Topology (James Munkres)

보통 교재로 사용되는 위상수학 책. 앞 절반은 general topology, 뒤 절반은 algebraic topology에 대해서 다룬다. 

많은 학생들이 앞 절반만 공부하고 위상수학이 재미없다고 생각한다. 하지만 절대로 아니다. 앞 절반의 내용에서 정작 대수위상이나 미분위상을 공부할 때 쓰이는 내용은 기껏해야 connectedness, compactness, product space, quotient space 정도다. 가끔 paracompactness나 compact-open topology가 쓰이기는 하지만, general topology의 내용은 집합론적 위상수학을 공부할 것이 아닌 이상 깊이 공부할 필요가 없다. 

나는 차라리 connectedness, compactness, product space, quotient space 정도의 내용을 익힌 뒤에는 바로 책의 뒤 절반인 algebraic topology를 공부하기를 추천한다. 그러면 진짜 '위상수학'을 공부한다는 느낌이 들 것이다. 



Algebraic Topology (Allen Hatcher)

보통 대수위상 교재로 사용되는 책. 

그림이 많고 설명이 잘 되어 있다. 

다루는 내용은 크게 fundamental groups and covering spaces, homology, cohomology, homotopy groups이다. 

참고로 [Munkres]의 algebraic tooplogy 부분에서 다루는 내용이 [Hatcher]의 1장 fundamental groups and covering spaces 부분에서 다루는 내용이다. 



An Introduction to Algebraic Topology (Joseph Rotman)

[Hatcher]보다 조금 더 대수적으로 접근하는 대수위상책. 참고로 저자 Rotman은 대수학자다. 

Homological algebra에 익숙하지 않은 독자는 이 책에서 많은 도움을 받을 수 있다. 



Differential Forms in Algebraic Topology (Raoul Bott & Loring Tu)

위에서 두 가지 대수위상 책을 소개했는데, 이 책은 또 다른 성격의 대수위상 책이다. 주로 미분형식으로 만들어지는 de Rham cohomology를 다룬다. 사실, 매끈한 다양체(smooth manifold) 위에서는 de Rham cohomology와 (singular) cohomology가 같기 때문에 [Hatcher]에서 다루는 cohomology이론의 다른 측면들 공부한다고 생각해도 된다. 

개인적으로, cohomology를 가장 직관적으로 이해하는 방법이 de Rham cohomology를 통해서라고 생각한다. 그래서 Bott & Tu는 중요한 책이다. 



Differential Forms and Applications (Manfredo do Carmo)

기초적인 미분기하 책. 미분다양체(differentiable manifold)와 미분형식(differential form)에 대해 다룬다. 책이 얇고 연습문제도 재미있다. 

책 마지막에는 Morse theory의 아주 아주 기초적인 내용도 다룬다. 

위 [Bott & Tu]를 읽기 전에 이 책을 공부한다면 많은 도움이 될 것이다. 



Differential Topology (Victor Guillemin & Alan Pollack)

미분위상수학 책. 설명이 잘 되어 있어서 위에서 소개한 [do Carmo] 책 정도 읽고 나서 공부하면 쉽다. (학부생을 대상으로 쓰인 것 같다.)

다양체가 미분가능하다는 조건 그리고 함수가 미분가능하다는 조건은 연속이라는 조건보다 훨씬 강력한 조건이다. 그래서 수많은 고정점 정리(fixed point theorems)가 미분위상수학에서는 정말 깔끔하게 증명된다. 특히, Gauss-Bonnet theorem의 위상수학적 증명도 있다. 더 놀라운 것은, 그 모든 정리들이 oriented intersection number가 homotopy 불변량이라는 오직 한 가지 원리로부터 유도된다는 사실이다. 

그리고 이 책 역시 연습문제가 재미있다. 



Topology from the Differentiable Viewpoint (John Milnor)

Milnor가 쓴 고전적인 미분위상수학 책. Milnor는 미분위상수학이란 분야를 만든 사람들 가운데 한 명이다. 

위에 소개한 [Guillemin & Pollack]이 사실 거의 대부분 이 Milnor의 책을 참고해서 쓴 것이다. 

그리고 "Milnor가 설명하면 대부분 쉬워진다"라는 말도 있는데, 그만큼 Milnor의 책은 좋은 책들이 많다. 



Morse Theory (John Milnor)

Morse theory를 소개한 고전적인 책. Morse theory는 다양체 위의 함수를 통해서 그 다양체의 위상에 대한 정보를 얻어내는 이론이다. 

Morse theory는 아래에 소개된 h-cobordism theorem을 증명하는 데에, 또 Floer homology를 정의하는 데에도 사용된다. 

이 책에서는, 예를 들어, Bott periodicity를 증명하는 데에도 사용한다. 



Lectures on the H-Cobordism Theorem (John Milnor)

h-cobordism theorem은 5차원 이상에서의 Poincare conjecture를 증명하기 위해서 Stephen Smale이 만들었던 정리다. 

원래 Smale은 handle decomposition을 이용해서 증명했지만, Milnor는 Morse theory를 이용한 증명을 제시한다. 



Characteristic Classes (John Milnor & James Stasheff)

Characteristic class는 어떤 다발(bundle)에 대응되어 있는 cohomology class를 말한다. 그 예시로 Chern class, Pontryagin class, Stiefel-Whitney class가 있는데, 위상수학을 공부하다보면 계속 등장해서 공부해야 하는 내용이다. 

