Paris, le 29 mai 1832
파리, 1832년 5월 29일.

Mon cher Ami,
내 친구에게.

J’ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles.
난 몇가지 새로운 이론들을 분석해 봤어.

Les unes concernent la théorie des Équations, les autres les fonctions Intégrales.
방정식 이론과 관련된 것이 몇몇 있고, 적분 함수와 관련된 이론이 몇몇 있어.

Dans la théorie des équations, j’ai recherché dans quels cas les équations étaient résolubles par des radicaux : ce qui m’a donné occasion d’approfondir cette théorie, et de décrire toutes les transformations possibles sur une équation lors même qu’elle n’est pas soluble par radicaux.
방정식 이론에서는, 어떤 방정식이 어떻게 거듭제곱근을 이용해서 soluble한지에 대해 탐구해봤어. 이 탐구는 내게 이 이론에 대해 깊이 들어가게 해주는 기회를 줬고, 거듭제곱근에 대해 soluble한 방정식이 되는 모든 상황을 설명할 수 있게 되었어.

On pourra faire avec tout cela trois mémoires.
우리는 이것으로 세가지 논문을 만들어낼 수 있어.

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mémoire라는 뜻을 직역하면 원래 프랑스어로 기억, 추억이라는 뜻이다.
갈루아의 일생을 둘러보던 중에 mémoire 라는 제목이 붙여진 출판물들을 냈다는 것을 알게 되었다.
그 문서에서 수학적 발견에 대한 내용을 쓴 것이 분명하다. 이것들을 고려해서 현재 상황에 맞게 논문이라고 번역했다.

Le premier est écrit, et malgré ce qu’en a dit Poisson, je le maintiens avec les corrections que j’y ai faites.
첫번째는, 푸아송이 내게 조언한 것이 있긴 하지만, 몇몇 오류만 수정하고 그대로 유지하기로 했어.

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푸아송은 갈루아의 논문을 예전에 읽어본 사람이었다.
갈루아의 논문을 읽은 사람 중에서는 그나마 가장 긍정적으로 평가했던 사람이었으나,
그 역시 이해하기 어렵다는 이유로 거절하였다.

Le second contient des applications assez curieuses de la théorie des équations.
두번째는 방정식 이론에 대한 흥미로운 응용이 포함되어 있어.

Voici le résumé des choses les plus importantes :
여기 가장 중요한 것들을 정리해놓을게.










[
이 뒤로 나오는 글에서부터는 explicit한 수학적 내용이 나온다.

번역의 대상이 대상이니만큼, 문장 하나 하나마다가 현대대수학의 중요한 정리들을 함축하고 있다.
또한 여기에 갈루아의 일생과 관련된 단어들, 그 당시의 노테이션 문제까지 있어서
마치 이야기책을 읽듯이 읽으면서 내용의 모든 내용을 이해하기에는 한계가 있어 보인다.

따라서, 문장 몇개마다 주석을 달아서, 어떤 수학적 대상을 말하는지에 대해 간단히 알려주는게 좋다고 판단했다.
]










1. D’après les propositions II et III du 1er Mémoire, on voit une grande différence entre adjoindre à une équation une des racines d’une équation auxiliaire, ou les adjoindre toutes.
1.
첫번째 논문에 있던 명제 II와 III를 통해, 
보조 방정식 중에서 하나의 근의 값만을 추가하는 것과,
모든 근을 추가하는 것이 큰 차이가 있음을 알아볼 수 있었다.


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일반적인 확대체와, 정규 확대체(갈루아 확대체) 의 차이에 대해서 설명하고 있다고 추정한다.





Dans les deux cas le groupe de l’équation se partage par l’adjonction en groupes tels que l’on passe de l’un à l’autre par une même substitution.
Mais la condition que ces groupes aient les mêmes substitutions n’a lieu certainement que dans le second cas.
Cela s’appelle la décomposition propre.

두개의 상황 모두, 방정식에 대한 groupe는 하나 하나씩 동일한 치환방법을 씀으로서 첨가가 된 groupes로 나눌 수 있다.

하지만 이 groupes가 같은 치환방법을 가지게 되는 경우는 두번째 상황에서만 일어난다.

이것을 정규분할 이라고 하자.


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본격적으로 "le groupe" 라는 말이 나오는 것을 볼 수 있다.
이것이 바로 현대수학에서 쓰는 Group에 대해 "Group" 이란 노테이션을 붙이게 해준 시작점이다.
여기서 나온 "정규분할"이라는 노테이션은 현재 homomorphism, isomorphism theorem 등으로 더더욱 엄밀해졌다.





