k를 n x n 행렬의 entry를 구성하는 field (혹은 ring)이라 할 때, column vector와 row vector를 k^n의 원소로 처음부터 간주한다면 행공간과 열공간은 처음부터 k^n의 subspace이고 "같음". 근데 그냥 column vector와 row vector를 다른 대상 (하나는 세워놓은 것, 하나는 눕혀놓은 것) 으로 간주한다면 다르지만, 대칭행렬의 경우 행공간과 열공간이 isomorphic함.
oo(45.64)2017-01-15 19:59:00
예를 들어서 위키피디아의 정의에서는 전자의 정의를 따르고 있고, Hoffman-Kunze 책에서는 후자의 정의, 즉 k^{n x m}을 n x m 행렬의 vector space라 하고, 열공간은 k^{n x 1}, 행공간은 k^{1 x n}의 구성원소로서, k^{n x 1}과 k^{1 x n}이 isomorphic하니 같은 대상으로 간주하자는 입장임.
oo(45.64)2017-01-15 20:07:00
행공간과 열공간이 집합으로서 같은지 다른지는 수학에서 관심의 대상이 아님. 같게 두든 다르게 두든 아무런 영향도 없고, 어차피 관심있는건 vector space로서의 성질이지, 집합으로서의 성질을 관찰할 것이 아니므로 상관이 없음.
oo(45.64)2017-01-15 20:09:00
답변 고맙다. 결국 이럴수도 있고 저럴수도 있다는거고 내가 지적하는 것들은 다 뭔가 마음에 걸리는게 있어서 오랜 고민끝에 그 본질을 들여다보고 포착을 해내는 거고. 이런 고민 깊게 해본놈들은 별로 없겠지 내가 뭐 질문글 올리면 쳐웃기만 하드만
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:18:00
근데 집합적으로 같냐랑 집합적으로 다르지만 isomorphic을 구분할 필요가 없고 영향이 없고 관심이 없다고 했는데 분명히 문제가 될 소지가 있지. 수학 연구에서는 당연히 상관이 없지만. 대학교 시험에 T/F 문제가 이걸로 나오면 논란이 생길 수 있는거지
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:19:00
교수 성향을 모르니까. 답을 T로 하고 학생이 F아니예요? 왜 T죠? 라고 해도 교수는 할말이 있는거고. 답을 F로 하고 학생이 T아니예요? 라고 해도 반박이 가능하니까.
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:20:00
그렇게 애매하게 문제를 적는 교수가 잘못임. "같다"라는게 구체적으로 어떤 의미에서 같은지 (vector space로서 isomorphic한 것을 물어보는 것인지, 아니면 말 그대로 집합으로서 같은것을 의미하는지) 물어봐야함. 아니면 완전히 말장난 문제이고, 이런 문제를 내서 수학능력을 측정할수도 없음.
oo(45.64)2017-01-15 20:28:00
그리고 만약 교수가 같다라고만 적고 아무런 말이 없다면, 시험 중간에 교수에게 문제에 대해서 질문할 수 있겠지. (이것이 up to isomorphism 하에 같은 것인지 아닌지) 이런 질의를 제대로 받지 않고 애매하게 문제를 출제한다면 그것은 교수의 잘못.
oo(45.64)2017-01-15 20:31:00
애매하게 문제를 안적고 대칭행렬에서 행공간과 열공간은 집합적으로 완전히 같다. 이렇게 적어도 T도 될 수 있고 F도 될 수 있다는 거잖아
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:32:00
이런 쓸데없는 문제를 교수가 출제할 이유도 없을 뿐더러 (낸다고 학생들의 능력을 제대로 평가할 수 있는게 아니니까) 낸다고 쳐도 어차피 아주 가끔 몇몇 과목에서 나올 수 있겠지. 그런거 한개정도 틀려준다고 받는 학점이 크게 달라지지도 않고, 인생이 변하지도 않는다.
oo(45.64)2017-01-15 20:33:00
앞에서 말했듯이 행공간과 열공간을 집합으로서 어떻게 정의하는지 별로 관심이 없기 때문에, 그런 질문을 안 낸다. 내면 그런 쓰레기같은 문제를 낸 교수의 잘못.
oo(45.64)2017-01-15 20:34:00
그런거 곧잘 출제하는 교수라면 학생들 골탕먹이려고 시험문제 출제하는 교수니까 그런 교수 강의는 걸러들으면 된다. 어쨌든 교수가 이런 병신같은 문제를 출제하면 어떨까? 같은 쓸데없는 고민은 뭣하러 함
oo(45.64)2017-01-15 20:37:00
그건 그렇고 어제 글에는 왜 더이상 댓글 안다냐 사람 난독증으로 몰아놓고
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:43:00
카테고리를 모아놓고 그 모아놓은 공간 위에서 성질을 관망할 게 아닌 이상, 카테고리의 모임을 어떻게 정의하느냐는 별로 중요한 문제도 아니고, 시간 낭비라는 뜻에서 댓글을 달았다. 카테고리의 실체 여부가 뭐가 중요하냐. 마찬가지로 행공간과 열공간이 집합론적으로 어떤 식으로 정의되어있는지도 별로 상관없는 문제임.
