슬슬 B번의 예시인 테셀레이션으로 넘어가자. 얘는 학부 내용을 몰라도 이해가 될 것이다. 아님 말고 ㅋ..
유클리드 기하에서 주로 다루는 ‘평면’은 보통 R^2 좌표평면으로 쉽게 설명이 된다.
여기에 거리를 보존하는 액션이 작용하면, 보통 평행이동, 회전이동, 대칭이동 등을 생각할 수 있다.
좀 공부를 해봤다면 얘네만 가지고 거리를 보존하는 모든 액션을 설명할 수 있다는 것을 알 수 있다.
이를 보통 등장 사상(Isometry)이라고 한다.
근데 한자 용어가 ㅈ같으니 그냥 액션이라고 하겠다.
이제 이런 액션들의 그룹들 중, 간단한 부분집합 또는 서브그룹인 <오른쪽으로 1칸 평행이동, 위쪽으로 1칸 평행이동>으로 생성되는 서브그룹 G1를 생각하자.
그니까 (위로 3칸, 왼쪽으로 2칸) 같은 평행이동들의 집합 말이다. (ZxZ로 쓸 수 있다)
“테셀레이션”이란 어떤 도형을 하나 정해서, 그 도형이 위 집합대로 움직였을 때 평면 전체를 덮고, 이동한 도형들끼리 서로 겹침이 없어야 한다. 이 도형을 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다:
그룹 G에 대한 펀다멘탈 리젼(Fundamental Region) F란 다음 두 조건을 만족하는 평면 위의 ‘도형’이다.(‘도형’은 closed이고 nonempty interior를 가짐, G는 R^2에 properly discontinuous action)
1. 그룹G의 원소들 T에 대해, T(F)들의 합집합이 평면 전체가 되어야한다.
2. 평면을 그대로 고정하는 액션 말고 다른 모든 액션들에 대해, F의 인테리어 F^0와 T(F^0)가 교집합이 공집합이어야 한다. 즉 아무렇게나 움직여도 안 겹쳐야한다.
(쌍곡기하 읽다가 나온 정의긴 한데, 뭐 그냥 생각해보니 유클리드 평면에도 적용되는 듯)
당연히 위 얘기를 읽고서 위 G1에 대해서 뭐 1x1 사각형 같은 걸로 평면을 덮을 수 있다고 생각하면 기하적 머리가 있는거다.ㅊㅋㅊㅋ 사실 뭐 개념 자체는 초등학생도 이해할 수 있을거라 생각한다. 기하란 그런거니까. 그렇다면 G를 좀 더 이상하게 줬을 때, 항상 저런 도형 F를 찾아서 테셀레이션이 되도록 덮을 수 있을까? 존나 어려운 질문같아 보인다. 하지만 다음과 같은 알고리즘으로 항상 찾을 수 있으며, 이 알고리즘은 누구나 이해할 수 있다.
I. 어떤 점p를 찾아 전체 평면에 잘 흩뿌려지는 지 확인한다.(Discreteness)
위 예시에선 아무 점이나 써도 아래 그림과 같이 잘 퍼지는 것을 확인할 수 있다.
이 점을 기준으로 도형을 잡을꺼니까 뭐 있을 법한 조건이다.
II. 이 점들 중에 두 액션이 같은 점을 같은 점으로 보내면 안 된다. 이 경우 다른 점을 선택해야한다.(There exists a point not fixed by any elements of G except for identity)
위 예시에선 이해가 안되긴 하지만, 아래 그림처럼 생각하면 뭐 위 2번 정의 때문에 필요한 조건이다.
I번과 II번이 깨지는 점이 존재하는 G의 예시로 다음을 생각할 수 있다
G2:={평면 전체 고정, 120도 회전, 240도 회전}
이 간단한 예시의 경우, 원점이 항상 고정되어 흩뿌려지지도 않으며
120도 회전이건 240도 회전이건 같은 점으로 보내진 다는 것을 알 수 있다.
뭐 원점만 아니면 사실 상관없다.
이러한 점p가 존재한다면 다음 F가 펀다멘탈 리젼이 된다:
(이 알고리즘으로 만들어진 펀다멘탈 리젼을 디리클레 리젼(Dirichlet Region)이라 한다.)
p에 의해 흩뿌려진 점들(p의 orbit의 원소들) T(p)와 p와 거리가 같은 점들, 즉 수직이등분선을 생각하면
이 수직이등분선 L_p(T)를 기준으로 반평면이 2개가 생긴다.
p를 포함한 쪽을 H_p(T)라 하고, 반평면들을 전부 교집합하면 F가 나온다.
다음 그림으로 설명을 단순히 하자.
존나 어려운 존재성 같이 보였지만, 그냥 기하학적 직관만 있으면 누구나 알아들을 수 있는 소리다.
이 재밌는 아이디어는 신기하게도 바로 쌍곡기하로 확장된다. 여기서부터는 학부생들 정도만 알아들을 듯;
복소반평면 H:={z는 C의 원소: Im(z)>0}에 곡률이 –1인 쌍곡기하 구조를 줄 수 있으며,
이 구조위에서의 Isometry Group은 f(z)=(az+b)/(cz+d) (a,b,c,d 전부 실수)꼴 밖에 없다는 것이 알려져 있다.
이 중 평행이동과 일종의 Inversion인 T(z)=z+1과 S(z)=-1/z로 생성되는 서브그룹 <S, T>의 디리클레 리젼은 다음과 같다:
여기선 우리가 생각하는 직선이 눈에 보이는 실제 직선이 아니다.
평면 기하에서 직선에 대응되는 애들(Geodesic path 또는 minimizing path)은 쌍곡 기하에서 딱 두 종류가 있는데,
실수선에 수직인 직선과 실수선위에 중심을 가지는 반원들이 그것이다.
즉 저 도형은 직선 3개로 둘러쌓인 일종의 삼각형이다. 각은 60도 60도 0도임 ㅇㅇ저번에 얘기한 거 같음
저게 어떻게 나왔는지 생각해보자.
점을 ki(k>1)을 잡으면, 항상 고정이 안 된다.(근데 븅신같게도 i는 S가 고정한다 엌)
그럼 위 두 I, II의 조건을 만족하므로 다음과 같이 그림이 그려진다.
또한 반평면의 쌍곡기하를 원판 위의 쌍곡기하로 옮겨서 테셀레이션을 그리면, 아래와 같은 M.C. Escher의 그림도 얻는다.
어려워 보이는 개념이나 증명도 기하학적인 직관을 거치면 자명해진다.
그리고 이 직관은 항상 우리를 올바른 정의와 성질, 증명으로 이끌어줄 것이다.....라는 생각을 여기까지 했다.
이 얘기를 직접 증명하고 싶은 것은 아니고 공부를 좀 많이해서 생각해보고 싶다.
그니까 열공하자 수붕이드라....ㅠ
레퍼런스를 깜빡했넹....1.Artin, Algebra 6장 이거는 뭐 학부수준 ㅇㅇ 쉬움/2. Svetlana Katok, Fuchsian Groups 1장, 3장 요즘 읽는데 좀 어렵슴
자살시급 백퍼 일베충이네
ㅊㅊ
뭐임