viewimage.php?id=20bcc42ee0df39b267bcc5&no=29bcc427b28677a16fb3dab004c86b6fae7cfdc6a7b48ad935a3cbd42137a4928864cc7a12a83035f8ae920826e3f409f90c812685201c0a7fff1aeafb0c19c80f




스튜어트 미적분 7판이야.


문제는 ---->  lim_(x->3) x^2 = 9 임을 보여라.  임.


내가 더 쉽게 써볼건데 권위 있는 텍스트가 틀리진 않았을테니

아마도 내 방법이 틀린 것이라고 짐작은 되지만 더 간단하니까 써볼테니 여기서 오류를 지적해 줘.



|x-3| < δ 일 때, 임의의 양수 ε에 대해서 |(x^2) - 9 | <  ε 을 만족시키는 양수 δ가 항상 존재함을 보이면 되잖아.


|(x^2) - 9 | = |x+3| |x-3| 이고, 수의 무한성에 근거하여 x가 실수일 때 |x+3| < C 를 만족하는 어떤 임의의 양수 C가 존재한다는 것은 자명함.


|x+3| < C 를 만족하는 임의의 양수 C 에 대해서

|x+3| |x-3| < C |x-3| 가 되고,

|x-3| < δ 에서 양변에 양수 C를 곱하면 -->  C|x-3| < Cδ 이므로

적절한 델타값을 추정하기 위해서  Cδ = ε 로 놓으면,

|x+3| |x-3| < C |x-3| < Cδ =  ε    이 된다.


즉, 입실론에 대한 델타의 추정값은  δ = ε / C  이다. (단, C는 |x+3| 보다 큰 임의의 양수)


이제 이 델타값이 조건을 만족하는지 검증하자면


|x+3| < C 이고, |x-3| < δ = ε/C 이면  ---> |x+3| |x-3| < C * (ε/C) = ε 이 되어서 조건을 만족한다.

 (∵ A,B,C,D가 양수이고, A < B이고, C < D 이면, AC < BD 이므로)


(증명 끝)


증명 끝 같은 소리 하고 자빠졌네.ㅋㅋㅋ

위 내용은 기존 글로 엉터리임.


그런데 왜 엉터리인지 명확히 설명은 못하겠음.

입실론/C 에 C를 곱하면 입실론이 되는 것은 당연한데

당연한 식 변형을 해놓고 증명이랍시고 써놓은 느낌.ㅠㅠ


(내용 추가)

" |x-3| < δ 이면, |(x^2) - 9 | < ε 이다. " 에서 δ의 의미는 x와 3 간의 간격이다.

이때 C가 |x+3| < C 라는 제한이 있다면, x의 값으로 어떤 수를 선택하느냐에  따라서 사용될 수 있는 C값에 제한이 생기게 된다.

δ의 의미는 x와 3 간의 간격이므로, 어떤 δ값을 선택하느냐에 따라서 C값으로 가능한 수에 제한이 생긴다.

그런데, 언제나 δ = ε/C 라고만 추정하면, δ의 변화가 C값의 변화를 가져오므로 (만일 δ의 변화에도 불구하고 그에 맞춰 C값이 변화하지 않는다면 틀림.) 임의의 양수 ε에 대응하는 δ값의 존재를 보일 수 없게 된다. (입실론 값의 변화 -> 델타값의 변화를 가져오는데, 델타값의 변화 -> C값의 변화를 가져오게 되어서, 결과적으로 임의의 입실론값에 대응하는 델타값의 존재를 보일 수 없음.???)

따라서 C값은 δ값의 범위를 제한 가정한 상태( 0 < δ ≤ [가정값]) 에서 특정 숫자로 추정되어야만 하며(편의상 δ ≤ 1 로 가정하는 경우가 많은 듯.), 당연히 이 C값은 δ ≤ [가정값] 일 때에만 유효한 것이므로, δ = ε/C ≤ [가정값] 일 때에는 δ = ε/C 으로 선택하고, ε/C > [가정값] 일 때에는  δ = [가정값] 으로 선택한다. ( δ = min {가정값, ε/C}  )




=============================================================================================


### 손 글씨로 검증이랍시고 써놓은 것 사진 찍은 것은 내용이 엉터리로 보여져서 삭제함 ###






이하는 텍스트의 내용을 더 쉽게 이해되도록 풀이해 놓은 것.

