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중3때 했던 뻘짓으로부터 시작한다.


아이유

이휘재

유재석


위와 같이 가로순으로 읽든 세로순으로 읽든 똑같은 문자 배열을 Sator Square라고 한다.


그렇다. 대칭행렬이다. 위 성질을 이용하여 대칭행렬 개념을 m×n 행렬로 확장시킬 수 있다. 위의 예시에서 1행 2열이랑 2행 1열과 같이 꼭 같아야만 하는 자리들이 생긴다. 얘네를 동치류라고 부른다. 가장 큰 동치류는 1행 2열을 포함하며, 크기는 ord_(mn-1) n과 같다. K(m,n)은 m×n 대칭행렬의 동치류 개수이다. 따라서 K(n,n)=n(n-1)/2 이다. K(m,n)=K(n,m)이다.


나는 K(m,n)=3일 때가 너무 끌렸다. 1행 1열과 m행 n열을 제외한 나머지가 전부 한 동치류에 들어가는 게 절묘해서 너무 흥미로웠다. K(m,n) 값이 너무 요상하고 난수같이 나오는것도 흥미로웠다. 그리고 대칭행렬을 확장했다고 말하긴 했으나 이것에 딱히 선형대수학적 의미는 없었기에, 내 연구는 단지 K(m,n)을 기준으로 돌아갔다.


그리고 고1때 K(m,n)=3 ⇒ mn-1: 소수임을 쉽게 증명해볼 수 있었다. 그렇지만 지도교사가 이걸론 너무 부족하고 K(m,n)=3인 (m,n)쌍이 무수히 많은지와 같은 문제들이 의미있을거라 했다. 그 외에 K(m,n) 표를 만들어서 찾은 다음의 규칙은 아직도 미해결 문제이다:


(m,n)≡(m',n') (mod 4)라 하자. K(m,n)이 홀수면 o, 짝수면 e로 표기하자. 다음이 성립한다.

n/m:0 1 2 3

0.....e e e e

1.....e o e o

2.....e e o o

3.....e o o e


고2때는 대수학을 접하면서 고1때 이미 알았던 다음 사실을 수학적으로 서술할 수 있게 됐다: K(m,n)은 ℤ/(mn-1)에 군 <n>={n^k|k in ℤ}이 작용했을 때 궤도의 개수와 같다. 그리고 여기에 <a>를 작용시키면서 새로운 시각을 얻게 됐고, 고1때 얻었던 정리를 일반화했다.


고3때는 우연히 ζ^7=1일 때 (ζ+ζ²+ζ⁴)(ζ³+ζ^5+ζ^6)=2 라는 식을 접했다. 나는 곧바로 이게 2×4 대칭행렬과 연관있음을 알았다. 이에 힌트를 얻어서 나는 ℤ/(mn-1)을 Gal(Q(ζ_(mn-1))/Q)로 끌고왔다. 그리고 각 동치류의 복소수 primitive root ζ들을 다 더한 애를 특성값이라 정의하고 얘네를 계산했다. 근데 이게 뭔 의미인진 몰라서 별 소득은 없었다. 결국 학부대수학 좀 본 것 갖고 헛짓거리를 좀 했는데, 당시엔 체론을 잘 이해 못했기 때문이다. 그래서 별 의미없는 algebra들을 만들고 졸업논문에는 이게 주아이디얼 분해구조를 갖는다는둥의 이상한 추측들로 도배했다.


물론 나는 고1때 이미 K(2,n)을 oeis.org에 넣어보았다. 거기선 이렇게 소개했었다: 2n개 카드를 perfect shuffle할 때 몇 번만에 카드배열이 되돌아오느냐가 바로 K(2,n)이다. 근데 오늘 다시 보니까 GF(2)의 irreducible polynomial factors of x^(2n-1)-1 개수라는 설명으로 바뀌어 있었다. 그리고 나는 연구를 마저 했다. 일단 왜 그렇게되는지 원리를 알아냈다. 그 과정에서 고3때 접근방식이 틀렸고 GF(p)에서의 freshman's dream으로 접근해야했음을 알았다. 그리고 이에 힌트를 얻어서 예전에 누가 귀띔해준 cyclotomic polynomial에 대해 검색했다. 그러다가 크로네커-베버 정리에서 출발해서 정수론을 알아보기 시작했다.


그 결과 일단 확실히 정수론이 내 길이라는 걸 알았다. 저번에 제시했던 문제( http://gallog.dcinside.com/charin9/14465108312390201003 )도 결국 대수적 정수론 문제였던 듯하다. 그리고 지도교사가 해보라고 했던것의 답도 알게 됐다. Artin conjecture가 이를 함의하는데, 일반화된 리만 가설을 가정하면 증명이 되는 문제였다. 그래서 개빡쳤지만 어쨌든 정수론의 세계는 상당히 넓고 재밌었다. 그래서 나는 이제 K(m,n)으로부터 좀 자유로워지고 싶어졌다. 그래서 이 글을 썼다.


그래도 난 아직 특성값이 무슨 의미가 있는지 모른다. 내가 저번에 제시한 문제에서 monic polynomial을 멋대로 algebraic numbers of ℤ/(p)로 취급했듯이, 사실 내가 ζ를 멋대로 복소수취급했음에도 불구하고 그게 너무 잘 계산된다. 왜일까?