개인적인 이해라서 오개념일거같긴 한데...저는 개인적으로 family of a class(of object) and a set (of morphisms)라고 이해했슴다. 꼬인성격 풀고!
르벡(14.36)2016-12-01 20:28:00
르벡// 그러니까 category가 family라는 거네? 근데 그게 말그대로 개인적인 추측이지 정의에 정확히 써있질 않으니...
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 21:12:00
family로 정의하든, 뭘로 정의하든 어차피 카테고리 이론의 모든 정리를 논리식으로 표현하면 어떤 두 class가 존재해서 하나는 object에 대한 axiom을 만족하고 하나는 morphism에 대한 axiom을 만족하면 어쩌구 저쩌구... 로 표현할 수 있는데 그 두개를 어떤 방식으로 묶느냐는 전혀 신경쓸 필요가 없는데.
oo(45.64)2016-12-01 21:16:00
수학에서는 어떤 카테고리가 주어지면 class of objects와 class of morphisms이라는 두개의 class로 구성된 어떤 추상적인 것을 생각하겠지만, 실제 카테고리에 관한 어떤 명제가 있을때 그것을 논리식으로 풀어쓴다면 그냥 특정 axiom을 만족하는 두개의 class에 관한 명제일 뿐이야. 근데 그것을 일일이 풀어쓰기 귀찮으니 그냥 카테고리가 2개의 class로 구성되어있다고 간주하는것일 뿐이지.
oo(45.64)2016-12-01 21:17:00
예를 들어서 group도 우리가 편의상 어떤 set S와 binary operation *의 pair (S,*)로 이루어진 어떤 것을 생각할 수 있지만, 이렇게 pair로 꼭 만들지 않더라도, group에 관한 임의의 명제는 임의의 set과 임의의 binary operation *에 대해서 (group으로서 조건을 만족할) axiom을 만족한다면 어쩌구 저쩌구.. 에 대한 논리식으로 항상 풀어쓸 수 있기 때문에, 실질적으로 (S,*)는 그냥 편의상 표기일 뿐이지 실제로 이렇게 정의된다는 건 아니야.
oo(45.64)2016-12-01 21:19:00
예전부터 답변달때마다 느꼈는데 어차피 수학적인 객체가 어떤식으로 정의되어있든간에, 그에 대한 명제의 논리식또한 그것에 맞추어서 유연하게 항상 변환할 수 있는데 그 형식에 연연하는것은 정말 시간낭비야. 이것을 이해하지 못한다면, 수학 전공하는것을 포기하는게 정신건강에 이롭다.
oo(45.64)2016-12-01 21:21:00
수학기초론이 의미가 없다는 뜻으로 오해할수 있는데, 내가 시간낭비라고 지칭한건 예를 들어서 카테고리 정의에서 consist of를 보고 이것이 무슨 정의인지 오랜 시간동안 고민하는것을 말하는건데, 이런 것들은 대개 exactly하게 이런 논리식으로 정의되어있습니다! 같은건 처음부터 정해져있지도 않기 마련이다.
oo(45.64)2016-12-01 21:26:00
oo//아니 그러니까 group은 편의상이든 뭐든간에 딱 exactly 하게 pair (S,*) 로 정의가 되어 있으니까 논란의 여지가 없잖아 근데 category는 왜 편의상이든 뭐든간에 정확하게 정의를 안해서 혼란을 주냐고
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 21:53:00
누가 연연하고 싶어서 연연하나 group처럼 통일된 정의를 만들어 놓으면 한 번 보고 넘어가는데 왜 group은 정의를 잘해놨으면서 category에 와서는 상황이 달라지냐 이거지
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 21:57:00
ㄹㄹ/ 그 이유는 카테고리 아론 정도 공부할 나잇대가 되면 consist of 같은 거에 메달리지 않을 정도로 수학적으로 상
성숙해있을 것이라 가정하기 때문이지요. pair (S, *)는 참으로 수학적이어 보이나 봅니다 그려? 그러면 category도 pair (object, morphism) 이렇게 쓰면 그럴듯해 보이나요?
