해석학은 추상성에서 1960년대에 정점찍고 그 이후론 좀 concrete한걸 추구하는 걸로 연구경향이 바뀐 편이냐?
Hormander가 1960년대 필즈메달 수상한 인간이니
123갑이 쓴 존나 어마무시한 개념들 대부분이 1950년대에 창안된 것들일텐데
내가 착각하는 것일수도 있겠지만 현대 해석학 연구(PDE, 확률론 등)에서 저런 어마무시한 개념들이 주된 토픽은 아닌거 같아서...
상식적으로 60년전에 저런 개념들이 나왔고 그런 연구 프로그램이 쭉 이어졌다면 60년이란 세월이 지난 지금은
저런 것 따위야 trivial하게 보일 정도로 복잡한 연구가 진행중이어야 하는거 아님?
실제로 현대 해석학에서는 60년대에 꽃피운 harmonic analysis, microlocal analysis를 깔고 가는것이 많습니다.
예를들어 quantum ergodic theory에서는 제가 글썼던 개념들 microlocal analysis 를 기본으로 하고 이론을 전개하죠.
ㄷㄷ 제가 잘 몰라서 그러는데 실제 그게 리서치에서 많이 쓰이나 보군요. Hormander가 쓴 4권짜리 선형PDE책이 있던데 해석학에서 리서치 레벨 연구를 하려면 필수적으로 이 정도는 필수적으로 숙지해야하나요?
현대 활발히 연구되고 있는 wave equation과 같은 hyperbolic PDE에서는 이와같은 microlocal analysis가 매우 중요합니다.
그 4권 책은 어렵습니다. 해석학 중에서 무슨 분야를 하는지에 따라 갈립니다.
예를 들어 general relativity, wave equation과 같은 hyperbolic pde, 그리고 general linear pde등을 공부하고싶다면 그 4권의 책을 다 봐야합니다.
그런데 elliptic/parabolic pde, geometric analysis 에서는 필수는 아닙니다. (물론 읽으면 상당히 도움되긴 하겠지만 메인 툴은 아님)
PDE뿐만 아니라 사실 확률론에서도 뜬금없이 이와같은 harmonic analysis가 많이 등장합니다. 예를 들어 2014년 필즈메달을 수상한 마틴 헤어러의 regularity structure을 봐도, 작년 아벨상을 받은 wavelet theory를 기반으로 이론을 정립하였죠.
근데 제가 1950년대에 써진 함수해석학책(예를 들어 Dunford&Schwartz) 같은걸 읽어도 최근에 쓰인 함수해석책에 비해 내용이 부족하다는 느낌은 전혀 못받았고 오히려 더 자세한 것 같다고 느꼈는데. 함수해석에서 1950년대 이후 혁신적이라 할만한 도약이 많이 있었나요? 제가 좆도 몰라서 그렇게 느끼는 것일 수도 있는데 왠지 추상적 레벨로 해석학을 다루는건 1950년대 이후 정체수준인거 같아서요...
Martin hairer와 같이 singular SPDE 이론을 발전시키고있는 Gubinelli의 경우에도 paradifferential calculus (Bony가 nonlinear PDE 이론에서 예전에 정립한)에서 아이디어를 얻었고요.
제가 좆도 모르고 수학을 딱히 잘하지도 못하지만 저로서는 해석학에서 위상벡터공간 등 추상적 함수해석같은 분야를 좋아하는 편인데... 이분야가 요즘에도 활발히 연구되는지 궁금합니다. 주변에서 거기는 dead field라고 하는 소리도 많이 들리고 해서요...
요즘은 함수해석학 자체가 활발히 연구되는거보다는 60~70년대까지 나온 harmonic analysis, functional analysis를 그냥 다 기본으로 하고 다른 분야와 짬뽕시키는 연구가 많기 때문에 그렇게 보이시는 걸껍니다.
네 아쉽게도 그런건 액티브하지 않고 70~80년 전에 이미 다 충분히 공부되었다고 생각하고 있습니다.
요즈음은 그냥 저런거를 기본으로 싹다 안다고 베이스로 깔고 시작하죠. 너무 자명해서 레퍼런스로 달지도 않는 수준입니다 현재는.
ㄷㄷ 그렇군요