너가 지난번에 질문했던 것과 유사한 질문이다. Proper class들을 모아놓은 객체 같은것을 어떤 식으로 해석해야 하는가.
http://math.stackexchange.com/questions/815308/ordered-tuples-of-proper-classes?rq=1
oo(45.64)2016-12-12 00:15:00
내가 답글로 달았던 것은 특정 proper classes의 ordered pair를 충분히 정의할 수 있는 공리계를 가정할 경우 그렇게 ordered pair로 정의해도 되고 (저 링크의 첫번째 답글), 아니면 유한개의 proper class C_1 , C_2 , ... , C_n을 모아놓은 어떤 formal statement가 있으면 (C_1 , ... , C_n)으로 생각할 게 아니라 그냥 C_1, C_2 , ... , C_n의 개별적인 formal statement로 변환해서 알아서 생각하는 경우. (저 링크의 두번째 답글의 세번째 문단).
oo(45.64)2016-12-12 00:17:00
너는 그때 왜 "수학이 무조건 정확해야하지 않느냐"라고 주장했지만, 실제로 어떤 공리계를 상정하느냐에 따라서 쓸 수 있는 개념이 있고 쓸 수 없는 개념이 있기 때문에, ZFC같은 standard하다고 여겨지는게 아닌이상 일반적으로 함부로 딱 뭐라고 말하지 않음. 위 링크의 답변처럼 notational abuse를 자의적으로 해석할수밖에 없다.
oo(45.64)2016-12-12 00:19:00
이렇게 자의적으로 해석해도 큰 문제가 없다는 것을 이해하지 못한다면, 이해를 포기하는 것이 정신건강에 이롭다.
oo(45.64)2016-12-12 00:21:00
어차피 너가 보는 수학 교과서나 이런것도 formal language로 서술된게 아니라 영어 (혹은 한글)과 같은 언어로 모두 변환해서 쓰여있잖아. 너가 그런 교재를 보고 별 문제가 없다고 인식하는것도 그것을 올바르게 formal statement로 변환할 수 있다는 확신 때문이지.
oo(45.64)2016-12-12 00:25:00
수학이 정확함을 무조건 추구한다면 교재의 모든 내용을 formal language로 서술해야하는데, 실제로 그렇지 않고 독자에게 그것을 자의적으로 문제가 안 되는 방향으로 해석하도록 하는 숙련성을 요구하고있지. 러셀과 화이트헤드의 저서처럼 수학의 각 분야별로 모든 용어를 formal language로 서술한 책이 언젠가는 나올지 모르겠지만, 별로 바람직하다고 생각하지는 않는다.
oo(45.64)2016-12-12 00:28:00
수학은 formal language로는 이해할 수 없는 학문입니다. 인간이 하는 학문이니까요. formal language로 변환하여 공리계 안에서 게임하듯이 수학을 하는 경우는 없지요. 수학자는 그렇게 수학을 하지 않아요. 수학에 대해 아는 것은 하나도 없으면서 겉멋만 들어 수학이 정확해야하네 어째야 하네 이야기하는 것이 가장 우스운 상황입니다.
그게(114.200)2016-12-12 00:42:00
ㄹㄹ야 우월감 느끼는 건 여기 말고 다른 데 가서 하려무나. 중고딩 수학 과외하면서 해석학 정도만 알려주면 신기해하면서 널 존경하지 않겠니?!?!
익명(211.41)2016-12-12 01:53:00
너보다 수학 잘하는 사람들을 시기하고 질투하지만 말고, 그 사람들이 거기까지 가기 위해서 얼마나 많이 애쓰고 고생했는지를 생각해보려무나. 단기적으로는 재능이 크게 보이겠지만, 장기적으로 볼 때에는 얼마나 많이 고생했는지랑 어디까지 갔는지랑 정비례해. 스스로 고민하고 생각하는 시간을 많이 가져봐. 왜 극도의 엄밀성을 추구하지 않을까/추구할 수 없는 걸까?라는 질문에서 시작해보는 것도 좋을 거 같아.