그게(114.200)2016-12-01 22:06:00
그게// 정말 카테고리 아론 정도 공부할 나잇대가 되면 consist of 같은 거에 메달리지 않을 정도로 수학적으로 상 성숙해있을 것 이 이유 때문이야? 진짜 이게 이유라면 수학이라는것도 참 웃기네
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 22:10:00
category도 pair (object, morphism) 이렇게 쓴다면 consist of라고 대충 얼버무리는거보다는 훨씬 명확하지 그런데 수많은 category론 책을 봐도 이렇게 explicit 하게 쓸려고 한 저자가 한 명도 없었는데 그 진짜 이유가 궁금한거고 정말 너가 말한것처럼 수학적으로 성숙 어쩌구 때문인지 아니면 다른 이유인지
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 22:13:00
근데 상 성숙이 뭐야?
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 22:13:00
group에서 pair (S, *)는 참으로 수학적이어 보이는데? 뭐 문제 있나
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 22:14:00
니가말하는 수학적인게 뭐냐?
ㄹ(223.62)2016-12-01 22:15:00
수학은 정확해야지 group 배울때는 2학년쯤 될테니까 명확하고 안전하게 pair (S, *) 로 쓰고 category 배울때는 4학년쯤 될테니까 consist of에 연연하지 않을테니까 consist of로 대충 쓴다? 수학에서 정의를 할 때 그런것도 고려해? 학문적인 효율성과 간결성을 추구하는게 아니라 2학년과 4학년의 수준차이를 생각해서 정의를 만든다? 그런 소리는 듣도보도 못한소리네
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 22:19:00
그룹은 셋이지만 카테고리의 옵젝트는 셋이아닐수도있잖아 그러니 NBG집합론부터 공부하고오자.
ㄹ(223.62)2016-12-01 22:20:00
그래 그룹은 셋이지만 카테고리의 옵젝트는 셋이아닐수도있잖아 이게 맞는거지 근데 쟤는 수학적 성숙도의 차이 때문이래잖아 ㅋㅋㅋㅋㅋ
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 22:24:00
A category C is
- a collection ObC of objects, denoted by a, b . . . A, B . . .
- a collection MorC of morphisms (arrows), denoted by f, g . . . ,
- two operations dom, cod assigning to each arrow f t
그게(114.200)2016-12-01 22:47:00
그렇게도 formal한 정의가 궁금하면 ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf
왜요? 위에서처럼 쓰면 뭔가 "정확한 수학" 같아보여요? 안타까워하겠지만, 수학자들은 수학을 저렇게 하질 않아요. 그게 수학적으로 성숙했다는 뜻이고요. 하긴 갓난 아기가 어른들의 세계를 어찌 알리
그게(114.200)2016-12-01 22:50:00
위에서 쓴게 뭔데? -? - 이게 뭐야? 더 말이 안되게 썼는데?
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 23:07:00
그냥 - 여러개로 쭉 나열했는데? 그게 formal 한 정의야?
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 23:08:00
그렇다니까요? 뭘 더 바라는거죠? category 자체가 하나의 거대한 덩어리라도 되길 바라는건지?
그게(114.200)2016-12-01 23:17:00
그러니까 위에서 처럼 쓰면 정확한 수학 처럼 보이지가 않는다고 근데 뭘 같아보여요? 하고 물어봐 더 말이 안되는 소리를 가져와 놓고는
ㄹㄹ(116.126)2016-12-01 23:19:00
설명해준 내가 ㅂㅅ이었군... 중딩한테 group의 정의 알려주면 에이 그게무슨수학이에요 "뭔가 수학적으로 엉성하다"고 받아들일거다 걔네한테는 명확한 수학이란건 x+5=7의 해는 x=2이다 같은것들이고
르벡(14.36)2016-12-01 23:48:00
학부 현대대수만 아주 조금 훑어보신 것 같은데 그쪽 배경지식이 부족해서 명확하게 다가오지 않는거 아닐까 싶네요...
르벡(14.36)2016-12-01 23:51:00
글쓴이가 말하는 수학적으로는 "자기가 알고있는 수학적 배경지식의 한도 내에서 이해가 가능한" 을 일컫는다. ㅇㄱㄹㅇ ㅂㅂㅂㄱ ㅇㅈ?