------------------------------------------------------



그러니까 C의 값은 x의 값을 어떻게 놓느냐에 따라서 값이 변하게 되는 "x의 함수값"이 됨.


입실론과 델타의 관계식에 x의 값에 따라서 변하는 값을 쓸 경우

극한의 정의에서의 조건 명제에서 가정 자체를 세울 수가 없는 경우가 생김.


저기에서 조건이 성립하게 하려면 델타값이 커져야 하고 --> 입실론 값이 커지거나, C값이 작아져야 함.

즉, C는 " | x+3 | < C " 을 만족하는 임의의 양수가 사용될 수 없으며 구체적으로 가능한 C의 값이 한정되어야 함.


C의 값이 제한되기 위해서는 당연히 x의 값이 제한됨이 필요함.


사실 극한의 정의인 "임의의 양수 ε에 대해서  |x-a| < δ 이면, |f(x) - L | <  ε 을 만족시키는 양수 δ가 존재할 경우 x가 a로 접근할 때의 f(x)의 극한값은 L 이다." 에서

입실론의 값이 충분히 클 경우에는 델타의 값이 존재하는 것은 당연하며,

"입실론 = 원하는 만큼 0에 근접하는 수"에서 델타값이 존재하느냐가 관심사이므로

델타값을 어느 이상 작게 잡은 상태에서 극한의 정의에서의 조건 명제가 성립하는지를 따져본다.


본 문제에서는 x와 3간의 거리를 1 미만으로 제한하여, C=7 을 얻어냄.


" C = 7 " 은 |x-3| < 1 이라는 가정 (x와 3 간의 간격이 1 보다 작다는 가정) 으로부터 얻어진 값인데, δ는 x와 3 간의 간격을 제한하는 값이므로 " |x-3| < δ ≤ 1 " 이 만족되어야만 C = 7 이라는 값과 서로 모순되는 경우가 없게 됨. 즉, δ = ε/7 로 추정하려면, δ = ε/7 ≤ 1 을 만족해야만 한다.

만일 1 < ε/7  일 때에는 1 < ε/7 = δ 이라면 "δ > 1" 이 나오게 되어서 "C = 7" 과 서로 맞지 않는 경우가 생기게 된다. 

예) ε = 70 이면,  δ = ε/7 = 10 이므로, x = 10 일 때 " |x-3| < 10 이면 " 이라는 조건은 만족하지만, "| (x^2) - 9 |  < 70 이다." 이라는 결론은 만족 못하게 됨.


즉, δ = ε/7 이라는 추정은 ε/7 ≤ 1 일 때에만 유효하므로 ( 1 = ε/7  인 경우에는 1 = ε/7 = δ 이므로, 어느 것으로 잡아도 무방함.)


i) 1 ≤ ε/7 인 경우에는 ( ε ≥ 7 ) ---> δ = 1  로 잡고,

ii) 1 > ε/7 인 경우에는 ( ε < 7 ) ---> δ = ε/7  로 잡아서

로 나누어서 각각의 경우에서 참임을 검증함. 



i) 1 ≤ ε/7 인 경우에는 ( ε ≥ 7 ) ---> δ = 1

|x - 3| < δ = 1  이면,  |x+3| < 7  이므로

=====>  |x-3| |x+3| < 7 ≤ ε        [성립]


ii) 1 > ε/7 인 경우에는 ( ε < 7 ) ---> δ = ε/7

  |x - 3| < δ = ε/7   이고,  |x+3| < 7   이므로

  |x-3| |x+3| < 7δ = 7 * (ε/7) =  ε        [성립]


이렇게 모두 성립한다.






[결론]

입실론과 델타의 관계식에 상수가 아니라 델타값에 따라서 같이 변하는 값이 사용될 경우에는 임의의 양수 입실론의 값을 만족하는 델타값의 존재를 보일 수 없는 일이 생긴다. (증명이 안된다.)