익명(211.41)2016-12-12 01:56:00
아니 누구 뭐라고 했나 ordered pair 랑 formal language가 왜 나와 category가 class인지 아닌지 질문했는데
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 03:05:00
난독인가.. category를 ordered pair로 정의한다면 class로 정의할 수 있고, object와 morphism 등의 formal language로 간주한다면 formal language처럼 볼 수 있는거고.. 윗 댓글에서도 말했듯이 딱 정해진게 없다고.
oo(45.64)2016-12-12 12:05:00
댓글에 달은 링크를 보면 적어도 뭘 말하려는지는 적어도 알아차려야 하는거 아니냐. 지난번 글에서 댓글 수십개 달아도 알아차리지 못했으니 당연한건가.
oo(45.64)2016-12-12 12:07:00
그건 알았는데 class가 아닐 수도 있냐고
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 17:31:00
그러니까 너가 어떻게 받아들이느냐에 따라 다를 수 있다고.. 국어능력 없음?
oo(223.62)2016-12-12 19:11:00
예를 들어 특정 카테고리가 언급되면 그 카테고리의 object와 morphism에 대한 용어로 치환한다면 category는 그냥 이런 것을 지칭하는것밖에 더 되냐. 지난번 글부터 앵무새도 아니고 똑같은 말 반복하게 만드네
oo(223.62)2016-12-12 19:16:00
뻔히 이런 댓글이 달리는데 category가 class냐고 묻는건 정말 멍청한 질문이고 답변을 아예 이해할 생각조차 않는거지. 어차피 답변 씹을거면 왜 게시판에 질문하냐
oo(223.62)2016-12-12 19:18:00
니가 하는 말이 말이 된다고 생각해?
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 21:37:00
object와 morphism 등의 formal language로 간주한다면 그건 그냥 object와 morphism 등의 formal language 이지 그게 왜 category의 formal language냐
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 21:37:00
니가 하는 말은 category는 실체가 있는게 아니라 어떤 현상을 지칭하는 거다 라는 말처럼 들리는데 그게 말이 되냐? 그건 너의 추측일 뿐이지 수학에서 실체가 있는걸 다루지 그딴게 어딨어
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 21:39:00
카테고리가 꼭 set이나 class가 되어야 한다고 생각하냐? 나는 전혀 그렇게 생각하지 않는데. category들을 모아서 뭘 한다면 문제가 되겠지만, 특정 성질을 만족하는 카테고리에 관한 정리들을 state할때는 category가 set이냐 class냐 이런건 아무런 상관이 없지.
oo(45.64)2016-12-12 22:28:00
카테고리의 공리를 만족하는 object와 morphism을 묶어서 category라고 부르는데, 결국 class 2개를 묶는 것이기 때문에 기존의 ZFC에서는 어떻게 묶어야 할 지 문제가 될 수 있고, 다른 공리계에서는 class의 ordered pair 같은것을 정의해줄 수 있어서 이런 문제를 피해갈수 있더라도, 그 공리계가 standard하지 않을수있기에 최대한 일반성을 잃지 않기 위해서 category를 set이나 class 같은 object로 두지 않는다는게 이해가 그렇게 안가냐?
oo(45.64)2016-12-12 22:29:00
수학책에서는 어떤 묶음처럼 다루어지는 대상도, formal language로 전환하는 과정에서 그 묶음을 풀어서 서술할수 있는거 아니냐. 어차피 우리는 그것을 "묶음"으로 인식할 수 있고, 그것을 올바른 방향으로 formal language로 전환할 수 있다면 충분한거야.
oo(45.64)2016-12-12 22:32:00
예를 들어서 내가 "두 finite group H와 G에 대해서 H가 G의 subgroup이면 |H|는 |G|의 약수이다"라는 명제를 서술한다고 치자. 어떤 사람은 "두 group의 pair (H,G)에 대해서 H가 G의 subgroup이면..." 식으로 서술할 수 있겠지.
oo(45.64)2016-12-12 22:36:00
어떤 사람이 "두 group의 H,G의 pair (H,G)가 nice하다는 것은, H,G가 둘다 finite group이다"라고 정의를 했고, "nice pair (H,G)에 대해서 H가 G의 subgroup이면..."이라고 명제를 다시 서술했다고 치자. nice pair가 class냐 아니냐는 전혀 중요하지 않을뿐더러, nice pair에 대한 명제들은 모조리 H와 G에 대한 명제로 변환하면 그만임.