르벡(14.36)2016-12-01 23:54:00
넌 뭔 헛소리야 family는 아닌게 지금 분위기 보니까 명확해졌는데
ㄹㄹ(116.126)2016-12-02 00:03:00
이거나 Zn의 원소에 왜 bar를 붙이냐는 얘기나 대체 다른 게 뭐냐 ㅋㅋㅋㅋㅋ
소심한펭귄알(211.41)2016-12-02 02:20:00
정확한 수학이든 뭐든간에, 정의가 주어지면 임의의 명제를 formal logic으로 풀어쓸 수 있잖아. group도 편의상 (S,*)의 pair 형식으로 둔것이지 실제로 다른 방식으로 정의해도 그에 맞춰서 group에 대한 명제의 formal logic을 바꾸면 되는거지.
oo(45.64)2016-12-02 05:47:00
결국에 너가 보는 수학책들도 여러 수학적 명제로 적혀있지만 formal logic으로 구체적으로 적혀있는게 아닌데, 너의 잣대를 그대로 적용하면 정확한 수학은 하나도 없어. 어차피 어떤 식의 formal한 논리식으로 category를 서술하냐에 따라서 그에 따른 수학적 명제의 formal한 논리식또한 전환이 가능하기에 "consist of"와 같은 용어로 서술해도 충분한거야.
oo(45.64)2016-12-02 05:51:00
그리고 "consist of"와 같은 용어로 명시하는 이유는 proper class의 ordered pair나 이런 operation들이 nonstandard하기 때문이고,category를 정의할때 proper class의 ordered pair같은 구조에 의존하지 않고도 category에 관한 명제를 풀어쓸수 있기 때문.
oo(45.64)2016-12-02 06:35:00
예를 들어서 set theory에서 ordered pair (X,Y)는 {{X},{X,Y}}로 정의하는게 (Kuratowski의 정의) standard하게 굳어졌지만, proper class의 ordered pair는 딱히 standard하게 정해진 표기법이 없다. MK 공리계의 방식대로 정의할수도 있고, 다른 방식으로 정의할수도 있고.. 중요한건 첫 댓글에서 언급했듯이 ordered pair를 도입하지 않고도 모두 formal logic으로 풀어쓸 수 있다는 점이고, 따라서 너가 생각하는 문제가 그렇게 중요하지 않다는거다.
oo(45.64)2016-12-02 06:42:00
수학이라는게 어떤 텍스트에서 사용한 정의가 완벽하게 standard하게 딱 정해지지 않는이상, 그것을 표현하는 방식은 저자들마다 다를수 있다. 하지만 서로 다른 두 표현이 있다면 대개 두 표현간 호환이 가능하기 때문에 (거의 학계에서 standard하다고 여겨지기 전까지는) 자유롭게 냅두는 것이다.
oo(45.64)2016-12-02 06:45:00
너가 ZFC의 axiom of choice를 받아들이지 않고 다른 공리계를 들고나와서 "모든 실수의 부분집합은 lebesgue measurable하다"라고 주장할수도 있는거지. 하지만 대부분 ZF(+C)는 standard하다고 여겨지는 공리계이기 때문에, 많은 measure theory 텍스트에서 axiom of choice를 사용한 채 lebesgue measurable하지 않은 실수의 부분집합이 있다는 사실을 증명하지.
oo(45.64)2016-12-02 06:47:00
formal 하게 논리식으로 제공해주면 되는거 아님?