oo(45.64)2017-01-15 20:46:00
한두번 생각해볼 수는 있더라도, 그런 것에 수많은 시간을 투자해야할 가치는 없는 것 같다. 사람마다 관점이 다를 수 있는데, 나라면 그 시간에 다른 공부를 할 듯.
oo(45.64)2017-01-15 20:47:00
아니 어제랑 똑같은 얘기를 자꾸 하는데 카테고리의 모임을 어떻게 정의하느냐 이게 자꾸 왜나오냐고
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:50:00
수학기초론 하는 사람들도 별로 큰 관심을 가지지 않는다. 어떤 개념들이 훗날 standard한 것으로 받아들여져서 올바른 표기법이 나온다 쳐도, 그것이 엄청난 영향을 미칠 것 같지도 않음. 공리적 집합론이 나오기 전에도 사람들은 group, ring, field 가지고 잘 연구하고 살았음.
oo(45.64)2017-01-15 20:51:00
어제 그래서 니가 난독증인가? 하고 댓글 달고 내가 니가 그렇게 썼다 라고 하니까 니가 그냥 튄거아니야
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:51:00
그러니까 우리가 일반적으로 특정 대수적인 객체들로 이루어진 moduli space를 따지는 것처럼, 카테고리들을 모아놓고 뭘 할게 아닌 이상, 카테고리가 구체적으로 어떻게 정의되는지는 수학자들의 관심의 대상이 될 수 없다는 뜻이다.
oo(45.64)2017-01-15 20:53:00
그러니까 너가 그것들을 모아놓고 어떤 수학적 연구를 하겠다면 당연히 그 전에 앞서서 수학적으로 well-defined되어야 하니 "카테고리의 정의"나 "카테고리의 실체"에 대해서 생각해볼 법 하지만, 그런게 아니라면 카테고리의 정의나 실체에 대해서 고민해볼 필요가 없다고.
oo(45.64)2017-01-15 20:54:00
말투를 정정하자면, 이건 내 개인적인 생각이니 어떤 사람들은 고민하는게 중요하다고 생각할 수 있지만, 고민한다고 명확한 답이 나오지도 않을 뿐더러 수학적으로 standard하지도 않은데, 시간 낭비가 아닐까.
oo(45.64)2017-01-15 20:56:00
처음부터 제대로 쓰라고 니가 잘못써갖고 이렇게 된건데 뭘 자꾸 그러니까야
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:57:00
너의 지금 문제점이 뭔지 아냐? 1. 어제 잘못 씀 2. 내가 잘못쓴거에 대해 뭐라하니까 사람 난독증으로 몰음. 3. 해명안하고 그냥 튐 4. 어제 잘못썼으면 오늘은 더 신중하게 써야되는데 또 똑같이 잘못 씀. 5. 또 잘못쓴거에 대해 지적하니까 잘못썼다고 인정은 안하고 그러니까 그러니까 자꾸 이러고 있음. 6. 어제 날 난독증으로 몰은건 내가 잘못쓴거였다고 인정 안함
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 20:58:00
"카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 그것을 모아놓은 것이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠" 지난번 댓글에도 이렇게 달았는데, 너가 달은 댓글은 "카테고리를 모아놓고 뭘 하겠다는게 아닌데" 식의 댓글이었음.
oo(45.64)2017-01-15 21:01:00
ㄹㄹ에게 먹이를 주지 맙시다 ㅜㅜ
ㄱ(39.7)2017-01-15 21:01:00
내 의견은 카테고리를 모아놓고 너가 그 위해서 수학적 성질을 조망하겠다는게 아니라면, 시간 낭비인 것 같다는 의견이었고 이렇게 계속 다는데 이상한 말을 자꾸 하니까 난독증이냐고 물어봤던 것임.
oo(45.64)2017-01-15 21:02:00
와 진짜 사람 개빡치게 하네 다시 읽어보고와 내가 언제그랬냐? 그리고 너는 지금 잘못쓴게 없다는거야 뭐야
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:04:00
그리고 지난번에 댓글 100개 넘게 달면서 카테고리의 실체 등에 대해서 논쟁했었는데, 또 그 주제에 대해서 끌고나왔으니 난독증이냐고 물어봤던거지.
oo(45.64)2017-01-15 21:06:00
넌 왜 니가 잘못썼다고 인정을 안해?
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:08:00
"카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 그것을 모아놓은 것 (카테고리들) 이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠" : 결국에 너가 논하고자 했던게 카테고리들이 어떤 실체를 가지는지에 대한 논쟁 아니야. 그래서 그 "카테고리들에 대한 실체"가 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없다고.
oo(45.64)2017-01-15 21:09:00
내가 뭘 잘못 썼는지 지적을 해주기를 바란다. 나는 지난번 글부터 "카테고리들에 대한 실체"를 생각해 볼 필요가 없다는 댓글을 똑같은 논조로 계속 달았다.
oo(45.64)2017-01-15 21:10:00
너의 의견이 "나는 카테고리 하나만 가지고 따지겠다는건데 카테고리의 모임이 왜 나와요?"라는 의견이라면... 너가 특정 카테고리 (예를 들어서 group) 하나를 가지고 그 실체를 파악하려는 게 아니라면, 당연히 일반적인 "카테고리"에 대한 실체를 파악하는 것이 될 것이고 그래서 그 취지에서 "카테고리들"이라고 지칭한 거다.
oo(45.64)2017-01-15 21:12:00
그것을 모아놓은 것 (카테고리들) 여기서 그것 = 카테고리들 이라는 뜻이야?