En d’autres termes, quand un groupe G en contient un autre H le groupe G peut se partager en groupes que l’on obtient chacun en opérant sur les permutations de H une même substitution, en sorte G=H+HS+HS′+⋯ et aussi il peut se décomposer en groupes qui ont tous les mêmes substitutions en sorte que G=H+TH+T′H+⋯ Ces deux genres de décomposition ne coïncident pas ordinairement.
Quand elles coïncident, la décomposition est dite propre.

달리 말하자면, 어떤 groupe G가 또다른 groupe H를 포함할 때, G가 groupes에 의해 나눠지려면

이것이 H가 가진 순열들과 그에 치환 하나가 작용된 것들로 구성되어서,
G = H + HS + HS ' + ⋯ 이 되는 것 뿐만 아니라,

이것을 또한 groupes으로도 분할할 수 있어서 똑같은 치환이 남게 되는
G = H + TH + T'H + ⋯ 이 가능해야 한다.

이 두 종류의 분할은 일반적으로 동시에 일어나지 않는다.
이들이 동시에 일어날 때, 이 분할을 정규적이라고 하자.


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현대에서도 쓰이는 정규부분군의 정의가 보인다.





Il est aisé de voir que quand le groupe d’une équation n’est susceptible d’aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le même nombre de permutations.
방정식의 groupe가 그 어떤 적절한 정규분할을 할 수 없을 때엔, 
이 방정식을 변환하는 것 자체가 헛될 것이고,
변환된 방정식의 groupes는 언제나 같은 숫자의 순열들을 가질 것이다.


Au contraire, quand le groupe d’une équation est susceptible d’une décomposition propre en sorte qu’il se partage en M groupes de N permutations, on pourra résoudre l’équation donnée au moyen de deux équations : l’une aura  groupe de M permutations, l’autre un de N permutations.
{수갤의 금지어 조항으로 인해 갈루아의 온전한 문장을 올릴 수 없다. 원 문장에서 단어 하나가 제거되었다.}
반대로, 방정식의 groupe가 정규분할을 할 수 있어서 N개의 순열들에 대한 M개의 groupes로 나누어질 때,
우리는 그 방정식을 두개의 방정식들처럼 풀 수 있다.
하나는 M개의 퍼뮤테이션을 가진 groupe가 되고, 다른 하나는 N개의 순열들을 가진다.


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group을 factor group과 정규부분군으로 나눌 수 있다는 것을 설명하고 있다.





Lors donc qu’on aura épuisé sur le groupe d’une équation tout ce qu’il y a de décompositions propres possibles sur ce groupe, on arrive à des groupes qu’on pourra transformer, mais dont les permutations seront toujours en même nombre.

따라서 우리가 방정식에 대한 groupe에 정규분할을 모두 하여 groupe가 고갈이 되었으면,

우리는 groupes를 변환하는 것은 가능하지만, 그 순열들이 언제나 같은 숫자를 가지는 형태에 도달하게 된다.


Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations, l’équation sera soluble par radicaux. Sinon, non. Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable quand ce nombre n’est pas premier est 5⋅4⋅3.

만약 그 groupes 각각이 소수 개의 순열들을 가지고 있다면, 방정식은 사칙연산과 거듭제곱근을 이용해 soluble하다.
가지지 않는다면, 불가능하다.

이 분할할 수 없는 groupe 중 소수가 아닌 가장 작은 수의 순열들을 갖는 경우는 5⋅4⋅3 일 때이다.


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simple group, C_p 가 simple한 것, solvable group이 finite할때 사용되는 solvable group의 동치명제, A_5 가 simple한 unsolvable group임이 전부 이 내용에 담겨져 있다.

[
5⋅4⋅3만을 가지고 A_5라고 보는 것은 과다해석이 아니냐고 하는 사람을 위해서 부가적인 설명을 덧붙이겠어.

일단 먼저 팩토리얼에 대한 이야기부터 하겠다.
그당시, 팩토리얼에 대한 느낌표 노테이션은 보편적인 것이 아니었다.
오일러나 라그랑주가 쓴 그당시의 논문들을 볼 때, 현대에서는 3!, 4!으로 쓰일 몇몇 수학적 정리에 대해서도 1⋅2⋅3, 1⋅2⋅3⋅4 노테이션을 썼음을 확인할 수 있었다.

결론적으로, 5⋅4⋅3이라는 표현이 팩토리얼과 연관점을 보인다는 것을 말하고 싶다.
이제 왜 이 표현이 A_5 라고 볼 수 있는지에 대해 알 수 있다.