예를 들어서, Milnor가 7차원 exotic sphere의 존재성을 증명할 때에 사용했다. (Milnor는 어떤 7차원 다양체를 만든 뒤에 Morse theory를 이용해서 그것이 7차원 구와 위상동형임을 보이고, characteristic class를 이용해서 7차원 구와 다른 미분동형이 아님을 보였다.)



Foundations of Differential Geometry (Katsumi Nomizu & Shoshichi Kobayashi)

꽤 두꺼운 두 권짜리 미분기하 책인데, 정말 많은 내용을 담고 있다. 처음부터 끝까지 쭉 읽는 것 보다 중간중간 필요할 때마다 찾아서 공부할 수 있는 책으로 좋다. 



A Simple Intrinsic Proof of the Gauss-Bonnet Formula for Closed Oriented Manifolds (Shiing-Shen Chern)

Chern의 유명한 논문. 이 논문에 characteristic classes, Chern-Weil theory의 기본 아이디어가 다 들어있다고 한다. 



Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Spaces to Hyperbolic Knots (Francis Bonahon)

저차원 기하학과 위상수학에 대한 매우 쉬운 입문서. (학부생을 대상으로 쓰여졌다.) 

주로 2, 3차원의 hyperbolic geometry에 대해서 다룬다. 특히, 매듭의 여집합에 hyperbolic structure를 주는 방법에 대해 나와있다. 

사실, 이 책을 소개한 이유는 아래 [Thurston]을 읽기 위한 사전지식을 이 책을 통해서 어느 정도 (혹은 약간?) 쌓을 수 있기 때문이다. 



Three-Dimensional Geometry and Topology (William Thurston)

3차원 위상수학을 공부하려면 이 책을 보아야 한다. 이 책은 Thurston의 The Geometry and Topology of Three-Manifolds라는 제목의 강의노트의 앞부분 내용을 담고 있다. 아쉽게도 Thurston이 세상을 떠나는 바람에 이 책이 volume 1밖에 출판되지 못했지만, 그래도 충분히 재미있고 많은 내용을 다룬다. 



Instantons and Four-Manifolds (Karen Uhlenbeck & Daniel Freed)

4차원 위상수학 혹은 게이지이론(gauge theory)의 위상수학을 공부하려면 이 책을 꼭 보아야 할 것 같다. 특히 아래 Witten의 논문을 읽는 데에 도움이 될 것 같다. 이 책은 주로 Donaldson의 결과에 대해서 다룬다. 

Donaldson은 게이지이론(혹은 theory of connections)을 이용해서 4차원 미분다양체의 불변량을 찾아냈는데, 이전에 알려져 있던 Freedman의 4차원 다양체의 연구 결과와 합치면, 수많은 4차원 다양체가 미분구조를 가지지 않는다는 것을 알 수 있다. 

이 책의 1장에서는 그 Donaldson과 Freedman의 결과를 이용해서 어떻게 exotic R^4를 만들 수 있는지 소개한다. 재미있다. 



Supersymmetry and Morse Theory (Edward Witten)

Witten의 이 Morse theory에 대한 논문은 Andreas Floer에게 영감을 주어 그가 Floer homology를 만드는 데에 도움을 주었다. 

논문이어서 설명이 책만큼 친절하지 않고, 또 미분기하 지식이 많이 필요한 것 같지만, 언젠간 꼭 읽어봐야 할 논문이다. 



Topological Quantum Field Theory (Michael Atiyah)

아래에 소개될 Witten의 topological quantum field theory 논문을 시작으로 수학자들이 topological quantum field theory를 연구하기 시작했는데, Atiyah는 그것을 물리학을 몰라도 알 수 있도록 완전히 수학적으로 공리화시켰다. 

이 Atiyah의 논문은 짧고 읽기 쉽다. Topological quantum field theory가 무엇인지 쉽게 설명해준다. 



Frobenius Algebras and 2-D Topological Quantum Field Theories (Joachim Kock)

이 책은 2차원 topological quantum field theory의 대수학에 대해서 다루는 쉬운 책이다. (학부생을 대상으로 쓰여진 것 같다.)

주로 대수적인 내용을 다룬다. 위상수학적인 내용은 많이 다루지 않지만 TQFT에 관련된 쉬운 책이라 소개한다. 



Topological Quantum Field Theory (Edward Witten)

Witten의 이 논문이 topological quantum field theory의 시초가 된다. 위에서 언급한 Donaldson의 4차원 다양체의 불변량이나 Floer의 homology group등이 topological quantum field theory의 관점에서 자연스럽게 등장한다고 한다. 

이 논문 역시 미분기하 지식이 많이 필요한 것 같지만, 언젠간 꼭 읽어봐야 한다. 



Quantum Field Theory and the Jones Polynomial (Edward Witten)

Witten은 topological quantum field theory를 이용해서 Jones polynomial을 이해하는 자연스러운 관점을 제시하고, Jones polynomial을 일반적인 3차원 다양체 안에서의 불변량으로 일반화한다. 



Geometry, Topology and Physics (Mikio Nakahara)

기하학, 위상수학, 물리학은 서로 겹치는 부분이 많은데, 이 책의 저자는 그러한 관점에서 이 책을 쓴 것 같다. 이 책은 아마도 물리학도를 위해 쓰여진 책 같은데, 그래서 수학적인 내용이 필요한 내용만 요약 되어 있고, 어렵지 않다. 

물론 수학을 각 주제별로 다 공부할 수 있다면 좋겠지만 분명히 시간이 많이 든다. 그래서, 이 책을 읽어서 머릿속에 어느 정도의 그림을 그려두고 시작하는 것도 좋을 것 같다. 그런 의미에서 이 책을 소개한다.