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:12:00
서로 논조가 빗나갔다면 서로의 논쟁에 대해서 이해못한 양측의 잘못이 있을 것이고, 난독증이라고 쓴 것은 지난번에 댓글 100개 넘게 달았는데 강박증 환자처럼 또 왈가왈부해도 결론이 나지 않을 주제를 끌고 나오니 열 받아서 썼다.
oo(45.64)2017-01-15 21:15:00
(그것을 모아놓은 것) = (카테고리들). 그것 = 카테고리들을 모아놓은 공간이라고 이해했다면 그렇게 쓴 내 잘못이지. 근데 앞에서 "카테고리들을 모아놨다고 했으니" 당연히 "그것"은 카테고리 하나하나가 되지 않겠냐..
oo(45.64)2017-01-15 21:17:00
그것 = 카테고리들을 모아놓은 공간이라고 이해 할 수가 없지 그러면 카테고리들을 모아놓은 공간을 또 모아놓는다는건데 아예 말이 안되는거고
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:22:00
그것 = 카테고리 이게 맞지 그러니까 이제 여기서부터 따져보자고
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:22:00
(그것을 모아놓은 것) = (카테고리들) = (카테고리들을 모아놓은 공간) 이렇게 되는거네? 카테고리들과 카테고리들을 모아놓은 공간은 같은 뜻이지?
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:24:00
그러니까 그것 = 카테고리라고.. 그래서 "카테고리들을 모아놓고 수학적인 어떤 성질을 관찰하겠다는게 아닌 이상" "카테고리들의 실체나 수학적 의미, 이런 것들을 생각할 이유가 전혀 없다".
맞긴 한데, 공간이라고 묘사한것은 그것의 기하적인 성질 (혹은 수학적인 성질)을 관망하기 위한 것을 강조하기 위해서 달아놓은 것 뿐이지.
oo(45.64)2017-01-15 21:30:00
그래. 맞잖아. 그러니까 결국 그것=카테고리 로 치환해서서 다시 써보면 결국 넌 이렇게 쓴거 아니야. "카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 카테고리들을 모아놓은 것이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠.
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:33:00
너가 "실체"를 논하는게, 카테고리를 object와 morphism의 묶음이라는 어떤 하나의 "수학적 object"로서의 존재가 그것의 실체의 여부를 말하지 않는가, 에 대해서 지난번 댓글 100개짜리 글에서 논했기 때문이잖아. 결국 다시 말하면 R^2라는 유클리드 공간 위에서 한 점 한 점이 하나의 실체가 되는 것처럼, "카테고리들을 모아놓은 공간" 위에서 카테고리 하나하나가 수학적인 object로서 잘 정의된다면 한 점 한 점이 그에 대한 실체가 되겠지. 근데 이 공간 위에서 뭘 하겠다는게 아니라면, category들을 어떻게 정의할 것인지는 아무런 상관이 없다는 뜻이다.
oo(45.64)2017-01-15 21:34:00
그럼 이건 다시 "카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 카테고리들을 모아놓은 공간이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠. 라는 뜻이 되는거고
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:34:00
그러니까 다시 말하면, 카테고리의 개별적인 실체를 놓고 따지는 건 무의미하며, 카테고리의 공간을 놓고 논한다면 비로소 의미를 가진다는 뜻이다. 너가 "나는 카테고리의 모임을 따진게 아니다" 식의 댓글을 단 게, 내 쪽에서는 "나는 무의미한 행동을 하고 있다"라는 뜻으로 받아들여졌다고.
oo(45.64)2017-01-15 21:37:00
" [카테고리들을 모아놓은 공간] 을 가지고 뭘 하지 않는이상 [카테고리들을 모아놓은 공간] 이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠." 라고 니가 썼는데 이게 너의 논지를 제대로 드러냈다고 생각해? 아니면 잘못쓴거같애?
