댓글은 가끔 달아봤지만 글은 처음 써보네...  방금 어떤 분이 라스 홀만더 업적 소개해달라고해서 처음 글써봄.


라스 홀만더는 1962년 필즈상을 받고 그 후 울프상까지 받고 2012년 돌아가심. Linear partial differential operator 라는 분야를 길을 뚫어놓은 사람이고 microlocal analysis의 꽃을 피운 사람임.

라스 홀만더의 업적을 진짜 큰거만 몇개 말하자면 다음과 같음.


1. Differential operator의  Principal symbol 의 level set (algebraic variety)의 geometric property와 operator의 regularity theory를 서로 연관시킴.


2. Pseudodifferential operator theory 정립.


3. Hypoelliptic theory 정립. (Hormander's Lie bracket generating condition)


4. Propagation of singularity theory 정립. (Wave front set, Hamiltonian flow on cotangent manifold의 관련성 포착)


5. Fourier integral operator


라스 홀만더가 워낙 한게 많고 위 5개가 진짜 대표적인 것인데, 얘기를 자세히 하자면 너무 끝도 없을거 같아서 진짜 간략하게 각각 얘기하겠음.

얘기하기 전에, microlocal analysis, principal symbol이 무엇인지 대략 얘기하고 가겠음.


Microlocal analysis는 physical space(R^d)에서만 생각하지 않고, phase space(R^d의 cotangent bundled)라는 보다 큰 공간에서 연구하자는 것임. 이는 fourier analysis관점으로 보면 매우 중요한 것인데, 예를 들어서 함수 f를 푸리에변환시키면 frequency space에서의 함수 f^이 정의되지. f가 regular할수록 f^는 infinity에서 decay하는 속도가 빨라지고. x를 physical variable, /xi를 frequency variable이라 하면 (x,/xi)는 cotangent bundle의 원소가 되지.


Principal symbol은 differential operator가 주어질 때 contangent bundle에서 정의된 함수야. 예를 들어 laplacian의 심볼은 -|/xi|^2이 되고. 이는 매우 중요한데, principal symbol를 hamiltonian이라 할 때 hamiltonian flow와 propagation of singularity가 매우 관련이 있기 때문이야. 

이제 라스 홀만더 위의 업적 5개를 진짜 간단하게 말할게.


1. linear differential operator가 있을 때 가장 기본적인 질문은 operator를 적용시킬때 함수의 regularity set이 어떻게 변화하느냐지. 라스 홀만더는 principal symbol의 0의 level set 정보가 매우 중요하다는걸 증명했어. \xi가 무한대로 갈때 principal symbol의 허수부 부분이 발산하면 hypoelliptic하다는걸 증명했고 (sing supp set이 같음) 역도 성립함을 보였음.


2. 우리가 아는 수많은 operator (laplace 등)는 fourier multiplier 의 특수한 경우인데, 이를 일반화한게 pseudodifferential operator임. 이는 quantization theory에서도 매우 중요한데, principal symbol을  quantize하면 바로 pseudodifferential operator가 되기 때문에. cotangent bundle에서의 classical dynamics(hamiltonian flow)와 quantize된 operator dynamics(quantum dynamics)는 서로 수많은 연관이 있는데, quantum ergodic theory처럼 요즘 매우 핫한 분야임.


3. 우리가 배우는 elliptic operator는 regularity property가 성립하자나. 즉 Pu가 smooth하면 u도 smooth하지. 근데 일반적으로 non-elliptic하면 이게 성립하지 않어. 그런데 라스 홀만더는 elliptic하지 않더라도 operator를 generate하는 vector field가 Lie bracket generating condition을 만족시키면 regularity property가 성립함을 보임. 이 경우 subelliptic property가 성립해. 

이걸 좀더 설명할게. elliptic operator P에 대해서 Pu가 H^k-smooth하면 u는 H^(k+2)-smooth하지. 여기서 H^k=W^(k,2) sobolev space라고 하자고. 근데 subelliptic이란 말은 +2 regularity가 아니라 +(2-epsilon)만큼의 regularity를 얻는다는 거야.


4. 이건 1번 전에 살짝 설명했는데, operator P의 principal symbol이 contangent bundle에서 정의된 함수인데 Pu가 smooth하면 u의 wave front set이 symbol의 hamiltonian flow에 invariant해.


5. FIO는 pseudodifferential operator를 일반화시킨거야. 이것은 매우 중요한데, cotangent bundle에서의  canonical transformation (symplectic map)의 quantization이 바로 FIO이기 때문이야. 라스 홀만더는 이에 대한 연구도 많이 했어.


도움이 되었으려나? 혹시 수학 정보나 인물 (유명한 수학자 / 필즈메달리스트 / 아벨상, 울프상 수상자)의 수학적 업적에 대해 알고싶으면 또 알려줘.