2. 매핑
다시 처음에 든 예시인 원을 생각해보자. r=1 인 원은 x=2t/(1+t^2), y=ㅕ(1-t^2)/(1+t^2)라고 매개화도 가능하고 x=cost, y=sint 라고 매개화도 가능하다.
여가서도 마찬가지로 두가지 매개화가 parameterized  curve로는 다른 곡선이지만 재매개화를 하면 같은 곡선으로 볼 수 있다.
그래서 미적분학 시간에 배운 곡선의 (정확한) 정의는 parameterized curve(의 equivalence class)이다.
정확히 표현을 해보면
Def) A (rational) curve in K^n is an equivalence class of maps f : K ->K^n modulo the automorphism group of the domain Aut(K)

3. 모듈
곡선에서 0이되는 그런 다항식들의 집합을 생각하면 그 집합은 아이디얼이고 이걸로 polynomial ring을 quotient를 취해주면 polynomial ring 위에서 정의되는 module을 생각 할 수 있다.(물론 quotient ring 으로도 생각할 수 있지만)
J=ideal of curve => M=K[x1,•••,xn]/J  is a module over the ring K[x1,•••,xn]
그래서 커브를 module로 생각하면
Def) A curve in k^n is a module M over the ring K[x1,•••,xn] with some additional condition (such as finitely generated...etc)

4. 그 외에도 몇가지 더 있지만 생략~



Curves in P^n
자, 이때까지는 벡터 스페이스 즉, noncompact 인 곡선들이였는데,
Compact curve를 다루고 싶으면 가장 간단한 방법은 전체집합이 compact 이면 될 것이다.

그래서 많이 사용하는게 projective space이다.
K^n에서 한차원높여 n+1차원에서 원점을 제외하고 상수배를 한것은 같은것이라고 치자.
P^n=K^(n+1)-{0}/K^*={x1;•••;xn l not all zero}
P^n=Union(i is 0 to n)(U_i),
U_i={(x0/xi;•••;xn/xi)}~=K^n

A projective variety in P^n is the common zero locus of homogeneous polynomials.
Homogeneous이어야 상수배를 했을 때 여전히 0이라는 성질이 보존이 된다.

그럼 P^n에서의 곡선도 세가지 방법으로 정의해보자

1. 아이디얼
결론부터 말하면 projective curve in P^n 은 ideal sheaf J이다.
라고하고 넘어가고싶지만 약간의 설명을 하자면 P^n 안의 곡선은, n+1개의 각각의 오픈셋은 K^n과 같은데 각각의 오픈셋에서 아이디얼을 하나씩 골라서 intersection해서 일치하면 된다. 근데 오픈셋마다 아이디얼을 골라서 그 아이디얼이 일치하면 된다 라는 말이 귀찮아서 ideal sheaf라고 부른다. Sheaf는 대충 오픈셋마다 하고싶은 어떤이야기를 붙여서 잘 붙었을 때 Sheaf라고 한다.

2. 맵s
Abstract curve B가 있을 때, (예를 들어 field C 안에서 Riemann surface) 여기서 P^n으로 가는 맵을 생각하고 Aut(B)의 group action에 의해서 equivalence class를 취해주면된다.

3. 모듈
뭐 비슷합니다 각각의 open set마다 module을 생각하고 그 module들이 compatible해야하므로
sheaf of modules 이 될것입니다.

다음글에서는 (쓴다면) 열심히 정의한 기초지식이 왜 필요한 것인가, 극한을 다룰때 어떤 차이가 생기는지 써 볼 생각만 하고 있습니다.

P.s 모바일로 작성하니 매우 힘듬, 제정신이 아니기 때문에 설명에 문제와 오타가 있을것입니다.
Virtual intersection theory 까지 소개하는게 원래 목표였는데 포기~