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:40:00
oo형 저런 말투 쓰는 건 첨 봤다 ㄷㄷ
소심한펭귄알(37.47)2017-01-15 21:40:00
지난번에 댓글 100개 달면서 "카테고리의 실체는 무의미하다"라고 주장을 했는데, 또 그 실체를 들고나오니 난독이라고 화가 나서 답글을 단 것이고. 내 말인즉슨 그 실체를 다른 사람은 이해 못하고 너가 이해했다 하든 말든, 그것이 뭐가 중요한가 이 말이다..
oo(45.64)2017-01-15 21:41:00
내 입장은 "카테고리들의 실체를 논한다면, 그것을 모아놓은 공간 위에서의 그 실체를 논해야 한다는 입장"으로서 그런 댓글을 단 거다. 그러니까 그 공간의 수학적 의미를 파악하려는게 아니라면, 카테고리의 실체에 관해서 논할 가치가 없다는 뜻이다,.
oo(45.64)2017-01-15 21:42:00
특정한 성질을 만족하는 카테고리에 관한 명제들은 결국 "그러한 성질을 만족하는 어떤 카테고리는 이러이러한 것을 만족한다" 식의 명제이니 "카테고리의 모임"을 논하는게 아니고, 따라서 이런 경우 "특정 axiom을 만족하는 object와 morphism의 class들이 특정한 성질을 만족하면 이러이러한 것을 만족한다"식의 명제로 치환이 가능하고, 이런 경우 카테고리가 실체로서 존재하느냐의 여부는 따질 필요가 없지. 이건 지난번 댓글 100개 달면서 계속 주장했던 것이며,
oo(45.64)2017-01-15 21:44:00
너가 만약에 "카테고리들을 어떤 공간에 모아놓고 그것의 기하적인 성질 등을 관찰함으로써 수학적 의미를 파악한다는 입장이라면", object와 morphism의 pair를 명확하게 수학적으로 정의하고 그 의미를 파악하려고 해야겠지. 너가 이 관점에서 "실체"를 파악하려는게 아니라면, 지난번 댓글 100개 달면서 쓴 게 무의미해지니 "난독증"이라는 글을 쓴 거고.
oo(45.64)2017-01-15 21:46:00
카테고리들의 실체를 논한다면, 그것을 모아놓은 공간 위에서의 그 실체를 논해야 한다. 이 말이 일리가 있는지 없는지는 지금 너무 얘기가 길어졌으니까 나중에 생각해보기로 하고
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:50:00
"카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 카테고리들이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠." 니가 이렇게 썼다면 더 좋지 않았을까? 이렇게 써도 너의 논지를 충분히 드러내는거 같고 오해의 여지도 없고 이렇게 썼다면 지금처럼 댓글 50개가 달릴 이유가 없었겠지
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:52:00
그러니까 카테고리를 모아놓은 공간에 대한 수학적 의미를 파악하겠다는게 아니라면, 개별적인 카테고리들을 가지고 논하겠다는건데 이건 지난번에 카테고리의 공리를 만족하는 "object"와 "morphism"의 class에 대한 명제로 치환하면 개별적인 카테고리에 대한 명제들은 모조리 해결할 수 있다는 결론을 댓글 100개 쓰면서 내렸잖냐..
oo(45.64)2017-01-15 21:52:00
너가 근데 그 글에서 "카테고리의 실체"에 대해서 들고 나왔으니, "개별적인 카테고리"로서 카테고리의 실체를 밝히겠다는 것이라면 당연히 지난번 댓글 100개 단게 무의미해지고, "카테고리의 모임"의 수학적 의미를 파악하겠다는 취지라면, 애초에 너가 그 댓글에서 "카테고리의 모임에 대해서 따지는 게 아니다"라고 댓글을 달았을리는 없지.
oo(45.64)2017-01-15 21:53:00
그러니까 너가 카테고리의 수학적 실체에 관해서 논한다는게, 개별적인 카테고리의 수학적 실체에 관해서 논하겠다는 뜻이냐고. 그렇다면 나는 더 화나지. 지난번에 댓글 100개 단 보람이 전혀 없는데
oo(45.64)2017-01-15 21:55:00
개별적인 카테고리의 수학적 실체에 대해 논하기, 저번 댓글 100개 이 얘기들은 조금있다가 하고
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:57:00
"카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 카테고리들이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠." 이렇게 써도 논지가 충분히 전달되고 이렇게 쓰는게 더 좋은거 맞지? 인정해 안해?
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 21:58:00
그 댓글이 지난번 댓글 100개 단 것과 아예 다른 댓글이 아니라, 연관이 있는 댓글인데 왜 뒤로 미뤄.
oo(45.64)2017-01-15 21:58:00
지난번 댓글 100개 달았던 그 댓글들의 논지와, 내가 지난번 글에 달았던 그 댓글의 논지를 합하면 너가 지금 말하는 그 논지가 나온다.
oo(45.64)2017-01-15 22:00:00
알았어. 이제 니 뜻 알았고. 오늘은 충분히 얘기한거 같애. 개별적인 카테고리의 실체 논하기와 저번 댓글 100개는 보람이 있었는지 없었는지 이건 내일 얘기하자. 왜냐하면 내가 지금 일요일 밤을 다 날렸고 다른 일도 해야되거든. 할말이 없어서 그런게 아니라 할말이 있는데 지금 시간 너무써서 그런거야. 그리고 여기다가 댓글을 달면 너무 복잡하니까 내일 내가 밤 10시 이후에 새로운 글을 쓸게.