oo(45.64)2016-12-12 22:38:00
아니 누구 뭐라고 했냐고 group이라는건 (S,*)라는 실체가 보장되어 있으니까 니가 한 말이 다 맞지
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 22:51:00
근데 category라는건 실체가 없고 현상이라는 거잖아 실체로 볼려면 class로 볼 수 있는데 이건 공리계가 standard 하지가 않아서 별로고 그러니까 결국 현상이라는건데 이게 group 과의 근본적인 차이지
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 22:52:00
그래서 딱 말해보라고 category는 실체가 없는거고 현상이다. 이 말에 동의하냐고 너는
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 22:53:00
아니, "category는 실체이지만 formal language로 서술할때 category 자체가 class인지 아닌지는 별로 중요한 사안은 아니다"라고 생각한다. 실체냐 아니냐의 여부가 꼭 formal하게 표현되어야 한다는 믿음을 가지고 있지 않거든.
oo(45.64)2016-12-12 23:39:00
Formal language로 옮기는 과정에서 그 실체 또한 구체적으로 어떤 대상인지 formal language로 서술되어야 한다고 생각하지 않음. 실제로 내가 수학을 공부하거나 연구할 때 formal language의 나열을 머릿속에서 그려가면서 융통성 없이 따지지 않으니까.
oo(45.64)2016-12-12 23:44:00
실체이지만 그게 뭔지 말은 할 수없다? 뭐 그딴게있어
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 23:46:00
누구나 어떤 대상으로 인식해야하는지 명확히 알고 있다면, 그 대상이 formal language 하에서 어떤 식으로 서술되어야 하는지까지 생각하고 싶지 않으며, 대부분의 수학자들 또한 한번쯤은 생각해보더라도 그것에 대해서 아주 중요하다고 생각하지 않는다.
oo(45.64)2016-12-12 23:47:00
너가 당장 엄밀성을 그리 추구한다면 ZFC 공리계가 consistent하지않아서 자기모순을 내포할 가능성도 있기 때문에, 처음부터 ZFC를 쓰지 말아야 하는데 당장 그렇지 않고있잖아? 너 또한 ZFC를 잘 쓰고 있고, 수학자들도 ZFC를 잘 쓰고 있지. 설령 consistent하지 않아서 ZFC 내에 문제가 발생해도, 올바르게 뜯어고칠 수 있지 않을까? 하는 확신 때문이지.
oo(45.64)2016-12-12 23:48:00
뭐 category가 실체가 아니고, 단순히 object와 morphism의 class를 가지고 노는 것이라고 생각하고 싶다면 그렇게 생각해. 어떻게 하든 머릿속에서 개념을 인식하는 사람 자유야.
oo(45.64)2016-12-12 23:49:00
아니 나는 당연히 실체여야 한다고 생각한다니까. 근데 그게 뭔지 정확히 정의가 안되어 있다는게 맘에 안드는거고
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 23:50:00
그러니까 너가 뭔지 정의를 하고 싶다면, ZFC를 확장하는 공리계에서 새로운 공리를 가져와서 정의를 하든 너 자유라고. 다만 몇몇 공리들은 axiom of choice보다 더 강력한 공리를 전제로 하는 경우가 많아. 심지어 ZFC에서는 class에 대한 argument도 없어.
oo(45.64)2016-12-12 23:53:00
그런데 내가 "실체이지만 그게 뭔지 말은 할 수없다? 뭐 그딴게있어" 라는 댓글을 너무 빨리달아서 좀 후회가 되는데 너가 댓글을 다 쓴다음에 달았어야 되는데 그다음에 너가 쓴 댓글 "누구나 어떤 대상으로 인식해야하는지 명확히 알고 있다면" 이거는 내가 쓴 댓글 "실체이지만 그게 뭔지 말은 할 수없다? 뭐 그딴게있어" 를 확인한 담에 쓴 댓글이야? 아니면 확인하기 전에 댓글을 쓴거고 댓글을 쓴 다음에 내가 쓴걸 본거야?
