (1-x)>=x를 쓰면 exp x <= 1/1-x =1+ x/(1-x) 와 같은 부등식을 얻는다.

허접한것 치곤 보기보단 쓸만해서 예를들면 exp (1/2n) < 1+1/(2n-1) 같은 부등식을 보일 수 있다. 저 부등식은 간단한 형태이면서 ~1+1/2n 이라는 근사식을 깨트리지 않는다. n=1같은데서 오차가 좀 큰건 흠이지만.

문제는 저 근사식을 2차근사식까지 성립시키면서 쉽게 보일 수 있는 깔끔한 부등식을 찾을 수 있는지? 였다.
정말 계산을 하려던 식이 원하는 값에 n exp(1/2n)이 곱해진 꼴이었는데 저걸 n+1/2+O(1/n)으론 당연히 적는데 저걸 부등식으로 깔끔하게 적어야 했다.

물론 아무 함수나 적당히 때려찍어넣고 증명을 해보면 되기는 하지만, 저걸 올바른 방법으로(짧은 풀이로) 적는게 목표였다.

답을 말하자면 n+1/2+1/8(n-1/6)이 성립한다. 테일러전개가 1/8n+... 으로 나가니 정확한 편. n=1에서도 n+1/2랑 오차라 그리 크지 않다. 뭐 크다 작다는건 좀 주관적인 부분이긴 하지만.

한참을 삽질했는데 역시 이런문제는 옛날 수학자들이 다 잘 해놨다.

Pade approximant라고 테일러 전개가 다항식 근사라면 유리식으로 근사하는 간단한 방법이 있었다. 그중에 적당한 애를 찾아주면 되는 셈.

그 근사식을 통해 exp (x)< 1+x+ x^2/2(1-x/3)의 부등식을 이용할 수 있다. 뭘 증명할지만 알면 실제 증명이야 간단. (1-x/3)exp(x)의 테일러급수가 3차이상이 모두 음수계수인걸 보일 수 있어서 성립한다.


이걸 몰라서 두시간 삽질한건 안자랑...