수학갤이란 곳도 있네요^^

저도 대학 때 수학 공부를 참 많이 했었는데요..

옛날 생각이 많이나네요..


오늘 우연치 않게 유수적분을 봤는데..

생각난김에 몇자 적어 봅니다..


흔히 실변수 함수를 다루다 보면..

해결되지 못하는 문제들이 많습니다..

여기서 도입된게 이매진 넘버 복소수 인데요..


이게 정말 공학적으로 솔루션을 구하는데

강력한 도구가 되기 때문이죠..


일단 복소해석의 가장 큰 장점은..

실함수에서 정의되지 못한 영역을 정의 할 수 있다는 것입니다

이렇게 계산된 결과를 가지고 해를 추적하는 것이지요..

그리고 여기서 필요한 실수부 영역만 취하면..

현실적으로는 합리적인 결과를 도출해 낼 수 있죠..

(물론 허수부가 아무 의미가 없는 것이 아니죵..

가령 퍼텐셜이론의 관점에서 보면 프사이로 나타나는

허수부가 역선의 방향을 가르쳐 주기도 하니 말입니다..

이 부분을 상수로 잡으면.. 새로운 결과를 만들 수 있지요..)


잡소리가 길었네요..

복소함수라 하면.. 가장 큰 장 점이..

주어진 복소함수를 해석함수로 만들 수가 있다면..

전구간 무한번의 오더를 갖는 다는 점이죠..


여기서 자연스럽게 급수해법이 도입됩니다..

실제로 미분방정식의 해를 구하는 과정에서..

해는 중첩의 형태로 나타나는 경우가 부지기수인데..

여기서 1차독립인 선형 벡터들로 결합을 할 수 있지요..


즉.. 굉장히 복잡한 미분방정식의 해를 구하는 과정에서는

급수해법이 강력한 도구인데요..

복소해석이 저러한 장점을 가지고 있어서..

급수 전개가 가능해집니다.. (미분을 계속 할 수 있으니까..)

이것이 현대수학에서 복소해석을 하는 이유라고 생각합니다..


이제 여기서 발전이되면서..

테일러급수 전개 더 크게는 특이점을 확대 및 축소 시키면서..

음의 차수를 얻는 로렌츠 급수전개가 가능해집니다


여기서 현대 수학의 아버지라 불리는 코시가..

참 많은 이론을 적립시켰죠..

다 생략하고...



주어진 복소함수가

로렌츠 급수 전개가 가능하다면..

적분이 힘들어 보이는 함수도..

유수 b1을 구해서 거기에 2파이i만 곱하면

경로적분 값을 구할 수가 있습니다

개인적으로 현존하는 적분 공식 중

가장 세련되고 아름다운 적분 법이라 생각합니다..


이렇듯 복소해석은 굉장한 장점이 있습니다..

파동방정식 및 열전도 방정식에서

푸리에 급수가 등장하는 것이 자연스럽듯..


또는 자연대수 e가 일상생활에서 나타나는 것이

자연스럽듯..

복소해석도 그런 범주 중 하나라고 생각합니다..


생각나서 한 번 써봤습니다.. 캬..


하지만 현재 웬만한 대학교 문제들은

라플라스 변환이나 푸리에 급수/fft 정도만

능숙하게 다를 수 있으면 큰 무리없이 해결되는 것 같더라구요..