ㄹㄹ(116.126)2017-01-15 22:05:00
아니, 전혀 보람이 없는 내용이야. 너는 내가 지금 무슨 말을 하려는지 잘 이해를 못 하는거 같거든.
oo(45.64)2017-01-15 22:06:00
지난번에 내가 카테고리의 실체가 뭐가 중요하냐는 식의 댓글을 100개나 달았지만, 아직도 카테고리의 실체에 대해서 고민하는 것을 보면 내가 댓글을 계속 달아도 강박적으로 그것에 대해서 생각할게 분명하다.
oo(45.64)2017-01-15 22:07:00
사람들마다 수학적인 대상에 대한 직관적으로 생각하는 "실체"가 다름에도 불구하고, 그 실체가 구체적으로 정해져 있는 것처럼 그것에 대해서 분석하는건 시간 낭비야. 예를 들어서 "열공간과 행공간이 집합적으로 같은지 다른가"의 질문은, "Q는 Z x Z로부터 만들어진 대수적인 대상이므로, Z는 Q의 subset이 아니지 않냐" 식의 질문과 별 다를바가 없다고. 이런 질문을 계속 한다는 것 자체가 정말 시간 낭비야.
k를 n x n 행렬의 entry를 구성하는 field (혹은 ring)이라 할 때, column vector와 row vector를 k^n의 원소로 처음부터 간주한다면 행공간과 열공간은 처음부터 k^n의 subspace이고 "같음". 근데 그냥 column vector와 row vector를 다른 대상 (하나는 세워놓은 것, 하나는 눕혀놓은 것) 으로 간주한다면 다르지만, 대칭행렬의 경우 행공간과 열공간이 isomorphic함.
예를 들어서 위키피디아의 정의에서는 전자의 정의를 따르고 있고, Hoffman-Kunze 책에서는 후자의 정의, 즉 k^{n x m}을 n x m 행렬의 vector space라 하고, 열공간은 k^{n x 1}, 행공간은 k^{1 x n}의 구성원소로서, k^{n x 1}과 k^{1 x n}이 isomorphic하니 같은 대상으로 간주하자는 입장임.
행공간과 열공간이 집합으로서 같은지 다른지는 수학에서 관심의 대상이 아님. 같게 두든 다르게 두든 아무런 영향도 없고, 어차피 관심있는건 vector space로서의 성질이지, 집합으로서의 성질을 관찰할 것이 아니므로 상관이 없음.
답변 고맙다. 결국 이럴수도 있고 저럴수도 있다는거고 내가 지적하는 것들은 다 뭔가 마음에 걸리는게 있어서 오랜 고민끝에 그 본질을 들여다보고 포착을 해내는 거고. 이런 고민 깊게 해본놈들은 별로 없겠지 내가 뭐 질문글 올리면 쳐웃기만 하드만
근데 집합적으로 같냐랑 집합적으로 다르지만 isomorphic을 구분할 필요가 없고 영향이 없고 관심이 없다고 했는데 분명히 문제가 될 소지가 있지. 수학 연구에서는 당연히 상관이 없지만. 대학교 시험에 T/F 문제가 이걸로 나오면 논란이 생길 수 있는거지
교수 성향을 모르니까. 답을 T로 하고 학생이 F아니예요? 왜 T죠? 라고 해도 교수는 할말이 있는거고. 답을 F로 하고 학생이 T아니예요? 라고 해도 반박이 가능하니까.
그렇게 애매하게 문제를 적는 교수가 잘못임. "같다"라는게 구체적으로 어떤 의미에서 같은지 (vector space로서 isomorphic한 것을 물어보는 것인지, 아니면 말 그대로 집합으로서 같은것을 의미하는지) 물어봐야함. 아니면 완전히 말장난 문제이고, 이런 문제를 내서 수학능력을 측정할수도 없음.
그리고 만약 교수가 같다라고만 적고 아무런 말이 없다면, 시험 중간에 교수에게 문제에 대해서 질문할 수 있겠지. (이것이 up to isomorphism 하에 같은 것인지 아닌지) 이런 질의를 제대로 받지 않고 애매하게 문제를 출제한다면 그것은 교수의 잘못.
애매하게 문제를 안적고 대칭행렬에서 행공간과 열공간은 집합적으로 완전히 같다. 이렇게 적어도 T도 될 수 있고 F도 될 수 있다는 거잖아
이런 쓸데없는 문제를 교수가 출제할 이유도 없을 뿐더러 (낸다고 학생들의 능력을 제대로 평가할 수 있는게 아니니까) 낸다고 쳐도 어차피 아주 가끔 몇몇 과목에서 나올 수 있겠지. 그런거 한개정도 틀려준다고 받는 학점이 크게 달라지지도 않고, 인생이 변하지도 않는다.
앞에서 말했듯이 행공간과 열공간을 집합으로서 어떻게 정의하는지 별로 관심이 없기 때문에, 그런 질문을 안 낸다. 내면 그런 쓰레기같은 문제를 낸 교수의 잘못.
