선형사상이다. 선형적이다 라고 하면 대부분 닝겐따찌들은 직선이라는 기하학적 대상을 떠올림.


하지만 이 아래 선대 공식을 보고 그 심오한 의미를 깨우칠 수 있는 닝겐이라면 선형은 그저 직선을 말하는게 아니란 걸 알 수 있음.


I=MM^-1


I의 실체를 여지없이 드러낸 저 공식.


정의를 보자면 I란 결국 I에 M을 합성(composition)한 다음 그걸 다시 역분해(inverse) 태운 것에 지나지 않음.


사실 나는 수학의 역원을 칭할때 쓰는 inverse란 말보단 counter 라든지 안티테제(anti thesis) 같은 철학적 용어가 더 의미를 더 잘 부각시킨다는 느낌이 듬.



직선(line) 또는 직선적이라고 한다면 반드시 시작(start)과 끝(end)가 있고 start에서 end로 갈 수는 있지만 end에서 다시 start로 거슬러 갈 수는 없지.


직선상 한 점 start와 다른 한 점 end는 서로 데뷰가 불가능함.


단방향(one way) 사상(mapping)임.


이유는 대수적으로 합성(composition)한 것을 다시 분해(decomposition) 할 수 없기때문에 원래의 I로 돌아올 수가 없음.


직선의 시작지점 I (start) 에서 종료지점 M(end)까지는 무수히 많은 일차함수의 결합(product)임.


그 결합은 반드시 크기는 같지만 방향(연산)은 다른 또다른 일차함수의 결합으로 분해될 수 있을 때 이것을 양향방(two way, bijective) 사상이라 함.



그렇다면 직선의 양 끝을 구부려서 휘게 만든 다음 곡면(curve)을 만들어 보자.


이 경우 start와 end는 한 점에서 만나게되고 start에서 end로 end에서 start로 얼마든지 왔다갔다 할 수 있음.


여기서는 start와 end는 사실상 같은 것이고 합성과 분해가 가능한 양향방(two way, bijective) 사상임.



지구(earth)를 상상해보자.


북극에서 출발해 한 바퀴 뺑돌면 다시 북극이 나온다는 건 자명한 논리지.


우리가 흔히 직선이라고 생각하는 것은 어디까지나 유클리드 공간에서의 기하이고 +- 곡률을 가진 비유클리드 기하에서 보면 그건 직선이 아니고 곡선임.


모든 구(sphere)는 대수적으로 modulo 이고 modulo 체계는 기본적으로 I=MM^-1 으로 작동하는 체계임으로 다시 원점으로 복귀할 수 있는 것.




한가지 더 흥미진진한 얘기를 해보자면


사실 시간도 양방향 사상이 아닐까 하는 것이지.


시간이 흐른다는 것은


과거가 미래를 향해 흘러간다.   f:I -> M  =  M   


미래가 과거를 향해 흘러간다   f^-1:M->I = M^-1


의 2개의 사상이 합성되서 만나는 교점 I가 present = 현재 라는 것이 나의 지론임.



시간은 결코 단선적이지 않고 과거가 미래를 향해 가듯 미래가 과거를 향해 다가오는 것임.


그것이 항등원이 되는데 그것이 바로 이마 고꼬니, 즉 현재임.


인간의 보잘것없는 감각과 경험이아닌 수학적 성찰로 깨우친 나의 결론은 바로 이것임.



철학자이면서 위대한 수학자인 데카르트 성님이  사물을 정확히 인식하는 방법으로 보편이성을 강조하면서 수학적으로 쪼개고 나눈다음 다시 합하면 그것을 정확히 인식 할 수 있다고 한 말을 내가 직접 보인것.



선형, 구면기하, 지구, 시간.


이것들이 어떻게 동작하는지를 나는 설명했지만 왜 그렇게 동작하는지 까지는 아직 설명하지 않았지.


결론은 다 대칭임. symmetry 가 존재함으로 합성과 분해의 과정이 자연스럽게 이루어진다는 거. 


그래서 원래의 고유의 상태 Identification(solution)을 찿을 수 있다는 것.



I=MM^-1 을 다시 한 번 살펴보자.


I는 합성과 분해의 쌍(pair)이고 둘 중 하나라도 없으면 I가 아니지.


그런데 묘한 것은 이 합성과 분해가 I를 중심에 두고 빙글빙글 돌면서 꼬리잡기 놀음을 한다는 것.


자기가 자기를 빙글빙글도는 것인데 일견 모순되어 보이지만 모순이 아니라 자연스러운 것.



회전문을 떠올려보자.


회전문의 한쪽 날개를 밀면 축에 연결된 다른쪽 날개가 내가 민 힘만큼 내 뒤를 다시 따라오는 것을 경험적으로 알 수 있음.


뭐든지 카운터가 있다는것. 뉴턴역학의 제 3법칙만 봐도 알 수 있음.


우리가 사는 세상은 이 작용과 반작용이 서로 밀고당기면서 이루어지는 것이라는 것.


철학에서는 이걸 변증법이라고 한다는 것.


그런데 왜 서로 대립대고 모순되는 것들이 서로 밀고 당기는 데 모든 시스템(체계)은 붕괴되지않고 오히려 안정과 질서를 유지하는가?


거기에는 대칭이 있기 때문이라고 설명했음.


해와 달, 남자와 여자, 얼굴의 각각반쪽, 삶과 죽음, 과거와 미래 등등...


이것들이 대칭을 이룬다는건 I를 만들어낸 다는 것이고 이 I가 바로 조화와 균형, 안정인 것.


대칭이 붕괴되면 I를 만들 수 없다는 것이며 이것은 합성된 걸 분해할 수 없다는 것.



그리고 이 symmetry는 isomorphism 이란 축 위에서 빙글빙글 도는 날개 같은것.


isomorphism 이 symmetry를 낳고 symmetry가 Identification을 낳고 요렇게 줄줄줄~~ 흘러가는 것.




최종 결론.


구면 기하와 모듈로 시스템, 타임, 대칭성을 가진 모든 존재=시스템=계 그리고 f:X->Y = f^-1:Y->X 인 모든 선형사상은 동치관계임.



ps.


나 자신조차 내가 쌓은 수학적 논리의 기계적이고도 치밀한 구조에 아름다움과 전율을 느낌.


기계적 논리를 극한(up to the limit)까지 밀어붙히면 이러한 신성(divine)이 보여지는 것.


리만, 힐베르트, 괴델 괴팅겐 마피아따찌가 다시 부활한다 해도 이것만큼은 내 논리성을 뛰어넘을 수 없음.


수학을 사고력, 논리력 쌓기위해 한다고 운운하는 애들은 수학이 뭔지도 모르는 애들임.


그것은 아름답기에 하는 것임. 


수학도 미학의 한 종류인 것.


모든 수학의 대가들은 이렇게 생각함.