영점구땡(leogeno314)2016-12-02 08:06:00
수학이 정확해야하는건 맞는데 모든 주장을 모든 사람들이 보기이 엄밀하게 정당화할필요는 없음. 수학에 익숙한사람이 보기에는 엄밀해보이는데 다른사람이 보기에는 안엄밀할수도있거든. 그게 수학적으로 성숙하다는것임
asdf(143.248)2016-12-02 09:32:00
당장 학부위상만봐도 자명한 위상동형인 두 공간 사이의 homeomorphism을 구체적으로 명시해서주지않는경우도 많음. 수학도 윗댓글에서 말하는것처럼 모두 논리식으로 풀어쓸수있는데 장황해지니까 최대한 간결하게서술하려는거지. 여기서 말하는 간결함의 척도도 수학적 성숙에 달린거고
asdf(143.248)2016-12-02 09:35:00
그러니까 formal 하게 논리식으로 정의를 할 수 있으면 그걸 보여주면 되잖아. 더럽게 장황한 논리식을 보면 왜 consist of 이런걸로 퉁치는지 이해하겠지. 근데 논리식으로 제시를 안 해주니까, 그냥 입만 살아가지고 성숙도 운운거리는걸로 받아들일 수 있지. 성숙도가 높으면 논리식 따위로 쓰는거야 귀찮지만 못할건 아니지 않겠어? 위에서 처럼 구구절절 다른 말로 설득시키려 하는것보다 논리식 제공해주는게 더 빠를거 같은데? 할수 있다면. ㅎ
개인적인 이해라서 오개념일거같긴 한데...저는 개인적으로 family of a class(of object) and a set (of morphisms)라고 이해했슴다. 꼬인성격 풀고!
르벡// 그러니까 category가 family라는 거네? 근데 그게 말그대로 개인적인 추측이지 정의에 정확히 써있질 않으니...
family로 정의하든, 뭘로 정의하든 어차피 카테고리 이론의 모든 정리를 논리식으로 표현하면 어떤 두 class가 존재해서 하나는 object에 대한 axiom을 만족하고 하나는 morphism에 대한 axiom을 만족하면 어쩌구 저쩌구... 로 표현할 수 있는데 그 두개를 어떤 방식으로 묶느냐는 전혀 신경쓸 필요가 없는데.
수학에서는 어떤 카테고리가 주어지면 class of objects와 class of morphisms이라는 두개의 class로 구성된 어떤 추상적인 것을 생각하겠지만, 실제 카테고리에 관한 어떤 명제가 있을때 그것을 논리식으로 풀어쓴다면 그냥 특정 axiom을 만족하는 두개의 class에 관한 명제일 뿐이야. 근데 그것을 일일이 풀어쓰기 귀찮으니 그냥 카테고리가 2개의 class로 구성되어있다고 간주하는것일 뿐이지.
예를 들어서 group도 우리가 편의상 어떤 set S와 binary operation *의 pair (S,*)로 이루어진 어떤 것을 생각할 수 있지만, 이렇게 pair로 꼭 만들지 않더라도, group에 관한 임의의 명제는 임의의 set과 임의의 binary operation *에 대해서 (group으로서 조건을 만족할) axiom을 만족한다면 어쩌구 저쩌구.. 에 대한 논리식으로 항상 풀어쓸 수 있기 때문에, 실질적으로 (S,*)는 그냥 편의상 표기일 뿐이지 실제로 이렇게 정의된다는 건 아니야.
예전부터 답변달때마다 느꼈는데 어차피 수학적인 객체가 어떤식으로 정의되어있든간에, 그에 대한 명제의 논리식또한 그것에 맞추어서 유연하게 항상 변환할 수 있는데 그 형식에 연연하는것은 정말 시간낭비야. 이것을 이해하지 못한다면, 수학 전공하는것을 포기하는게 정신건강에 이롭다.
수학기초론이 의미가 없다는 뜻으로 오해할수 있는데, 내가 시간낭비라고 지칭한건 예를 들어서 카테고리 정의에서 consist of를 보고 이것이 무슨 정의인지 오랜 시간동안 고민하는것을 말하는건데, 이런 것들은 대개 exactly하게 이런 논리식으로 정의되어있습니다! 같은건 처음부터 정해져있지도 않기 마련이다.
oo//아니 그러니까 group은 편의상이든 뭐든간에 딱 exactly 하게 pair (S,*) 로 정의가 되어 있으니까 논란의 여지가 없잖아 근데 category는 왜 편의상이든 뭐든간에 정확하게 정의를 안해서 혼란을 주냐고
누가 연연하고 싶어서 연연하나 group처럼 통일된 정의를 만들어 놓으면 한 번 보고 넘어가는데 왜 group은 정의를 잘해놨으면서 category에 와서는 상황이 달라지냐 이거지
ㄹㄹ/ 그 이유는 카테고리 아론 정도 공부할 나잇대가 되면 consist of 같은 거에 메달리지 않을 정도로 수학적으로 상 성숙해있을 것이라 가정하기 때문이지요. pair (S, *)는 참으로 수학적이어 보이나 봅니다 그려? 그러면 category도 pair (object, morphism) 이렇게 쓰면 그럴듯해 보이나요?