그런거 곧잘 출제하는 교수라면 학생들 골탕먹이려고 시험문제 출제하는 교수니까 그런 교수 강의는 걸러들으면 된다. 어쨌든 교수가 이런 병신같은 문제를 출제하면 어떨까? 같은 쓸데없는 고민은 뭣하러 함
그건 그렇고 어제 글에는 왜 더이상 댓글 안다냐 사람 난독증으로 몰아놓고
카테고리를 모아놓고 그 모아놓은 공간 위에서 성질을 관망할 게 아닌 이상, 카테고리의 모임을 어떻게 정의하느냐는 별로 중요한 문제도 아니고, 시간 낭비라는 뜻에서 댓글을 달았다. 카테고리의 실체 여부가 뭐가 중요하냐. 마찬가지로 행공간과 열공간이 집합론적으로 어떤 식으로 정의되어있는지도 별로 상관없는 문제임.
한두번 생각해볼 수는 있더라도, 그런 것에 수많은 시간을 투자해야할 가치는 없는 것 같다. 사람마다 관점이 다를 수 있는데, 나라면 그 시간에 다른 공부를 할 듯.
아니 어제랑 똑같은 얘기를 자꾸 하는데 카테고리의 모임을 어떻게 정의하느냐 이게 자꾸 왜나오냐고
수학기초론 하는 사람들도 별로 큰 관심을 가지지 않는다. 어떤 개념들이 훗날 standard한 것으로 받아들여져서 올바른 표기법이 나온다 쳐도, 그것이 엄청난 영향을 미칠 것 같지도 않음. 공리적 집합론이 나오기 전에도 사람들은 group, ring, field 가지고 잘 연구하고 살았음.
어제 그래서 니가 난독증인가? 하고 댓글 달고 내가 니가 그렇게 썼다 라고 하니까 니가 그냥 튄거아니야
그러니까 우리가 일반적으로 특정 대수적인 객체들로 이루어진 moduli space를 따지는 것처럼, 카테고리들을 모아놓고 뭘 할게 아닌 이상, 카테고리가 구체적으로 어떻게 정의되는지는 수학자들의 관심의 대상이 될 수 없다는 뜻이다.
그러니까 너가 그것들을 모아놓고 어떤 수학적 연구를 하겠다면 당연히 그 전에 앞서서 수학적으로 well-defined되어야 하니 "카테고리의 정의"나 "카테고리의 실체"에 대해서 생각해볼 법 하지만, 그런게 아니라면 카테고리의 정의나 실체에 대해서 고민해볼 필요가 없다고.
말투를 정정하자면, 이건 내 개인적인 생각이니 어떤 사람들은 고민하는게 중요하다고 생각할 수 있지만, 고민한다고 명확한 답이 나오지도 않을 뿐더러 수학적으로 standard하지도 않은데, 시간 낭비가 아닐까.
처음부터 제대로 쓰라고 니가 잘못써갖고 이렇게 된건데 뭘 자꾸 그러니까야
너의 지금 문제점이 뭔지 아냐? 1. 어제 잘못 씀 2. 내가 잘못쓴거에 대해 뭐라하니까 사람 난독증으로 몰음. 3. 해명안하고 그냥 튐 4. 어제 잘못썼으면 오늘은 더 신중하게 써야되는데 또 똑같이 잘못 씀. 5. 또 잘못쓴거에 대해 지적하니까 잘못썼다고 인정은 안하고 그러니까 그러니까 자꾸 이러고 있음. 6. 어제 날 난독증으로 몰은건 내가 잘못쓴거였다고 인정 안함
"카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 그것을 모아놓은 것이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠" 지난번 댓글에도 이렇게 달았는데, 너가 달은 댓글은 "카테고리를 모아놓고 뭘 하겠다는게 아닌데" 식의 댓글이었음.
ㄹㄹ에게 먹이를 주지 맙시다 ㅜㅜ
내 의견은 카테고리를 모아놓고 너가 그 위해서 수학적 성질을 조망하겠다는게 아니라면, 시간 낭비인 것 같다는 의견이었고 이렇게 계속 다는데 이상한 말을 자꾸 하니까 난독증이냐고 물어봤던 것임.
와 진짜 사람 개빡치게 하네 다시 읽어보고와 내가 언제그랬냐? 그리고 너는 지금 잘못쓴게 없다는거야 뭐야
그리고 지난번에 댓글 100개 넘게 달면서 카테고리의 실체 등에 대해서 논쟁했었는데, 또 그 주제에 대해서 끌고나왔으니 난독증이냐고 물어봤던거지.
넌 왜 니가 잘못썼다고 인정을 안해?
"카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 그것을 모아놓은 것 (카테고리들) 이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠" : 결국에 너가 논하고자 했던게 카테고리들이 어떤 실체를 가지는지에 대한 논쟁 아니야. 그래서 그 "카테고리들에 대한 실체"가 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없다고.
내가 뭘 잘못 썼는지 지적을 해주기를 바란다. 나는 지난번 글부터 "카테고리들에 대한 실체"를 생각해 볼 필요가 없다는 댓글을 똑같은 논조로 계속 달았다.
