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정수 n에 대해 n=a_(k+1)*2^k +a_k*^(k-1) +a_(k-1)*2^(k-2)+.....+a_1*2^0=a_k+1~a_1 (2)와 같이 2진법으로 나타낼수 있고, (a_i=0이거나 1)


[n/2^i+1/2]에 대해 2진법으로 표현시 반드시 2^i로 나누어 떨어지는 i+1이상의 자릿수 부분에 대해서는 [a+b]=[a]+b 이고 


임의의 i+1번째 자릿수를 따로 분리해 보면, (sum m=1  i [(n-a_i+1*2^i)/2^m +1/2]+a_(i+1)*2^(i-m) )+sum m=i+1 infinite [n/2^m+1/2] 인데,


sum m=1 i a_(i+1)*2^(i-m)를 a_(i+1)*(2^i-1+...+1=2^i -1)로 표현할수 있고 윗식에서 m=i+1일때를 생각해보면, [(n-a_i+1*2^i)/2^i+1 +1/2]


정리하면 [n/2^(i+1)+a_(i+1)/2 +1/2] 이때, a_i는 임의의 i에 대해 0 or 1이므로 a_i=1이라면 a_(i+1)/2=1/2이므로, a_(i+1)/2 +1/2=1이니


[n/2^(i+1)+a_(i+1)/2 +1/2]=[n/2^(i+1)]+1이고 a_(i+1)*(2^i -1)=2^i-1 +1=2^i. a_i=0이라면 a_(i+1)*(2^i-1+...+1=2^i -1)=0이고, 원식 n에서 해당 자릿수의 


계수가 원래 0이다. 즉, 2^i 형태의 수가 더해지지 않으므로 이진법 표현시 계수 0, 1 두가지 경우에서 모두 원식의 해당 자릿수의 계수와 일대일 대응이 성립함.


이런식으로 i=0부터 k까지 정리해보면 이 값은 원식인 n의 값과 일치하고,


남은 sum m=1  infinite[a_i/4+a_(i-1)/8+...+a] (a= 1/2 or 0)에 대해 계수의 갯수는 유한하므로, a_i/4+a_(i-1)/8+...+a<1/2+a<1 따라서 sum m=1  infinite[a_i/4+a_(i-1)/8+...+a]=0이므로


짤방의 등호가 성립함. 


수식 편집하기가 여의치 않고 기호 쓰다보니 가독성 ㅎㅌㅊ 됐는데 2진법으로 써보면 가독성 올라가니 잘 이해안가면 2진수로 써보길