현재에서도 n! 과 S_n에 대해 순열이라는 지배적인 관점 하에 둘의 성질에 대해 설명하고 있다는 것.
대칭군 S_n에서 교대군 A_n을 유도하는 방법에 2로 나눠지는 것이 크게 작용한다는 것.
애초에 이 글이 써질 당시에는 그 어떤 대수학의 노테이션도 정립되어 있지 않았다는 것을 전부 고려해보면

여기서 갈루아가 말한 5⋅4⋅3은 현대수학에서 말하는 A_5라는 것과 완전히 동일하다고 본다.
]










Tu sais, mon cher Auguste, que ces sujets ne sont pas les seuls que j’aie explorés.
내 친구 Augustus야, 너도 알다시피, 이 주제들은 나만 탐구한 주제들이 아니야.

Mes principales méditations depuis quelque temps étaient dirigées sur l’application à l’analyse transcendante de la théorie de l’ambiguïté.
Il s’agissait de voir a priori dans une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données sans que la relation pût cesser d’avoir lieu.
[번역하지 못했다.]

Cela fait reconnaître tout de suite l’impossibilité de beaucoup d’expressions que l’on pourrait chercher.
이것으로 많은 사람들이 찾으려 했던 수많은 표현의 불가능성에 대해 즉시 확인할 수 있게 되었어.

Mais je n’ai pas le temps et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce terrain qui est immense.
하지만 난 시간이 없어. 또 내 아이디어는 이 장대한 필드에 있어서 아직 제대로 발전되지 않았어.

Tu feras imprimer cette lettre dans la revue Encyclopédique.
revue Encyclopédique에 이 편지를 인쇄해서 전해줬으면 해.

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그당시 저널 중 하나였다.





Je me suis souvent hasarder dans ma vie à avancer des propositions dont je n’étais pas sûr.
난 종종 위험을 무릅쓰고 내가 확실하지 않아 한 목표에 몸을 내맡겼다.

Mais tout ce que j’ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromper pour qu’on me soupçonne d’avoir énoncé des théorèmes dont je n’aurais pas la démonstration complète.
이 모든 것들은 내 머리 속에서 거의 1년동안 있어왔던 것이고, 실수가 없는지 없는지에 대해 관심을 가지지 않아서 불완전할지도 모르는 이 정리에 대해 누군가가 의심을 가질지도 몰라.

Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes.
야코비나 가우스에게 평해 달라고 해줘. 이 정리들이 참인지가 아니라, 이 정리가 얼마나 중요한지를 보이고 싶어.

Après cela il se trouvera, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.
그 뒤엔, 내가 희망하길, 그 누군가가 이 엉망진창 속에서 도움될 만한 것을 찾을 수 있을거야.





Je t’embrasse avec effusion.
나는 너를 따뜻하게 받아들인다.

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프랑스의 작별 인사말 중 하나



E. Galois
E. 갈루아가










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난 이것을 번역하면서 수학이 무엇인지에 대해 생각하게 해주었다.


-처음에는, 이것만으로는 갈루아 이론이라고 하기에 뭔가 부족한 것 같다는 생각을 했어.
배운 내용에 비해서 엄밀함이 상당히 떨어져 있고, 군론과 체론의 이야기를 거의 동일시하는 것도 있고.
확실히 인상적인 내용이지만... 뭔가 내용이 더 있어야 한다고 봤어.

하지만, 이것은 내가 수학 연구라는 것에 대해 착각을 한 것이었어.


갈루아 이전에도 현대대수학에서의 자취는 존재했어.
root of unity를 이용하여 group theory의 원시적인 형태를 보인 라그랑주가 있었고,
증명이 아주 난해했고 갭도 있었으나 "근본적으로는 성공적으로" 5차 방정식의 비가해성을 밝혀낸 루피니가 있었고,
abelian하지 않은 것이 방정식의 solvable함과 관련이 있음을 보임으로서 abelian하지 않은 수학적 구조에서의 의미를 최초로 보여준 아벨이 있었음.

갈루아 이후에도 그의 이론에 대한 진전은 계속되었어.
최초로 현대에서 쓰이는 Group의 정의를 제시한 사람은 조르당이었고,
field theory를 엄밀화하고, separable extension을 제시한 사람은 데데킨트였고,
현대에서 쓰는 field에 대한 정의를 최초로 제시한 사람은 (크로네커-베버 정리로 알려진) 베버였어.
교과서에서 주로 예시로 제공하는, 3개의 실근과 2개의 허근을 가질 때의 f(x)가 unsolvable임을 밝혀낸 사람은 에밀 아틴이었어.