너의 의견이 "나는 카테고리 하나만 가지고 따지겠다는건데 카테고리의 모임이 왜 나와요?"라는 의견이라면... 너가 특정 카테고리 (예를 들어서 group) 하나를 가지고 그 실체를 파악하려는 게 아니라면, 당연히 일반적인 "카테고리"에 대한 실체를 파악하는 것이 될 것이고 그래서 그 취지에서 "카테고리들"이라고 지칭한 거다.
그것을 모아놓은 것 (카테고리들) 여기서 그것 = 카테고리들 이라는 뜻이야?
서로 논조가 빗나갔다면 서로의 논쟁에 대해서 이해못한 양측의 잘못이 있을 것이고, 난독증이라고 쓴 것은 지난번에 댓글 100개 넘게 달았는데 강박증 환자처럼 또 왈가왈부해도 결론이 나지 않을 주제를 끌고 나오니 열 받아서 썼다.
(그것을 모아놓은 것) = (카테고리들). 그것 = 카테고리들을 모아놓은 공간이라고 이해했다면 그렇게 쓴 내 잘못이지. 근데 앞에서 "카테고리들을 모아놨다고 했으니" 당연히 "그것"은 카테고리 하나하나가 되지 않겠냐..
그것 = 카테고리들을 모아놓은 공간이라고 이해 할 수가 없지 그러면 카테고리들을 모아놓은 공간을 또 모아놓는다는건데 아예 말이 안되는거고
그것 = 카테고리 이게 맞지 그러니까 이제 여기서부터 따져보자고
(그것을 모아놓은 것) = (카테고리들) = (카테고리들을 모아놓은 공간) 이렇게 되는거네? 카테고리들과 카테고리들을 모아놓은 공간은 같은 뜻이지?
그러니까 그것 = 카테고리라고.. 그래서 "카테고리들을 모아놓고 수학적인 어떤 성질을 관찰하겠다는게 아닌 이상" "카테고리들의 실체나 수학적 의미, 이런 것들을 생각할 이유가 전혀 없다".
응. 그것 = 카테고리 이건 맞고, (카테고리들) = (카테고리들을 모아놓은 공간) 이것도 맞냐니까
맞긴 한데, 공간이라고 묘사한것은 그것의 기하적인 성질 (혹은 수학적인 성질)을 관망하기 위한 것을 강조하기 위해서 달아놓은 것 뿐이지.
그래. 맞잖아. 그러니까 결국 그것=카테고리 로 치환해서서 다시 써보면 결국 넌 이렇게 쓴거 아니야. "카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 카테고리들을 모아놓은 것이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠.
너가 "실체"를 논하는게, 카테고리를 object와 morphism의 묶음이라는 어떤 하나의 "수학적 object"로서의 존재가 그것의 실체의 여부를 말하지 않는가, 에 대해서 지난번 댓글 100개짜리 글에서 논했기 때문이잖아. 결국 다시 말하면 R^2라는 유클리드 공간 위에서 한 점 한 점이 하나의 실체가 되는 것처럼, "카테고리들을 모아놓은 공간" 위에서 카테고리 하나하나가 수학적인 object로서 잘 정의된다면 한 점 한 점이 그에 대한 실체가 되겠지. 근데 이 공간 위에서 뭘 하겠다는게 아니라면, category들을 어떻게 정의할 것인지는 아무런 상관이 없다는 뜻이다.
그럼 이건 다시 "카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 카테고리들을 모아놓은 공간이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠. 라는 뜻이 되는거고
그러니까 다시 말하면, 카테고리의 개별적인 실체를 놓고 따지는 건 무의미하며, 카테고리의 공간을 놓고 논한다면 비로소 의미를 가진다는 뜻이다. 너가 "나는 카테고리의 모임을 따진게 아니다" 식의 댓글을 단 게, 내 쪽에서는 "나는 무의미한 행동을 하고 있다"라는 뜻으로 받아들여졌다고.
" [카테고리들을 모아놓은 공간] 을 가지고 뭘 하지 않는이상 [카테고리들을 모아놓은 공간] 이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠." 라고 니가 썼는데 이게 너의 논지를 제대로 드러냈다고 생각해? 아니면 잘못쓴거같애?
oo형 저런 말투 쓰는 건 첨 봤다 ㄷㄷ
지난번에 댓글 100개 달면서 "카테고리의 실체는 무의미하다"라고 주장을 했는데, 또 그 실체를 들고나오니 난독이라고 화가 나서 답글을 단 것이고. 내 말인즉슨 그 실체를 다른 사람은 이해 못하고 너가 이해했다 하든 말든, 그것이 뭐가 중요한가 이 말이다..
내 입장은 "카테고리들의 실체를 논한다면, 그것을 모아놓은 공간 위에서의 그 실체를 논해야 한다는 입장"으로서 그런 댓글을 단 거다. 그러니까 그 공간의 수학적 의미를 파악하려는게 아니라면, 카테고리의 실체에 관해서 논할 가치가 없다는 뜻이다,.
