코시 적분정리 증명해봤어요

[낄롱땅삡(hep93)]

틀린곳 있으면 지적부탁드려요

[낄롱땅삡(hep93)]

아 마지막에 적분값 upperbound에 f(s)의 최댓값 * 곡선길이 곱하는걸 빠트렸네요;

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

대충 보면 한 점에서 Taylor expansion해서 그게 원래 함수로 수렴한다고(즉 analytic)하다고 가정하고 가는거 같은데, 문제는 코시적분정리는 한번 미분 가능만있어도 성립하고, 그리고 diffrentiable이면 analytic하다가 코시적분의 따름 정리란거임(경로를 원으로 잡고 무한급수 전개)

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

diff면 analytic이다를 다른 방법(코시 없이) 증명했다면 유효한 증명인데, 그게 쉬울려나...

[낄롱땅삡(hep93)]

f가 analytic하고 n=1일때 성립한다고 가정했을때 임의의 자연수 n에 대해서 성립함을 귀납법으로 보인거예요.

[낄롱땅삡(hep93)]

코시적분의 따름정리는 analytic이면 무한번미분가능하다는거 아니예요?

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

아 그냥 보니까 테일러 근사가 아니라 그냥 귀납적 증명이구나; 근본적으로 d/dz를 안으로 넣은거랑 동일하니까 맞는데 n=0이나 1일때가 제일 중요한 파트일거임(보통 여기를 코시 적분 정리라고 부름) analytic의 얘기는 코시적분 정리때문에 한번 diff(holomorphic)하면 무한번 미분 가능 + taylor 근사 가능이라서

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

그 둘을 보통 같다고 하고 용어도 혼선해서씀 원래 실수함수에서 analytic하다하면 taylor 근사로 수렴한단 얘기였으니까 근데 내가 증명을 대충보고 쓴거라 별 의미없는 얘기긴 했음

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

그니까 증명의 내용은 코시 적분정리의 따름 정리인데 원래 코시적분정리(닫힌 경로에서 적분값 0, 쫌만 굴리면 식에서 n=0일때)를 포함하는 내용은 아님

[낄롱땅삡(hep93)]

아하 알겠습니다! 감사합니당