세드릭 빌라니 다들 알지? 최근 프랑스 공천받아서 엄청 유명해졌지. 수학공부하다가 머리아프고 답답해서 세드릭 빌라니 업적 간단히 소개할게.

세드릭 빌라니는 PDE, Mathematical Physics에서 큰 업적을 받았고, 구체적으로 다음 세 가지가 업적임.


1. Boltzmann equation


2. Landau damping


3. Optimal transport and Ricci curvature


1. 볼츠만 방정식  - Math physics에서 움직임을 기술하는 방법은 microscopic / macroscopic이 있음. micro는 입자들의 움직임 (classical dynamics, hamiltonian dynamics)을 관찰하는거고 macro는 euler equation, navier stokes equation처럼 PDE로 기술됨. 힐버트가 제시한 난제들 중 6번째 문제가 바로 이 micro와 macro의 연관성을 기술하는 것임. 실제로 hamiltonian dynamics에서 적절한 scaling limit이 macro가 됨. 예를 들어서 Stochastic interacting particle system에서도 euler scaling을 하면 nonlinear conservation law equation (burgers equation), diffusive scaling 을 하면 heat equation을 얻을 수 있음. micro와 macro 사이에 있는게 mesoscopic인데 이의 대표적인 예시가 바로 볼츠만 방정식임.


이 볼츠만 방정식은 수학적으로 well-posed를 증명하는 것이 난제임. classical solution의 존재성으로 수학적으로 엄밀하게 증명하지 못함. 그러나 프랑스 필즈메달리스트이자 세드릭 빌라니의 지도교수인 Lions가 볼츠만 방정식의 'renormalized solution'이라는 개념을 도입하여, classical solution이 아니라 weak solution의 종류 중 하나인 renormalized solution에서는 well-posed됨을 증명함 (annals of math실림).

well-posed가 증명되면, 해의 qualitative / quantitative property를 연구하는 것이 또다른 큰 문제인데, 세드릭 빌라니는 'entropy'와 'entropy production'이라는 개념을 도입하여 해의 정성적 / 정량적 성질을 증명했음.


2. Landau damping - 플라즈마 다이나믹스를 기술하는 방정식임. 세드릭 빌라니가 한 것은 equlibrium state로 수렴하는 속도가 exponential하다는 것을 증명함.

일반적으로 nonlinear pde에서 해의 정성적 정량적 성질을 분석하는 것은 매우 어려움. compact manifold에서 정의된 heat equation 을 생각하면 exponential decay rate가 laplacian의 principal eigenvalue에 의존하고, non-compact manifold에서 정의된 wave equation을 생각하면 resonance expansion이 존재함. 이렇게 linear PDE가 아니라 Landau equation처럼 nonlinear pde에서는 성질을 찾기가 매우 어려운데, 세드릭 빌라리는 이를 엄밀하게 증명함.


3. Optimal transport - metric measure space에서 두 measure가 있을 때, 이 메져의 거리를 기술하는 것이 Wasserstein distance이고 이는 두 메져의 optimal transport map을 찾음으로서 기술됨. 메져들을 모아놓은 공간을 생각하면 무한차원 공간인데, 여기에 적절한 미분기하 구조를 줄 수 있음. 즉, 메져를 모아놓은 공간에서의 geodesic 등을 정의할 수 있음. 세드릭 빌라니는 Riemannian manifold의 Ricci curvature가 양수일 때 메져 모아놓은 공간에서 정의된 entropy function이 convex하다는 것을 증명함. 또한, Ricci curvature > K일 때 entropy function이 geodesic 위에서 K-convex하다는 것을 증명함. 이를 이용하여 Riemannian structure가 없더라도 general metric measure space에서 Ricci curvature개념을 도입할 수 있음.