원문은 https://mathoverflow.net/questions/23478/examples-of-common-false-beliefs-in-mathematics

mathoverflow가 엄근진하긴하지만 이런 류의 질문은 soft-question 이나 big-list로 달아 놓으면 다들 재밌게 즐기는듯 함. 태도와 태그가 문제임

전부 다를 번역하진 않을테니까 더 보고 싶으면 원문을 보셈


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ원래 질문 ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

우선 말해야 할 것은 이 질문은 흥미로운 수학적 실수에 관한게 아니란 겁니다. 전 많은 똑똑한 사람들이 수학을 배우면서 갖게되고,

실수가 지적되면 빠르게 버려지는 오개념들에 대해서 관심이 있습니다 ㅡㅡ 또 왜 그런 오개념들을 가지는지도요.

그러니까 전 이런 관점에서 흔히 일어나는 수학적 실수들에 관심이 있습니다.


제가 말하고 있는 종류의 예를 들어보겠습니다. 복소해석학을 가르칠때, 서로 공존할 수 없는 네개의 믿음을 가진 사람들을 종종 만납니다.


(i) 유계인 전해석함수(bounded entire function)은 상수함수다

(ii) sin z는 유계이다

(iii) sin z는 복소평면(C)전체에서 정의되고 해석적(analytic)이다

(iV) sin z 는 상수함수가 아니다


분명히, (ii)가 거짓이죠. 전 아마도 많은 사람들이 sin z 의 복소 평면으로의 확장을 이중주기함수?(doubly periodic function)으로 시각화한다고 생각합니다.

누군가가 말도 안된다고 지적하기 전엔 말이죠.


두번째 예시는 실수(R)의 열린 조밀한(open dense) 집합이 R전체여야 한다는 겁니다. 이 주장의 "증명"은 모든 점 x는 U의 어떤 점 u에 원하는 만큼 가까워야 하고,

따라서 u의 작은 근방(neighborhood)에 x가 포함되어야 한다는 것이죠.


제가 원하는건 좋은 예시들이고, 수학적이기보다는 심리적인 질문이기 때문에, 이것을 communitu wiki(주:작성자가 질문과 답변을 wiki형식으로 바꿔서 박제하는 형태의 게시글임)로 만드는게 낫다고 생각합니다.

제가 예시에서 가장 중요하게 생각하는 건 그것들이 충분히 어려운 수학에서 나타나고(따라서 (x+y)^2 = x^2+y^2 같이 아주 흔하지만 아주 기초적인 것들에는 흥미가 별로 없습니다), 여러가지 이유로 타당하게 생각되어야 한다는 것입니다.



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벡터 공간에서, dim(U+V) = dim(U)+dim(V) - dim(U 교집합 V)니까, 따라서


dim(U+V+W)= dim(U)+dim(V)+dim(W)-dim(U 교집합 V)-dim(V 교집합 W)-dim(W 교집합 U) + dim(U 교집합 V)



댓글) 잠깐, 이게 참이 아니라고?

댓글) R^2에서 세 직선들을 생각해보면...


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A와 B가 (가환환commutative ring에서 원소를 가지는)정사각행렬일때, tr(AB) = tr(BA)가 성립합니다.

전 언젠가 이 성질이 (귀납법으로) 임의의 유한곱에 대해서도 순서에 상관없이 적용된다고 생각했던 적이 있습니다.


댓글)사실 tr(AB)= tr(BA)는 AB와 BA가 정의되면 정사각행렬이 아니어도 성립합니다. 이제 판별식(determinant)를 생각해보면,

정사각행렬 A와 B에 대해서는 det(AB)=det(BA)가 성립하지만, 아닌 경우에는 성립하지 않지요(행벡터와 열벡터인 경우를 생각하면)


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거리 공간에서 반지름 r의 열린 구(open ball)의 닫힘(closure)은 반지름 r의 닫힌 구이다.


어느정도 연관되어있어 보이는 것: 유클리드 공간의 부분집합의 경계(boundary)은 내부(interior)가 공집합이고, 더 나아가서 경계는 르벡 측도 0이다.

(이 오개념은 Gowers가 제시한 자명하지 않은non-trivial 열린 조밀 집합의 예시들과 밀접하게 연관되어 있습니다)


더 일반적으로, 일반 위상수학(point set topology)와 측도론(measure theory)에서의 모든 종류의 오개념은 고전적인 반례들을 접해야지만 사라지는 것 같습니다

(칸토어 집합, bullet-riddled sqaures ({ [0,1]^2 \\\\backslash {\\\\bf Q}^2}), space filling curve, the long line(위키피디아 , [0,1)을 aleph1만큼 배열한것), sin(1/x)와 그 변형들, 등등...)







썰풀기는 귀찮으니까 누가 써놓은거 번역정도는 해야지

번역하다가 그냥 수학용어 영어로 써놓을껄 했는데 이미 늦어버렸다