수학사, 아니 인류사를 통틀어서도 전무한 (수학이 훨씬 더 형식적이고 체계적이게 된 지금 현재, 전례가 없을뿐만 아니라 앞으로도 없을지도 모르는) 이 갈루아라는 사람조차도,
그가 디자인한 이론에 대해 협력해주는 사람이 있어야만 했어.

이거를 보는 사람들도 수학 연구라는 것이 혼자서 독자적으로 모든 것을 하는게 아니라는 걸 알아줬으면 해.





-갈루아에 대한 일생에 대해서도 이야기하려고도 했지만, 하지 않기로 결정했어.
굳이 이야기를 할 필요가 있을지에 대해 의문이 생겼다.
수학 이론에 대해 사람 이야기를 꺼내는 게 꼭 필요한 일일까 싶었음.
갈루아는 그저 급박하게 변화하는 사회의 움직임 속에서 휘말린 것뿐이라고 봐...

만약 갈루아의 인생이 그저 사회 속에서 휘말리는 것 뿐이었다면,
지금 현대의 사람들 중 그 누가 갈루아라는 이름을 알고 있을까.


하지만 수학에서는 계속 남아있을 거임. 반영구적으로.


수학에 대해서 중요한 점이 여기서 있는 거 같다.

힘이 있든 없든간에, 그 인종이 누구든지간에, 사회의 상황이 어떻든지간에
수학은 사람들에게 같은 모습을 유지해주고 있다.

갈루아가 무슨 일을 겪었는지는 내가 말할 필요도 없어 보이고...
그로센딕은 유대인인 아버지로 인해 강제수용소로 보내졌기까지 했어.
Maryam Mirzakhani는 아직도 여자의 간통죄에 대해서 사형이 내려지는 나라에서, 학창시절에 사담 후세인이 자기 동네를 쑥대밭으로 만든 상황이었음.
그들은 이 상황에서도 큰 학문적 성과를 거둬내었다.


수학은 인간이 만든 가장 독립적인 문화라고 생각한다.





- 갈루아는 이 유언장을 약 1달동안 작성했다고 한다.
이 유언장을 친구에게 보낸 그 다음날, 갈루아는 가슴팍에 총알을 맞았다.
당시 단 20세의 나이.
사후에 주목받은 그의 컨텐츠들은 수학 학계의 전반을 바꾸었다고 평가된다.



사회를 바꿔낼 정도의 극명한 글을 써낼 수 있을까...










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이 번역은 한 부분이 편집된 것이다.
지금 내가 한 번역은 갈루아의 유언장에 있는 3가지 주제 중에서 가장 중요한 1가지만을 번역한 내용이다.

분명 다른 내용도 중요해 보인다. 분명 중요해 보인다.
특히 하나는 유한체에 대해서 이야기하는 듯 하지만...

이해하기 어려운 노테이션이 몇몇 있을 뿐더러,
그 당시에는 중요한 분야였는듯 하나 현재에는 잘 연구하지 않는 분야에 대한 이론들이 포함되어서
이 이후부터 번역을 하기에 큰 한계가 있었다.





링크 하나를 남겨두겠다.


http://snu-primo.hosted.exlibrisgroup.com/primo_library/libweb/action/display.do?tabs=requestTab&ct=display&fn=search&doc=82SNU_INST21557725600002591&indx=1&recIds=82SNU_INST21557725600002591&recIdxs=0&elementId=0&renderMode=poppedOut&displayMode=full&frbrVersion=&frbg=&&dscnt=0&scp.scps=scope:(82SNU_SSPACE),scope:(82SNU_INST),scope:(82SNU_COURSE),scope:(82SNU_ROSETTA),primo_central_multiple_fe&tb=t&vid=82SNU&mode=Basic&srt=rank&tab=all&prefLang=ko_KR&dum=true&vl(freeText0)=The Mathematical Writings of Evariste Galois&dstmp=1504353593266


유언장뿐만 아니라 생전 갈루아의 저작물들을 모아둔 책이다.

친절하게 영어까지로도 번역이 되어 있어서, 힘들게 직접 프랑스어를 한국어로 번역하는 삽질을 할 필요가 없어진다.

한국에는 없는 책인줄 알았는데,
이거 서울대 도서관에 있더라...

나는 여기까지 한 것에도 만족한다.
하지만... 누군가가 나 대신 유언장의 남은 내용을 번역해줘도 감사하겠음.