ㄹㄹ(116.126)2016-12-12 23:56:00
그게 "정확히" formal한 언어로 어떤 식으로 정의되는지가 그렇게 중요해? 그렇게 실컷 정의했는데 ZFC consistency가 깨져버리면 처음부터 싹다 새롭게 정의해야할수도 있는데? standard한 정의는 standard한 것으로 여기되, 나머지에 대해서는 너 스스로의 융통성을 발휘하라고 좀.
oo(45.64)2016-12-12 23:58:00
그렇게 formal한 것을 좋아하면 당장 교과서에 영어로 쓰여진 증명을 싸그리 formal한 논리식으로 변환해서 쓰세요. 영어로 쓰여진 증명도 formal한 논리식의 나열로 쓰여진 증명이 아니니 "실체"가 아니다! 라고 생각하지는 않을거 아니냐. 나는 그 영어로 쓰여진 증명도 실체라고 생각하고, 애매하게 정의된 category도 실체라고 생각한다.
oo(45.64)2016-12-13 00:01:00
수학이라는 학문이 고대부터 태동할 때 formal한 논리식의 나열이라고 간주되어져 오던것도 아니고, 나는 그게 formal language 안에서 실체를 가지냐, 가지지 않냐에는 별로 관심이 없고, 그 증명이 별다른 문제없이 formal하게 전환할수 있다는 확신이 있으면 충분히 만족스러움.
oo(45.64)2016-12-13 00:04:00
그러니까 내가 옛날 너가 게시했던 게시글에서부터 계속 주장하고 싶었던 것은, 수학이라는 게 너가 생각하는것만큼 논리적으로 완전무결한 대상이 아니니 너무 형식에 구애받을 필요가 없다는거다. 당장 내일 아침에 누군가 현대에서 standard한 공리계라고 여겨지는 ZFC 내에서 문제를 발견해서 처음부터 판을 싹다 갈아엎을수도 있음. 하지만 그렇게 된다하더라도, 결국 올바르게 잘 고쳐져서 여태까지 정의된 수많은 수학적인 개념들은 잘 보존이 될 것이라고 확신한다. 러셀이 자기 자신을 포함하지 않는 모임을 도입해서 그 전에 만들어졌던 집합론의 문제를 꼬집었을 때에도, 많은 다른 수학자들은 수학을 계속 했다.
oo(45.64)2016-12-13 00:08:00
근데 내가 물어본거 답 좀 해주면 안되냐
ㄹㄹ(116.126)2016-12-13 00:21:00
너가 위에 쓴 댓글 : "실체여야 한다고 생각하는 대상이 명확히 정의되어있지 않아서 맘에 안 든다" ,
oo(45.64)2016-12-13 00:39:00
내 답변 : "그 실체라고 생각하는 대상이 formal language로 바꿨을때에도 실체일 필요는 없다. 실체로 받아들일지 아닐지는 너 자유다. 왜 그리 formal language에 집착을 하냐, 어차피 formal language도 기존 공리계에 문제가 있어서 쓰는 공리계가 바뀌면 많이 바뀔텐데. 수학이라는게 너가 그렇게 따지는것만큼 논리적으로 무결한 학문이 아니다." 뭘 더 바라는건지.
oo(45.64)2016-12-13 00:40:00
아니 그거 말고 23:56:05에 단 댓글에 대해서
ㄹㄹ(116.126)2016-12-13 00:54:00
그 댓글 보고 답변 단건데, 그게 그렇게 중요하냐? 어차피 거의 똑같은 논조의 답변을 적을텐데
oo(45.64)2016-12-13 00:57:00
아 보고 적은거구만. 너무 빨리 댓글단게 후회가 되서...
ㄹㄹ(116.126)2016-12-13 01:00:00
그리고 쭉 답변해준거 고맙다. 결국 category는 1가지로 확실히 정의할 필요가 없어서 그냥 내버려둔거네 각자가 받아들이는 방식에 맡기고 일반성을 잃지 않는 최선의 방법이 consist of 라는 말이었구만
ㄹㄹ(116.126)2016-12-13 01:02:00
수학이라는게 너가 생각하는것처럼 엄청나게 엄밀하고 완전무결한 대상이 아니라, 오히려 수학의 발전사를 보면 이론들이 만들어지다가 Russell Paradox처럼 논리적 문제가 터지자 그것을 보완할 공리계가 만들어지는 형식으로 발전했지, 맨 처음부터 어떤 공리계가 주어지고 그에 바탕한 수많은 이론이 만들어진게 아니라고. 현재 쓰이는 공리계에 문제점이 있더라도, 많은 수학자들은 그래도 그 문제점이 결국 어떻게든 보완할 수 있을 것이라고 생각한다.
oo(45.64)2016-12-13 01:03:00
실체이지만 formal한 언어로 정의되지 않을 수 있다... 이런 경우가 category 말고 또 있었나... 아직까지 100% 동의하지는 않지만 너의 관점이 일리가 있다는건 인정한다. 그리고 니 말이 맞으니까 아마 wikipedia나 다른 책에서도 그렇게 써놨겠지... 내가 더 생각해볼게 그리고 여러가지로 답변해준거 고맙다.
