prime number theorem에 의해서, interval [1,..,N] 위에서 소수의 개수는 대략 N/logN이니까 평균적으로 gap은 logN 정도 된다고 할 수 있겠지. gap이 작을때 (liminf(p_{n+1} - p_n))은 constant 아래로 떨어진다는게 Yitang Zhang, James Maynard 등의 결과고,
익명(223.62)2017-11-28 01:24:00
반대로 max_{p_{n+1} <= N}(p_{n+1} - p_n), 즉 N 이하의 소수들 중에서 prime gap의 max값이 N에 대해서 어떤 점근적인 모습을 보여주는지가 궁금하지. (당연히, log N보다는 크겠지)
익명(223.62)2017-11-28 01:24:00
실제로 small gap 문제에 대해서 많은 수학자들이 연구했듯이 (Goldston-Pintz-Yildirim, Yitang Zhang, James Maynard 등등), 마찬가지로 반대의 문제에 대해서 많은 사람들이 연구해왔음. 다만 1930년대에 나온 결과 이후 앞에 붙은 상수만 개선되는 수준이라서
익명(223.62)2017-11-28 01:25:00
Erdos가 그 bound를 깰 수 있는가에 대한 conjecture를 냈는데, Ford, Green, Konyagin, Tao가 결국 그것을 깼고,
https://arxiv.org/abs/1408.4505
익명(223.62)2017-11-28 01:25:00
거의 같은 시기에 Maynard도 위 저자와 다른 방법으로 유사한 결과를 얻어서, 결국 James Maynard도 껴서 공동연구를 한 결과 윗 댓글의 결과보다 더 강한 bound를 얻게 되었음.
https://arxiv.org/abs/1412.5029
익명(223.62)2017-11-28 01:25:00
이에 관해서 역사와 아이디어를 잘 설명하는 Tao의 강의영상이 youtube에 있으니 참고 바람.
https://www.youtube.com/watch?v=pp06oGD4m00
익명(223.62)2017-11-28 01:25:00
하나만 덧붙이면 Erdos가 추측하고 Maynard FGKT가 증명한건 limsup pn+1 - pn의 lower bound임. upper bound는 가정 없이는 x^0.525 정도. primes in short interval으로 검색하면 됨
ns(qwer2357)2017-11-28 02:34:00
Cramer heuristic에 따르면 O(log^2 x)가 될걸로 추정.. 뭐 왜 그렇게 생각했는지에 대한 설명이 있긴 하지만 어차피 다른 추측으로 새로운 추측을 만든거니 생략.
이거 123갑이 쓴 댓글 노트에 저장한 거 있음. 복붙하겠음
prime number theorem에 의해서, interval [1,..,N] 위에서 소수의 개수는 대략 N/logN이니까 평균적으로 gap은 logN 정도 된다고 할 수 있겠지. gap이 작을때 (liminf(p_{n+1} - p_n))은 constant 아래로 떨어진다는게 Yitang Zhang, James Maynard 등의 결과고,
반대로 max_{p_{n+1} <= N}(p_{n+1} - p_n), 즉 N 이하의 소수들 중에서 prime gap의 max값이 N에 대해서 어떤 점근적인 모습을 보여주는지가 궁금하지. (당연히, log N보다는 크겠지)
실제로 small gap 문제에 대해서 많은 수학자들이 연구했듯이 (Goldston-Pintz-Yildirim, Yitang Zhang, James Maynard 등등), 마찬가지로 반대의 문제에 대해서 많은 사람들이 연구해왔음. 다만 1930년대에 나온 결과 이후 앞에 붙은 상수만 개선되는 수준이라서
Erdos가 그 bound를 깰 수 있는가에 대한 conjecture를 냈는데, Ford, Green, Konyagin, Tao가 결국 그것을 깼고, https://arxiv.org/abs/1408.4505
거의 같은 시기에 Maynard도 위 저자와 다른 방법으로 유사한 결과를 얻어서, 결국 James Maynard도 껴서 공동연구를 한 결과 윗 댓글의 결과보다 더 강한 bound를 얻게 되었음. https://arxiv.org/abs/1412.5029
이에 관해서 역사와 아이디어를 잘 설명하는 Tao의 강의영상이 youtube에 있으니 참고 바람. https://www.youtube.com/watch?v=pp06oGD4m00
하나만 덧붙이면 Erdos가 추측하고 Maynard FGKT가 증명한건 limsup pn+1 - pn의 lower bound임. upper bound는 가정 없이는 x^0.525 정도. primes in short interval으로 검색하면 됨
Cramer heuristic에 따르면 O(log^2 x)가 될걸로 추정.. 뭐 왜 그렇게 생각했는지에 대한 설명이 있긴 하지만 어차피 다른 추측으로 새로운 추측을 만든거니 생략.
개추 - dc App