특정한 성질을 만족하는 카테고리에 관한 명제들은 결국 "그러한 성질을 만족하는 어떤 카테고리는 이러이러한 것을 만족한다" 식의 명제이니 "카테고리의 모임"을 논하는게 아니고, 따라서 이런 경우 "특정 axiom을 만족하는 object와 morphism의 class들이 특정한 성질을 만족하면 이러이러한 것을 만족한다"식의 명제로 치환이 가능하고, 이런 경우 카테고리가 실체로서 존재하느냐의 여부는 따질 필요가 없지. 이건 지난번 댓글 100개 달면서 계속 주장했던 것이며,
너가 만약에 "카테고리들을 어떤 공간에 모아놓고 그것의 기하적인 성질 등을 관찰함으로써 수학적 의미를 파악한다는 입장이라면", object와 morphism의 pair를 명확하게 수학적으로 정의하고 그 의미를 파악하려고 해야겠지. 너가 이 관점에서 "실체"를 파악하려는게 아니라면, 지난번 댓글 100개 달면서 쓴 게 무의미해지니 "난독증"이라는 글을 쓴 거고.
카테고리들의 실체를 논한다면, 그것을 모아놓은 공간 위에서의 그 실체를 논해야 한다. 이 말이 일리가 있는지 없는지는 지금 너무 얘기가 길어졌으니까 나중에 생각해보기로 하고
"카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 카테고리들이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠." 니가 이렇게 썼다면 더 좋지 않았을까? 이렇게 써도 너의 논지를 충분히 드러내는거 같고 오해의 여지도 없고 이렇게 썼다면 지금처럼 댓글 50개가 달릴 이유가 없었겠지
그러니까 카테고리를 모아놓은 공간에 대한 수학적 의미를 파악하겠다는게 아니라면, 개별적인 카테고리들을 가지고 논하겠다는건데 이건 지난번에 카테고리의 공리를 만족하는 "object"와 "morphism"의 class에 대한 명제로 치환하면 개별적인 카테고리에 대한 명제들은 모조리 해결할 수 있다는 결론을 댓글 100개 쓰면서 내렸잖냐..
너가 근데 그 글에서 "카테고리의 실체"에 대해서 들고 나왔으니, "개별적인 카테고리"로서 카테고리의 실체를 밝히겠다는 것이라면 당연히 지난번 댓글 100개 단게 무의미해지고, "카테고리의 모임"의 수학적 의미를 파악하겠다는 취지라면, 애초에 너가 그 댓글에서 "카테고리의 모임에 대해서 따지는 게 아니다"라고 댓글을 달았을리는 없지.
그러니까 너가 카테고리의 수학적 실체에 관해서 논한다는게, 개별적인 카테고리의 수학적 실체에 관해서 논하겠다는 뜻이냐고. 그렇다면 나는 더 화나지. 지난번에 댓글 100개 단 보람이 전혀 없는데
개별적인 카테고리의 수학적 실체에 대해 논하기, 저번 댓글 100개 이 얘기들은 조금있다가 하고
"카테고리들을 모아놓은 공간을 가지고 뭘 하지 않는이상 카테고리들이 어떤 수학적 의미를 가지는지 생각할 이유가 없죠." 이렇게 써도 논지가 충분히 전달되고 이렇게 쓰는게 더 좋은거 맞지? 인정해 안해?
그 댓글이 지난번 댓글 100개 단 것과 아예 다른 댓글이 아니라, 연관이 있는 댓글인데 왜 뒤로 미뤄.
지난번 댓글 100개 달았던 그 댓글들의 논지와, 내가 지난번 글에 달았던 그 댓글의 논지를 합하면 너가 지금 말하는 그 논지가 나온다.
알았어. 이제 니 뜻 알았고. 오늘은 충분히 얘기한거 같애. 개별적인 카테고리의 실체 논하기와 저번 댓글 100개는 보람이 있었는지 없었는지 이건 내일 얘기하자. 왜냐하면 내가 지금 일요일 밤을 다 날렸고 다른 일도 해야되거든. 할말이 없어서 그런게 아니라 할말이 있는데 지금 시간 너무써서 그런거야. 그리고 여기다가 댓글을 달면 너무 복잡하니까 내일 내가 밤 10시 이후에 새로운 글을 쓸게.
아니, 전혀 보람이 없는 내용이야. 너는 내가 지금 무슨 말을 하려는지 잘 이해를 못 하는거 같거든.
지난번에 내가 카테고리의 실체가 뭐가 중요하냐는 식의 댓글을 100개나 달았지만, 아직도 카테고리의 실체에 대해서 고민하는 것을 보면 내가 댓글을 계속 달아도 강박적으로 그것에 대해서 생각할게 분명하다.
사람들마다 수학적인 대상에 대한 직관적으로 생각하는 "실체"가 다름에도 불구하고, 그 실체가 구체적으로 정해져 있는 것처럼 그것에 대해서 분석하는건 시간 낭비야. 예를 들어서 "열공간과 행공간이 집합적으로 같은지 다른가"의 질문은, "Q는 Z x Z로부터 만들어진 대수적인 대상이므로, Z는 Q의 subset이 아니지 않냐" 식의 질문과 별 다를바가 없다고. 이런 질문을 계속 한다는 것 자체가 정말 시간 낭비야.