ㄹㄹ(116.126)2016-12-13 01:06:00
문제가 생기더라도, 수학기초론 연구하는 학자들이 알아서 잘 하겠지. 수학기초론 전공하는게 아닌이상, 한번쯤은 그 기반이 되는 formal logic이 뭔지 생각해볼 필요가 있더라도, 그것에 대해서 오랜 시간동안 고민하고 생각할 필요까지는 없는것 같다.
oo(45.64)2016-12-13 01:06:00
그리고 실체에 대한 여부는 내 믿음이지, 어느 누군가는 그냥 object와 morphism의 class에 대한 어떤 것이라고 생각할지도 모르지. 어찌되었든 융통성있는 방향으로 알아서 받아들이면 되는것이고.
이 글 몇번째 쓰는거냐...
우월감 느끼려고 카테고리봄?
너가 지난번에 질문했던 것과 유사한 질문이다. Proper class들을 모아놓은 객체 같은것을 어떤 식으로 해석해야 하는가. http://math.stackexchange.com/questions/815308/ordered-tuples-of-proper-classes?rq=1
내가 답글로 달았던 것은 특정 proper classes의 ordered pair를 충분히 정의할 수 있는 공리계를 가정할 경우 그렇게 ordered pair로 정의해도 되고 (저 링크의 첫번째 답글), 아니면 유한개의 proper class C_1 , C_2 , ... , C_n을 모아놓은 어떤 formal statement가 있으면 (C_1 , ... , C_n)으로 생각할 게 아니라 그냥 C_1, C_2 , ... , C_n의 개별적인 formal statement로 변환해서 알아서 생각하는 경우. (저 링크의 두번째 답글의 세번째 문단).
너는 그때 왜 "수학이 무조건 정확해야하지 않느냐"라고 주장했지만, 실제로 어떤 공리계를 상정하느냐에 따라서 쓸 수 있는 개념이 있고 쓸 수 없는 개념이 있기 때문에, ZFC같은 standard하다고 여겨지는게 아닌이상 일반적으로 함부로 딱 뭐라고 말하지 않음. 위 링크의 답변처럼 notational abuse를 자의적으로 해석할수밖에 없다.
이렇게 자의적으로 해석해도 큰 문제가 없다는 것을 이해하지 못한다면, 이해를 포기하는 것이 정신건강에 이롭다.
어차피 너가 보는 수학 교과서나 이런것도 formal language로 서술된게 아니라 영어 (혹은 한글)과 같은 언어로 모두 변환해서 쓰여있잖아. 너가 그런 교재를 보고 별 문제가 없다고 인식하는것도 그것을 올바르게 formal statement로 변환할 수 있다는 확신 때문이지.
수학이 정확함을 무조건 추구한다면 교재의 모든 내용을 formal language로 서술해야하는데, 실제로 그렇지 않고 독자에게 그것을 자의적으로 문제가 안 되는 방향으로 해석하도록 하는 숙련성을 요구하고있지. 러셀과 화이트헤드의 저서처럼 수학의 각 분야별로 모든 용어를 formal language로 서술한 책이 언젠가는 나올지 모르겠지만, 별로 바람직하다고 생각하지는 않는다.
수학은 formal language로는 이해할 수 없는 학문입니다. 인간이 하는 학문이니까요. formal language로 변환하여 공리계 안에서 게임하듯이 수학을 하는 경우는 없지요. 수학자는 그렇게 수학을 하지 않아요. 수학에 대해 아는 것은 하나도 없으면서 겉멋만 들어 수학이 정확해야하네 어째야 하네 이야기하는 것이 가장 우스운 상황입니다.
ㄹㄹ야 우월감 느끼는 건 여기 말고 다른 데 가서 하려무나. 중고딩 수학 과외하면서 해석학 정도만 알려주면 신기해하면서 널 존경하지 않겠니?!?!
