갑자기 심심해서 써보는 글(허접함)

지나가는 사람을 붙잡고 원이 뭐에요 라고 묻는다면 대부분의 사람은 뭐야 이 미친놈은 이라고 말 할 것이고, 몇명은 둥근 곡선이라고도 할 것이고 수학을 조금 배운사람은 중심으로부터의 거리가 같은 점들의 집합 이라고도 말 할 것이다. 반지름이 1인 원을 간단하게 x^2+y^2=1라고 할 수 있는데 (중심 가지고 태클은 ㄴㄴ) 중요한건 원이 다항식으로 나타낼수 있다는 것이다.

또 다른 예시로 원점과 (1,2,4)를 지나는 직선을 생각해보자.
간단하게 y=2x, z=4x 라고 할 수도 있을 것이고 y=2x, z=2y의 표현도 가능하고 평범한걸 싫어하는 사람은
y+z=6x, 4x+2y=2z라고도 할 수 있을 것이다. 그렇다면 한 직선을 위와같이 여러가지로 정의하면 그것들은 틀린것이 되는걸까?

물론 아니다. 저 세가지 집합은 똑같은 아이디얼을 정의하고 있는 다른 생성원일 뿐이다.

그럼 몇가지 관점에서 곡선을 어떻게 다루는지를 알아보자


1. 아이디얼
K는 algebraically closed인 체이고, charK=0이고 K^n=KxKx•••xK 인 벡터 스페이스라고 하자.
쉽게 복소수를 생각하면 될것이다.
아이디얼의 관점에서 곡선을 정의하기 위해 먼저 algebraic varieties에 대해서 언급해보려한다.
Algebraic variety in K^n=zero set of a finite number of polynomials in k[x1,•••,xn]
i.e. zero set of an ideal in k[x1,•••,xn]
또한 대수기하에서 기하학적 대상을 삼는건 결국 아이디얼이다.
그래서 실제로 Hilbert's nullstellensatz라는 중요한 정리가 있는데 기하학적인 모든 현상들을 사실 대수학으로 설명이 된다는 것이다.
예를들어 Algebraic varieties in K^n과 radical ideals in k[x1,•••,xn] 사이에는 1-1 correspondence가 있다는 것이다.
K^n안의 부분집합 V가 있으면 V ->I(V)={f in k[x1,•••,xn] l f(V)=0}
Z(J)={x in K^n l f(x)=0 for all f in J} <-J


예를들어 다항식안의 maximal ideal 은 점과 대응
prime ideal 도 무언가에 대응이 된다.(무엇일까)

그러니깐 기하학적으로 하고 싶은 이야기가 있으면 대수적으로 번역이 가능하다는 것이다.


그래서 이관점에서 곡선의 정의는 (중학교때 배운?)
Def) A curve in K^n is an algebraic variety of dimension 1.
tr.deg_K K[x1, x2,•••,xn]/I(V)
tr.deg를 쉽게 말하면 free variable의 갯수이다.

글이 뒤로 갈수록 굉장히 귀찮은게 느껴지네요..
관심있는분이 있으면 더 쓰겠지만 (mapping, module) 이번글은 굉장히 짧게 여기까지?