그게// 정말 카테고리 아론 정도 공부할 나잇대가 되면 consist of 같은 거에 메달리지 않을 정도로 수학적으로 상 성숙해있을 것 이 이유 때문이야? 진짜 이게 이유라면 수학이라는것도 참 웃기네
category도 pair (object, morphism) 이렇게 쓴다면 consist of라고 대충 얼버무리는거보다는 훨씬 명확하지 그런데 수많은 category론 책을 봐도 이렇게 explicit 하게 쓸려고 한 저자가 한 명도 없었는데 그 진짜 이유가 궁금한거고 정말 너가 말한것처럼 수학적으로 성숙 어쩌구 때문인지 아니면 다른 이유인지
근데 상 성숙이 뭐야?
group에서 pair (S, *)는 참으로 수학적이어 보이는데? 뭐 문제 있나
니가말하는 수학적인게 뭐냐?
수학은 정확해야지 group 배울때는 2학년쯤 될테니까 명확하고 안전하게 pair (S, *) 로 쓰고 category 배울때는 4학년쯤 될테니까 consist of에 연연하지 않을테니까 consist of로 대충 쓴다? 수학에서 정의를 할 때 그런것도 고려해? 학문적인 효율성과 간결성을 추구하는게 아니라 2학년과 4학년의 수준차이를 생각해서 정의를 만든다? 그런 소리는 듣도보도 못한소리네
그룹은 셋이지만 카테고리의 옵젝트는 셋이아닐수도있잖아 그러니 NBG집합론부터 공부하고오자.
그래 그룹은 셋이지만 카테고리의 옵젝트는 셋이아닐수도있잖아 이게 맞는거지 근데 쟤는 수학적 성숙도의 차이 때문이래잖아 ㅋㅋㅋㅋㅋ
A category C is - a collection ObC of objects, denoted by a, b . . . A, B . . . - a collection MorC of morphisms (arrows), denoted by f, g . . . , - two operations dom, cod assigning to each arrow f t
그렇게도 formal한 정의가 궁금하면 ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf 왜요? 위에서처럼 쓰면 뭔가 "정확한 수학" 같아보여요? 안타까워하겠지만, 수학자들은 수학을 저렇게 하질 않아요. 그게 수학적으로 성숙했다는 뜻이고요. 하긴 갓난 아기가 어른들의 세계를 어찌 알리
위에서 쓴게 뭔데? -? - 이게 뭐야? 더 말이 안되게 썼는데?
그냥 - 여러개로 쭉 나열했는데? 그게 formal 한 정의야?
그렇다니까요? 뭘 더 바라는거죠? category 자체가 하나의 거대한 덩어리라도 되길 바라는건지?
그러니까 위에서 처럼 쓰면 정확한 수학 처럼 보이지가 않는다고 근데 뭘 같아보여요? 하고 물어봐 더 말이 안되는 소리를 가져와 놓고는
설명해준 내가 ㅂㅅ이었군... 중딩한테 group의 정의 알려주면 에이 그게무슨수학이에요 "뭔가 수학적으로 엉성하다"고 받아들일거다 걔네한테는 명확한 수학이란건 x+5=7의 해는 x=2이다 같은것들이고
학부 현대대수만 아주 조금 훑어보신 것 같은데 그쪽 배경지식이 부족해서 명확하게 다가오지 않는거 아닐까 싶네요...
글쓴이가 말하는 수학적으로는 "자기가 알고있는 수학적 배경지식의 한도 내에서 이해가 가능한" 을 일컫는다. ㅇㄱㄹㅇ ㅂㅂㅂㄱ ㅇㅈ?