너보다 수학 잘하는 사람들을 시기하고 질투하지만 말고, 그 사람들이 거기까지 가기 위해서 얼마나 많이 애쓰고 고생했는지를 생각해보려무나. 단기적으로는 재능이 크게 보이겠지만, 장기적으로 볼 때에는 얼마나 많이 고생했는지랑 어디까지 갔는지랑 정비례해. 스스로 고민하고 생각하는 시간을 많이 가져봐. 왜 극도의 엄밀성을 추구하지 않을까/추구할 수 없는 걸까?라는 질문에서 시작해보는 것도 좋을 거 같아.
아니 누구 뭐라고 했나 ordered pair 랑 formal language가 왜 나와 category가 class인지 아닌지 질문했는데
난독인가.. category를 ordered pair로 정의한다면 class로 정의할 수 있고, object와 morphism 등의 formal language로 간주한다면 formal language처럼 볼 수 있는거고.. 윗 댓글에서도 말했듯이 딱 정해진게 없다고.
댓글에 달은 링크를 보면 적어도 뭘 말하려는지는 적어도 알아차려야 하는거 아니냐. 지난번 글에서 댓글 수십개 달아도 알아차리지 못했으니 당연한건가.
그건 알았는데 class가 아닐 수도 있냐고
그러니까 너가 어떻게 받아들이느냐에 따라 다를 수 있다고.. 국어능력 없음?
예를 들어 특정 카테고리가 언급되면 그 카테고리의 object와 morphism에 대한 용어로 치환한다면 category는 그냥 이런 것을 지칭하는것밖에 더 되냐. 지난번 글부터 앵무새도 아니고 똑같은 말 반복하게 만드네
뻔히 이런 댓글이 달리는데 category가 class냐고 묻는건 정말 멍청한 질문이고 답변을 아예 이해할 생각조차 않는거지. 어차피 답변 씹을거면 왜 게시판에 질문하냐
니가 하는 말이 말이 된다고 생각해?
object와 morphism 등의 formal language로 간주한다면 그건 그냥 object와 morphism 등의 formal language 이지 그게 왜 category의 formal language냐
니가 하는 말은 category는 실체가 있는게 아니라 어떤 현상을 지칭하는 거다 라는 말처럼 들리는데 그게 말이 되냐? 그건 너의 추측일 뿐이지 수학에서 실체가 있는걸 다루지 그딴게 어딨어
카테고리가 꼭 set이나 class가 되어야 한다고 생각하냐? 나는 전혀 그렇게 생각하지 않는데. category들을 모아서 뭘 한다면 문제가 되겠지만, 특정 성질을 만족하는 카테고리에 관한 정리들을 state할때는 category가 set이냐 class냐 이런건 아무런 상관이 없지.
카테고리의 공리를 만족하는 object와 morphism을 묶어서 category라고 부르는데, 결국 class 2개를 묶는 것이기 때문에 기존의 ZFC에서는 어떻게 묶어야 할 지 문제가 될 수 있고, 다른 공리계에서는 class의 ordered pair 같은것을 정의해줄 수 있어서 이런 문제를 피해갈수 있더라도, 그 공리계가 standard하지 않을수있기에 최대한 일반성을 잃지 않기 위해서 category를 set이나 class 같은 object로 두지 않는다는게 이해가 그렇게 안가냐?
수학책에서는 어떤 묶음처럼 다루어지는 대상도, formal language로 전환하는 과정에서 그 묶음을 풀어서 서술할수 있는거 아니냐. 어차피 우리는 그것을 "묶음"으로 인식할 수 있고, 그것을 올바른 방향으로 formal language로 전환할 수 있다면 충분한거야.
예를 들어서 내가 "두 finite group H와 G에 대해서 H가 G의 subgroup이면 |H|는 |G|의 약수이다"라는 명제를 서술한다고 치자. 어떤 사람은 "두 group의 pair (H,G)에 대해서 H가 G의 subgroup이면..." 식으로 서술할 수 있겠지.
어떤 사람이 "두 group의 H,G의 pair (H,G)가 nice하다는 것은, H,G가 둘다 finite group이다"라고 정의를 했고, "nice pair (H,G)에 대해서 H가 G의 subgroup이면..."이라고 명제를 다시 서술했다고 치자. nice pair가 class냐 아니냐는 전혀 중요하지 않을뿐더러, nice pair에 대한 명제들은 모조리 H와 G에 대한 명제로 변환하면 그만임.
