대학원에서 대수적 정수론(algebraic number theory)를 전공하려는 (한국) 학생들에게 내가 공통적으로 하는 말이 있다. \"1학년 땐 class field theory(유체론)이랑 scheme theory(계략 이론?)만 어느 수준 이상으로 이해하면 성공했다고 봐도 되요.\" (좀더 해석적인 방향으로 정수론을 공부할 사람이고 대수기하를 많이 사용하지 않을 거라면 scheme theory는 대충 넘어가고 다른 것에 집중할 수도 있겠다. 다만 scheme theory는 (다른 것들도 그렇겠지만 특히 더) 노동 없이 대충 넘어가서는 공부 하나마나인 경향이 좀 있다. 내가 1학년 중후반까지 확실히 그랬다 *_*;;)    \"어느 수준 이상\"이라고 이야기하는 이유는, 이해의 정도가 한없이 깊어질 수 있기 때문. 중요한 결과들과 증명의 단계 하나하나를 이해하는 것도 도전적일 테지만, 그렇게 했다고 해서 이해의 과정이 끝나는 게 아니다. 나는 아직까지도 class field theory를 보면 새롭게 느껴지는 게 있을 뿐더러 예전에 (이해한 줄 착각했으나) 제대로 이해하지 못했던 것들이 눈에 들어온다. 어쨌든 class field theory의 주요 결과들이 뭔지 말할 수 있고 그 증명 과정에서 등장하는 여러 사실들과 도구들에 좀 친숙해졌다면 (마스터하는 데는 훨씬 오래 걸린다) 일단 성공.  Scheme theory는 통상적으로 Hartshorne이 70년대 말에 쓴 교과서를 가지고 많이들 공부한다. Scheme theory의 경우 \"어느 수준 이상\"이라 하면 Hartshorne의 2-3장, 좀더 넓게는 1-4장을 말한다고 보면 된다. 이 책의 강점은 연습문제가 많다는 건데, 연습문제를 전부는 아니더라도 꽤 (1/3이상?) 풀어 보지 않고선 이해도를 올리기가 어렵다. 다만 사람들이 \"Hartshorne, Hartshorne\" 외친다고 이 책만 볼 필요가 없다. Springer GTM 시리즈의 \"The geometry of schemes\"는 훌륭한 보완서이고, 내가 직접 읽진 않았지만 Mumford의 \"Red book of varieties and schemes\"도 입문 중인 사람이면 펼쳐보길. Mumford가 워낙 훌륭한 수학자이며 책을 잘 쓰는 사람이라 안 봐도 좋은 책일 것임을 안다. (불어로 된 EGA 역시 경전이지만 너무 길고 한국인 대학원 초년생 중 불어를 원활히 읽는 사람은 극소수이므로 skip.)  그런데 이놈의 scheme theory에서 은근히 commutative algebra, homological algebra를 많이 쓰기 때문에 이쪽이 후달리면 기초 공부를 해야 한다. 가환대수에는 Atiyah-McDonald의 간결하지만 알짜배기인 입문서가 있고, 호몰로지 대수 교과서는 취향에 따라 갈릴 듯. (나는 Weibel의 책이 꽤 잘 쓰였다고 생각. 약간 맘에 안 드는 부분도 있지만.)    대수적 정수론 공부하면서 대수기하랑 등 돌리고 살 게 아니면 Hartshorne의 scheme theory로는 부족하다. 공부를 계속 진행하려면 abelian varieties와 etale cohomology 정도는 공부하기를 권장한다. 둘 다 노동집약적으로 공부해야 하는 경향이 있어서 2학년 끝날 때까지 중요한 교과서들을 상당 부분 읽을 수 있다면 도움이 될 것이다. (학년이 올라갈 수록 이런 종류의 기초공부를 할 시간과 마음의 여유는 줄어들 게 마련.) 전자의 경우 Mumford의 \"Abelian varieties\"란 책을 들이파면 된다. 아름답고 훌륭한 책이다. (함께 읽을 만한 보완서들이 있지만 Mumford의 책에 근접할 수 없다.)  Etale cohomology를 어떻게 공부하면 좋을까는 좀더 어려운 질문이다. 배경지식이 전혀 없는 사람은 James Milne의 홈페이지에서 관련 강의노트를 찾아 읽는 것으로 시작할 수 있겠다. (나는 그렇게 안했었지만 *_*;) 그밖에 읽을 만한 survey article들이 몇 개 있는데 (Katz가 쓴 것, Tate가 쓴 것, etc) 자세한 건 생략. 아무래도 강의노트는 대강 넘어가는 경향이 있기 때문에 진지하게 공부할 사람들은 다른 교재로 옮아가야 한다. 다행인지 불행인지 쓰여진 교재가 극소수여서 선택의 여지가 없다. 영어권 사람이라면 Milne가 1980년에 쓴 책을 보든지 Freitag-Kiehl이 1987년(?)에 쓴 책을 보든지. (한 권 더 있는 걸로 아는데 내가 읽진 않았다.) 나는 Milne의 책을 공부했는데 지금 생각하기에 썩 좋은 책이 아니었다. 그나마 중반부턴 날림으로 공부하고 넘어갔다 -_- 불어를 읽을 수 있다면 내가 가장 추천할 article은 Deligne이 쓴 SGA 4 1/2의 첫 글이다. 70~80페이지 되는 걸로 기억하는데 etale cohomology의 기본 정리들을 죽 훑고 있을 뿐이나 (다뤄지지 않은 내용은 물론 SGA 4 1/2와 SGA 4, 5의 다른 article들에서 찾아볼 수 있다) 핵심을 제대로 꿰뚫고 있고 Milne에 비하면 백만배 잘 쓰여졌다.  한 가지 첨언. Class field theory에는 목표라고 볼 수 있는 main theorem들이 있는 데 반해 etale cohomology theory는 scheme theory처럼 도구 내지는 생각의 틀에 가깝다. 하지만 역사를 살펴보면 Weil conjecture가 etale cohomology 개발에 큰 자극이 되었음을 알 수 있고, 따라서 etale cohomology를 기계적으로 공부하기보다는 Weil conjecture를 이해하겠다는 목표를 가지고 접근하면 공부하는 입장에서 굉장한 동기부여가 된다.   Scheme theory, abelian varieties, etale cohomology는 정수론과 깊은 관련이 있지만 그 자체가 정수론은 아니기 때문에, 그럼 (대수적) 정수론 공부할 사람들은 class field theory 말고 또 뭘 공부해야 되냐는 질문을 할 수가 있다. 이건 답하기가 좀더 까다롭다. 내 경우에 있어선 Shimura varieties와 automorphic representation theory를 배우는 것이 중요했지만, 이건 사람마다 자신의 세부적인 연구 분야에 따라 다르기 때문이다.