넌 뭔 헛소리야 family는 아닌게 지금 분위기 보니까 명확해졌는데
이거나 Zn의 원소에 왜 bar를 붙이냐는 얘기나 대체 다른 게 뭐냐 ㅋㅋㅋㅋㅋ
정확한 수학이든 뭐든간에, 정의가 주어지면 임의의 명제를 formal logic으로 풀어쓸 수 있잖아. group도 편의상 (S,*)의 pair 형식으로 둔것이지 실제로 다른 방식으로 정의해도 그에 맞춰서 group에 대한 명제의 formal logic을 바꾸면 되는거지.
결국에 너가 보는 수학책들도 여러 수학적 명제로 적혀있지만 formal logic으로 구체적으로 적혀있는게 아닌데, 너의 잣대를 그대로 적용하면 정확한 수학은 하나도 없어. 어차피 어떤 식의 formal한 논리식으로 category를 서술하냐에 따라서 그에 따른 수학적 명제의 formal한 논리식또한 전환이 가능하기에 "consist of"와 같은 용어로 서술해도 충분한거야.
그리고 "consist of"와 같은 용어로 명시하는 이유는 proper class의 ordered pair나 이런 operation들이 nonstandard하기 때문이고,category를 정의할때 proper class의 ordered pair같은 구조에 의존하지 않고도 category에 관한 명제를 풀어쓸수 있기 때문.
예를 들어서 set theory에서 ordered pair (X,Y)는 {{X},{X,Y}}로 정의하는게 (Kuratowski의 정의) standard하게 굳어졌지만, proper class의 ordered pair는 딱히 standard하게 정해진 표기법이 없다. MK 공리계의 방식대로 정의할수도 있고, 다른 방식으로 정의할수도 있고.. 중요한건 첫 댓글에서 언급했듯이 ordered pair를 도입하지 않고도 모두 formal logic으로 풀어쓸 수 있다는 점이고, 따라서 너가 생각하는 문제가 그렇게 중요하지 않다는거다.
수학이라는게 어떤 텍스트에서 사용한 정의가 완벽하게 standard하게 딱 정해지지 않는이상, 그것을 표현하는 방식은 저자들마다 다를수 있다. 하지만 서로 다른 두 표현이 있다면 대개 두 표현간 호환이 가능하기 때문에 (거의 학계에서 standard하다고 여겨지기 전까지는) 자유롭게 냅두는 것이다.
너가 ZFC의 axiom of choice를 받아들이지 않고 다른 공리계를 들고나와서 "모든 실수의 부분집합은 lebesgue measurable하다"라고 주장할수도 있는거지. 하지만 대부분 ZF(+C)는 standard하다고 여겨지는 공리계이기 때문에, 많은 measure theory 텍스트에서 axiom of choice를 사용한 채 lebesgue measurable하지 않은 실수의 부분집합이 있다는 사실을 증명하지.
formal 하게 논리식으로 제공해주면 되는거 아님?
수학이 정확해야하는건 맞는데 모든 주장을 모든 사람들이 보기이 엄밀하게 정당화할필요는 없음. 수학에 익숙한사람이 보기에는 엄밀해보이는데 다른사람이 보기에는 안엄밀할수도있거든. 그게 수학적으로 성숙하다는것임
당장 학부위상만봐도 자명한 위상동형인 두 공간 사이의 homeomorphism을 구체적으로 명시해서주지않는경우도 많음. 수학도 윗댓글에서 말하는것처럼 모두 논리식으로 풀어쓸수있는데 장황해지니까 최대한 간결하게서술하려는거지. 여기서 말하는 간결함의 척도도 수학적 성숙에 달린거고
그러니까 formal 하게 논리식으로 정의를 할 수 있으면 그걸 보여주면 되잖아. 더럽게 장황한 논리식을 보면 왜 consist of 이런걸로 퉁치는지 이해하겠지. 근데 논리식으로 제시를 안 해주니까, 그냥 입만 살아가지고 성숙도 운운거리는걸로 받아들일 수 있지. 성숙도가 높으면 논리식 따위로 쓰는거야 귀찮지만 못할건 아니지 않겠어? 위에서 처럼 구구절절 다른 말로 설득시키려 하는것보다 논리식 제공해주는게 더 빠를거 같은데? 할수 있다면. ㅎ