아니 누구 뭐라고 했냐고 group이라는건 (S,*)라는 실체가 보장되어 있으니까 니가 한 말이 다 맞지
근데 category라는건 실체가 없고 현상이라는 거잖아 실체로 볼려면 class로 볼 수 있는데 이건 공리계가 standard 하지가 않아서 별로고 그러니까 결국 현상이라는건데 이게 group 과의 근본적인 차이지
그래서 딱 말해보라고 category는 실체가 없는거고 현상이다. 이 말에 동의하냐고 너는
아니, "category는 실체이지만 formal language로 서술할때 category 자체가 class인지 아닌지는 별로 중요한 사안은 아니다"라고 생각한다. 실체냐 아니냐의 여부가 꼭 formal하게 표현되어야 한다는 믿음을 가지고 있지 않거든.
Formal language로 옮기는 과정에서 그 실체 또한 구체적으로 어떤 대상인지 formal language로 서술되어야 한다고 생각하지 않음. 실제로 내가 수학을 공부하거나 연구할 때 formal language의 나열을 머릿속에서 그려가면서 융통성 없이 따지지 않으니까.
실체이지만 그게 뭔지 말은 할 수없다? 뭐 그딴게있어
누구나 어떤 대상으로 인식해야하는지 명확히 알고 있다면, 그 대상이 formal language 하에서 어떤 식으로 서술되어야 하는지까지 생각하고 싶지 않으며, 대부분의 수학자들 또한 한번쯤은 생각해보더라도 그것에 대해서 아주 중요하다고 생각하지 않는다.
너가 당장 엄밀성을 그리 추구한다면 ZFC 공리계가 consistent하지않아서 자기모순을 내포할 가능성도 있기 때문에, 처음부터 ZFC를 쓰지 말아야 하는데 당장 그렇지 않고있잖아? 너 또한 ZFC를 잘 쓰고 있고, 수학자들도 ZFC를 잘 쓰고 있지. 설령 consistent하지 않아서 ZFC 내에 문제가 발생해도, 올바르게 뜯어고칠 수 있지 않을까? 하는 확신 때문이지.
뭐 category가 실체가 아니고, 단순히 object와 morphism의 class를 가지고 노는 것이라고 생각하고 싶다면 그렇게 생각해. 어떻게 하든 머릿속에서 개념을 인식하는 사람 자유야.
아니 나는 당연히 실체여야 한다고 생각한다니까. 근데 그게 뭔지 정확히 정의가 안되어 있다는게 맘에 안드는거고
그러니까 너가 뭔지 정의를 하고 싶다면, ZFC를 확장하는 공리계에서 새로운 공리를 가져와서 정의를 하든 너 자유라고. 다만 몇몇 공리들은 axiom of choice보다 더 강력한 공리를 전제로 하는 경우가 많아. 심지어 ZFC에서는 class에 대한 argument도 없어.
그런데 내가 "실체이지만 그게 뭔지 말은 할 수없다? 뭐 그딴게있어" 라는 댓글을 너무 빨리달아서 좀 후회가 되는데 너가 댓글을 다 쓴다음에 달았어야 되는데 그다음에 너가 쓴 댓글 "누구나 어떤 대상으로 인식해야하는지 명확히 알고 있다면" 이거는 내가 쓴 댓글 "실체이지만 그게 뭔지 말은 할 수없다? 뭐 그딴게있어" 를 확인한 담에 쓴 댓글이야? 아니면 확인하기 전에 댓글을 쓴거고 댓글을 쓴 다음에 내가 쓴걸 본거야?
그게 "정확히" formal한 언어로 어떤 식으로 정의되는지가 그렇게 중요해? 그렇게 실컷 정의했는데 ZFC consistency가 깨져버리면 처음부터 싹다 새롭게 정의해야할수도 있는데? standard한 정의는 standard한 것으로 여기되, 나머지에 대해서는 너 스스로의 융통성을 발휘하라고 좀.
그렇게 formal한 것을 좋아하면 당장 교과서에 영어로 쓰여진 증명을 싸그리 formal한 논리식으로 변환해서 쓰세요. 영어로 쓰여진 증명도 formal한 논리식의 나열로 쓰여진 증명이 아니니 "실체"가 아니다! 라고 생각하지는 않을거 아니냐. 나는 그 영어로 쓰여진 증명도 실체라고 생각하고, 애매하게 정의된 category도 실체라고 생각한다.
수학이라는 학문이 고대부터 태동할 때 formal한 논리식의 나열이라고 간주되어져 오던것도 아니고, 나는 그게 formal language 안에서 실체를 가지냐, 가지지 않냐에는 별로 관심이 없고, 그 증명이 별다른 문제없이 formal하게 전환할수 있다는 확신이 있으면 충분히 만족스러움.
그러니까 내가 옛날 너가 게시했던 게시글에서부터 계속 주장하고 싶었던 것은, 수학이라는 게 너가 생각하는것만큼 논리적으로 완전무결한 대상이 아니니 너무 형식에 구애받을 필요가 없다는거다. 당장 내일 아침에 누군가 현대에서 standard한 공리계라고 여겨지는 ZFC 내에서 문제를 발견해서 처음부터 판을 싹다 갈아엎을수도 있음. 하지만 그렇게 된다하더라도, 결국 올바르게 잘 고쳐져서 여태까지 정의된 수많은 수학적인 개념들은 잘 보존이 될 것이라고 확신한다. 러셀이 자기 자신을 포함하지 않는 모임을 도입해서 그 전에 만들어졌던 집합론의 문제를 꼬집었을 때에도, 많은 다른 수학자들은 수학을 계속 했다.
근데 내가 물어본거 답 좀 해주면 안되냐
너가 위에 쓴 댓글 : "실체여야 한다고 생각하는 대상이 명확히 정의되어있지 않아서 맘에 안 든다" ,
내 답변 : "그 실체라고 생각하는 대상이 formal language로 바꿨을때에도 실체일 필요는 없다. 실체로 받아들일지 아닐지는 너 자유다. 왜 그리 formal language에 집착을 하냐, 어차피 formal language도 기존 공리계에 문제가 있어서 쓰는 공리계가 바뀌면 많이 바뀔텐데. 수학이라는게 너가 그렇게 따지는것만큼 논리적으로 무결한 학문이 아니다." 뭘 더 바라는건지.
아니 그거 말고 23:56:05에 단 댓글에 대해서
그 댓글 보고 답변 단건데, 그게 그렇게 중요하냐? 어차피 거의 똑같은 논조의 답변을 적을텐데
아 보고 적은거구만. 너무 빨리 댓글단게 후회가 되서...
그리고 쭉 답변해준거 고맙다. 결국 category는 1가지로 확실히 정의할 필요가 없어서 그냥 내버려둔거네 각자가 받아들이는 방식에 맡기고 일반성을 잃지 않는 최선의 방법이 consist of 라는 말이었구만
수학이라는게 너가 생각하는것처럼 엄청나게 엄밀하고 완전무결한 대상이 아니라, 오히려 수학의 발전사를 보면 이론들이 만들어지다가 Russell Paradox처럼 논리적 문제가 터지자 그것을 보완할 공리계가 만들어지는 형식으로 발전했지, 맨 처음부터 어떤 공리계가 주어지고 그에 바탕한 수많은 이론이 만들어진게 아니라고. 현재 쓰이는 공리계에 문제점이 있더라도, 많은 수학자들은 그래도 그 문제점이 결국 어떻게든 보완할 수 있을 것이라고 생각한다.
실체이지만 formal한 언어로 정의되지 않을 수 있다... 이런 경우가 category 말고 또 있었나... 아직까지 100% 동의하지는 않지만 너의 관점이 일리가 있다는건 인정한다. 그리고 니 말이 맞으니까 아마 wikipedia나 다른 책에서도 그렇게 써놨겠지... 내가 더 생각해볼게 그리고 여러가지로 답변해준거 고맙다.
문제가 생기더라도, 수학기초론 연구하는 학자들이 알아서 잘 하겠지. 수학기초론 전공하는게 아닌이상, 한번쯤은 그 기반이 되는 formal logic이 뭔지 생각해볼 필요가 있더라도, 그것에 대해서 오랜 시간동안 고민하고 생각할 필요까지는 없는것 같다.
그리고 실체에 대한 여부는 내 믿음이지, 어느 누군가는 그냥 object와 morphism의 class에 대한 어떤 것이라고 생각할지도 모르지. 어찌되었든 융통성있는 방향으로 알아서 받아들이면 되는것이고.